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文档简介

复变函数与积分变换第二章解析函数1.

解析函数的概念2.

函数解析的充要条件3.

初等函数4.

平面场的复势5.

第二章小结与习题第三节初等函数指数函数1对数函数2乘幂ɑb

与幂函数31三角函数和双曲函数2反三角函数和反双曲函数3小结与思考一、指数函数1.指数函数的定义:指数函数的定义等价于关系式:2.加法定理证例1

解例2

解求出下列复数的辐角主值:例3解二、对数函数1.定义其余各值为特殊地,例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例5解例6解2.性质证(3)[证毕]三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:特殊情况:例7解答案课堂练习例8解2.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.例9解有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.(注意：这是与实变函数完全不同的)其他复变数三角函数的定义例10解例11解例12解不讲添项2.双曲函数的定义它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,例13解五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义例14解六、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:

1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别

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