2022-2023学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

2022-2023学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y+1＝0的倾斜角为（）A．π3 B．2π3 C．π62．（5分）准线方程为x＝2的抛物线的标准方程是（）A．y2＝﹣4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝﹣8x3．（5分）双曲线x2A．62 B．32 C．34．（5分）经过两条直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线的方程是（）A．2x+3y﹣13＝0 B．2x+3y﹣12＝0 C．2x﹣3y＝0 D．2x﹣3y﹣5＝05．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分别为A1C1，B1B的中点，若MN→=xAB→+yAC→A．（1，−12，−12） B．（1，1C．（﹣1，12，12） D．（﹣1，126．（5分）动圆P过定点M（0，2），且与圆N：x2+（y+2）2＝4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．y2−x2C．y23−7．（5分）椭圆x225+y216=1的一个焦点是F，过原点O作直线（不经过焦点）与椭圆相交于A．14 B．15 C．18 D．208．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+（﹣1）nan+1＝1−n2022，记数列{an}的前n项和为Sn，则SA．506 B．759 C．1011 D．1012二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知a→=(1，1，−2)，A．|a→|=6C．a→⊥b→ （多选）10．（5分）数列{an}满足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），则（）A．数列{an}是递减数列 B．an＝2n+8 C．点（n，an）都在直线y＝﹣2x+12 D．数列{an}的前n项和Sn的最大值为32（多选）11．（5分）过双曲线C：x2−y24=1的左焦点F1作直线A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x B．点F1到双曲线C的渐近线的距离为4 C．直线l的斜率k取值范围是{k|﹣2＜k＜2} D．若AF1的中点在y轴上，则直线l的斜率k=±（多选）12．（5分）过直线l：x+y+4＝0上的动点P分别作圆C1：x2+y2＝2与圆C2：（x﹣6）2+y2＝8的切线，切点分别为A，B，则（）A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为32B．|PA|的最小值为6 C．|PC1|+|PC2|的最小值为229 D．直线l上存在两个点P，使得|PB|＝2|PA|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）经过点A（3，1），且与直线2x+y﹣5＝0平行的直线的方程为．14．（5分）若数列{an}为等差数列，a2+a8＝20，则数列{an}的前9项和S9＝．15．（5分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则拱桥顶点O离水面l的距离为．16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AD，B1B的中点，动点P在底面正方形ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1MN，则CP长度的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．18．（12分）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，如果|PQ|=42，求直线19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，点E是BB1的中点．（1）求BD1与AE所成角的余弦值；（2）求BD1与平面ACE所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，Sn+1＝3Sn+9（n∈N*）．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn＝log3an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点，△PBC为正三角形，平面PBC⊥平面ABC．（1）求点B到平面PAC的距离；（2）在线段PC上是否存在异于端点的点M，使得平面CPAC和平面MDE夹角的余弦值为77？若存在，确定点M22．（12分）已知椭圆：x2a（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B为椭圆C上的两点，O为坐标原点，kOA⋅k

2022-2023学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y+1＝0的倾斜角为（）A．π3 B．2π3 C．π6【解答】解：直线3x+y+1=0的斜率等于−3，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ∴θ=2π故选：B．2．（5分）准线方程为x＝2的抛物线的标准方程是（）A．y2＝﹣4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝﹣8x【解答】解：根据题意，易得该抛物线的焦点在x轴上，则设其标准方程是y2＝2mx，由抛物线的性质，可得其准线方程为x=−m则−m2=2，解可得m故其标准方程是y2＝﹣8x；故选：D．3．（5分）双曲线x2A．62 B．32 C．3【解答】解：双曲线x22−y2=1．可得a=所以e=c故选：A．4．（5分）经过两条直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线的方程是（）A．2x+3y﹣13＝0 B．2x+3y﹣12＝0 C．2x﹣3y＝0 D．2x﹣3y﹣5＝0【解答】解：联立2x+y−8=0x−2y+1=0，解得x=3y=2，所以直线2x+y﹣8＝0和x﹣2故垂直于直线3x﹣2y+4＝0且过（3，2）的直线方程为y﹣2=−23（x﹣3），即2x+3y故选：B．5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分别为A1C1，B1B的中点，若MN→=xAB→+yAC→A．（1，−12，−12） B．（1，1C．（﹣1，12，12） D．（﹣1，12【解答】解：由题意可得MN=AB→−12AC→所以x＝1，y=−12，z所以（x，y，z）＝（1，−12，故选：A．6．（5分）动圆P过定点M（0，2），且与圆N：x2+（y+2）2＝4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．y2−x2C．y23−【解答】解：由圆N的方程可得N（0，﹣2），半径为2，设动圆P的半径为r，由题意可得|PM|＝r，|PN|＝r﹣2，即|PM|﹣|PN|＝2＜|MN|，即点P在以M，N为焦点，焦距长为2c＝4，实轴长为2a＝2，由双曲线的定义h虚轴长为2b＝24−1=23的双曲线上，且点P在靠近点N所以P点的轨迹方程为：y2−x23故选：A．7．（5分）椭圆x225+y216=1的一个焦点是F，过原点O作直线（不经过焦点）与椭圆相交于A．14 B．15 C．18 D．20【解答】解：设F为椭圆的右焦点，F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形F1AFB为平面四边形，则|AF|+|BF|＝|AF|+|AF1|＝2×5＝10，则△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|＝10+2|OA|，设A（x，y），则x2则x2即|OA|2≥16，即|OA|≥4，即当A在短轴端点时，|OA|取最小值4，即当A在短轴端点时，△ABF的周长取最小值10+2×4＝18，故选：C．8．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+（﹣1）nan+1＝1−n2022，记数列{an}的前n项和为Sn，则SA．506 B．759 C．1011 D．1012【解答】解：由题意，可得S2023＝a1+a2+•••+a2023＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+•••+（a2022+a2023）＝1+（1−22022）+（1−42022）+＝1+1×20222−（2＝1012−＝1012−＝506．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知a→=(1，1，−2)，A．|a→|=6C．a→⊥b→ 【解答】解：∵a→=(1，1，−2)，∴b→=−2a→，可得D|a→|=12a→−2b→=（1，1，﹣2）﹣（﹣4，﹣4，8）＝（5，5，故选：AD．（多选）10．（5分）数列{an}满足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），则（）A．数列{an}是递减数列 B．an＝2n+8 C．点（n，an）都在直线y＝﹣2x+12 D．数列{an}的前n项和Sn的最大值为32【解答】解：已知数列{an}满足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），则数列{an}是以10为首项，﹣2为公差的等差数列，对于选项A，因为d＝﹣2＜0，即数列{an}是递减数列，即选项A正确；对于选项B，an＝10+（n﹣1）×（﹣2）＝12﹣2n，即选项B错误；对于选项C，将点（n，an）代入直线方程y＝﹣2x+12，满足an＝﹣2n+12，即选项C正确；对于选项D，Sn=(10+12−2n)n2=−n又n∈N+，则当n＝5或n＝6时，Sn取最大值30，即选项D错误，故选：AC．（多选）11．（5分）过双曲线C：x2−y24=1的左焦点F1作直线A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x B．点F1到双曲线C的渐近线的距离为4 C．直线l的斜率k取值范围是{k|﹣2＜k＜2} D．若AF1的中点在y轴上，则直线l的斜率k=±【解答】解：对选项A：双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，正确；对选项B：F1(−5，0)，取渐近线方程为2x+对选项C：渐近线方程为y＝±2x，故斜率k取值范围是{k|﹣2＜k＜2}，正确；对选项D：AFl的中点在y轴上，则A的横坐标为5，5−y24=1，得到y＝±4，故A(故选：ACD．（多选）12．（5分）过直线l：x+y+4＝0上的动点P分别作圆C1：x2+y2＝2与圆C2：（x﹣6）2+y2＝8的切线，切点分别为A，B，则（）A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为32B．|PA|的最小值为6 C．|PC1|+|PC2|的最小值为229 D．直线l上存在两个点P，使得|PB|＝2|PA|【解答】解：圆C1：x2+y2＝2，圆心C1（0，0），半径为r1=2圆C2：（x﹣6）2+y2＝8，圆心C2（6，0），半径r2＝22，在A中，圆心C1到直线l的距离d=42=22在B中，圆心C1到直线l的距离d=42=22，所以|PA|≥d2−r在C中，设C1关于直线l的对称点为C1'（a，b），则ba=1a2+b2所以|PC1|+|PC2|＝|PC1'|+|PC2|≥|C1'C|=(6+4)2+(−4)2=229，当且仅当C2，P，C1'三点共线时取等号，所以|PC1|+|在D中，因为|PB|＝2|PA|，所以|PB|2＝4|PA|2，即|PC2|2−r22=4（|PC1|2﹣r1|2），设P（x，y），则（x﹣6）2+y2﹣8＝4（x2+y2﹣2），整理可得（x+2）2即P的轨迹为以（﹣2，0）为圆心，以4为半径的圆，所以圆心（﹣2，0）到直线l的距离d'=22=故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）经过点A（3，1），且与直线2x+y﹣5＝0平行的直线的方程为2x+y﹣7＝0．【解答】解：设与直线2x+y﹣5＝0平行的直线方程为2x+y+c＝0，将点A（3，1）代入，可得2×3+1+c＝0，解得c＝﹣7，所以经过点A（3，1），且与直线2x+y﹣5＝0平行的直线的方程为2x+y﹣7＝0．故答案为：2x+y﹣7＝0．14．（5分）若数列{an}为等差数列，a2+a8＝20，则数列{an}的前9项和S9＝90．【解答】解：数列{an}为等差数列，a2+a8＝20，则S9故答案为：90．15．（5分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则拱桥顶点O离水面l的距离为23【解答】解：建系如图，设拱桥所在抛物线方程为x2＝﹣2py，（p＞0），根据题意可设水面所在直线l与抛物线的一个交点A为（2，t），则根据题意可得：水面下降2m后的水面直线l′与抛物线的一个交点B为（4，t﹣2），又A，B都在抛物线：x2＝﹣2py上，∴4=−2pt16=−2p(t−2)解得p=3t=−23，∴|yA∴拱桥顶点O离水面l的距离为23故答案为：2316．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AD，B1B的中点，动点P在底面正方形ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1MN，则CP长度的最大值为174【解答】解：如图，以正方体的顶点A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），M（0，12，0），N（1，0，1动点P在底面正方形ABCD内（包括边界），则设P（x，y，z），且x，y∈[0，1]，则B1P→=（x﹣1，y，﹣1），设平面A1MN的法向量为n→=（A1N→=（1，0，12），A则A1N→⋅n→=0A1M→因为B1P∥平面A1MN，所以B1P→•n→=x﹣1+4y﹣2＝0，即则x＝﹣4y+3∈[0，1]，所以y∈[12，3则|CP|=(x−1由二次函数的性质可得当y=12时，|CP|=12，y=3所以CP长度的最大值为174故答案为：174四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，∵a4＝﹣9，a7＝﹣6，∴a1+3d=−9a故an＝a1+（n﹣1）d＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13；（2）Sn令Sn＞0，即12n2故n的最小值为26．18．（12分）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，如果|PQ|=42，求直线【解答】解：（1）由题意设圆心C（a，2a﹣4），设圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝|CB|2，即（a+1）2+（2a﹣4）2＝（a﹣2）2+（2a﹣7）2，解得a＝2，所以圆心C（2，0），半径r＝|CA|=3所以圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝9；（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝3，代入圆的方程可得12+y2＝9，可得y＝±22，所以|PQ|＝2×22=42当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，因为点（3，2）在直线上，所以3k+t＝2，圆心C到直线l的距离d=|2k+t|弦长|PQ|＝2r2−d2=29−即|2k+t|1+k2=1，即|3k+2﹣2k|=1+k2，解得k=3所以直线PQ的方程为y=34x综上所述：直线l的方程为：x＝3或y=34x19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，点E是BB1的中点．（1）求BD1与AE所成角的余弦值；（2）求BD1与平面ACE所成角的正弦值．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，如图，以A为原点，AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，4，2），D1（0，4，2），E（2，0，1），所以BD1→=(−2，4，2)，则BD1与AE所成角的余弦值为3030（2）设平面ACE的法向量为n→=(x，y，z)，又所以AC→⋅n→=2x+4y=0所以cos＜B故BD1与平面ACE所成角的正弦值为41420．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，Sn+1＝3Sn+9（n∈N*）．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn＝log3an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】（1）证明：由题意，可设Sn+1﹣t＝3（Sn+1﹣t），则Sn+1﹣t＝3（Sn+1﹣t）＝3Sn+1﹣3t，即Sn+1＝3Sn+1﹣2t，由Sn+1＝3Sn+9，可得﹣2t＝9，即t=−9∴Sn+1+92=3（S∵S1+92=a1+∴数列{Sn+92}是以∴Sn+92=272•3∴Sn=3n+22−9当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1=3n+22−∵当n＝1时，a1＝9也满足上式，∴an＝3n+1＝9•3n﹣1，n∈N*，∴数列{an}是以9为首项，3为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得，bn＝log3an＝log33n+1＝n+1，cn＝anbn＝（n+1）•3n+1，则Tn＝c1+c2+•••+cn＝2•32+3•33+4•34+•••+（n+1）•3n+1，3Tn＝2•33+3•34+•••+n•3n+1+（n+1）•3n+2，两式相减，可得﹣2Tn＝2•32+33+34+•••+3n+1﹣（n+1）•3n+2＝2•32+33−3n+21−3−=−2n+12•3n+2+2•32﹣（12）=−2n+12⋅=−2n+1∴Tn=2n+14•3n+221．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点，△PBC为正三角形，平面PBC⊥平面ABC．（1）求点B到平面PAC的距离；（2）在线段PC上是否存在异于端点的点M，使得平面CPAC和平面MDE夹角的余弦值为77？若存在，确定点M【解答】解：（1）连接PD，∵△PBC是正三角形，又D为BC中点，∴PD⊥BC，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，∴PD⊥平面ABC，又DB，DE⊂平面ABC，∴PD⊥DB，PD⊥DE，∵∠ABC＝90°，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB⊥BC，∴BC⊥DE，如图，以D为坐标原点，DB，DE，DP分别为x