2024届河北省衡水市桃城区武邑中学高三下学期二轮阶段性检测试题数学试题

2024届河北省衡水市桃城区武邑中学高三下学期二轮阶段性检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（）A．8 B．16 C． D．2．函数的大致图像为（）A． B．C． D．3．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．4．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（）A．3 B． C． D．5．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．1 B．-1 C．2 D．-26．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（）A．B．C．D．7．若复数满足，则()A． B． C． D．8．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）A． B． C．8 D．69．已知命题：使成立．则为（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立10．向量，，且，则（）A． B． C． D．11．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不修要条件12．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在平面四边形中，点，是椭圆短轴的两个端点，点在椭圆上，，记和的面积分别为，，则______.14．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．15．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）①，，；②，，；③，，；④，，.16．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．18．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值.19．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求的前100项和．20．（12分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证：（1）PQ平面；（2）平面.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【题目详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，则所以，四边形的内切圆面积为，则，解得，则，即故由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选：D【题目点拨】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.2、D【解题分析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【题目详解】函数的定义域为，当时，，排除B和C；当时，，排除A.故选：D.【题目点拨】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.3、A【解题分析】

，从而可得，，再解不等式即可.【题目详解】由已知，，所以，，由，解得，.故选：A.【题目点拨】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.4、D【解题分析】

由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.【题目详解】由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，一条渐近线的倾斜角为，，解得：.故选：.【题目点拨】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.5、B【解题分析】

根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【题目详解】∵是定义在R上的奇函数，且；∴；∴；∴的周期为4；∵时，；∴由奇函数性质可得；∴；∴时，；∴.故选：B.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.6、B【解题分析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；【题目详解】解：当时，，无意义，故排除A；又，则，故排除D；对于C，当时，，所以不单调，故排除C；故选：B【题目点拨】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.7、C【解题分析】

化简得到，，再计算复数模得到答案.【题目详解】，故，故，.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.8、C【解题分析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.【题目详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，则，，设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：，则当且仅当时，取等号.故选：C．【题目点拨】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.9、A【解题分析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．考点：全称命题.10、D【解题分析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【题目详解】故选：D【题目点拨】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.11、B【解题分析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题目详解】解：，，为正数，当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．12、A【解题分析】

结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．【题目详解】图象上相邻两个极值点，满足，即，，，且，，，，，，当时，为函数的一个极小值点，而．故选：．【题目点拨】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标，进一步得到D横坐标，再由计算比值即可.【题目详解】因为，所以A、B、C、D四点共圆，直径为，又A、C关于x轴对称，所以圆心E在x轴上，设圆心E为，则圆的方程为，联立椭圆方程消y得，解得，故B的横坐标为，又B、D中点是E，所以D的横坐标为，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B、D横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.14、【解题分析】

根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【题目详解】由图可知：，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.15、①②④【解题分析】

由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断【题目详解】①时，令，则，单调递增，，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.②时，易知，满足题意.③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.因此，满足题意.故答案为：①②④【题目点拨】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题16、2【解题分析】

由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【题目详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）最大值为，最小值为.【解题分析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．（II）曲线C上任意一点到的距离为．则．其中为锐角，且．当时，取到最大值，最大值为．当时，取到最小值，最小值为．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直；（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．【题目详解】（1）证明：因为，为中点，所以，又，，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面.（2）由已知及（1）可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，则，，，，，.设平面的法向量，则，即，令，则；设平面的法向量，则，即，令，则，所以.故锐二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查证明线面垂直，解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．【题目详解】解：（1）由题意知，即，①当时，由①式可得；又时，有，代入①式得，整理得，∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∵是各项都为正数，∴，∴，又，∴，则，，即：.∴的前100项和．【题目点拨】本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）取的中点D，连结，.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证，，和都是平面内的直线且交于点，由（1）得，再结合线面垂直的判定定理即得.【题目详解】（1）取的中点D，连结，.在中，P，D分别为，中点，，且.在直三棱柱中，，.Q为棱的中点，，且.，.四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D为中点，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【题目点拨】本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.21、（1）见解析；（2）【解题分析】

(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【题目详解】（1）证明：如图,取的中点,连接.又为的中点,则是的中位线.所以且.又且,所以且.所以四边形是平行四边形.所以.因为,为的中点,所以.因为,所以.因为平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为,所以点.则.设平面的法向量为,由,得,令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；设二面角的大小为,则.故二面角的余弦值是.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.22、（1），；（2）.