概率论全套课件

概率论:研究随机现象的统计规律性的一个数学分支.评价:生活的真正指南.例:亲子鉴定.若鉴定为无血亲关系,正确率100%.若第一章随机事件与概率鉴定为有,则为99.93%.确定性现象:有确定的变化规律,重复一组相同的条件,其结果是肯定的,事前是可以预言的.如:抛掷一枚硬币必定下落.随机现象:事前不可预言,重复一组相同的条件,每次结果未必相同,事前不能预言将出现哪一个结果.就一次试验而言,时而出现这个结果,时而出现那个结果,呈现出一种偶然性.如:硬币落下后哪一面向上？如:多次重复抛掷,某一面向上出现一半左右.统计规律性:由于随机现象事先无法判定将会出现哪种结果,人们就以为它是不可捉摸的.其实通过大量的实践可以发现随机现象呈现出某种规律性.

历史上,有很多学者为了考察某些问题的概率而做了大量的试验,以观察一些问题的实质.例如在抛硬币试验中,有这样三组数据:试验者试验次数正面出现次数频率蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005§1.1随机事件一随机试验randomtest1可重复性;2具体结果的未知性;3所有结果的可预测性.满足如下条件的试验称为随机试验例1抛掷一枚硬币.例2

掷一枚均匀骰子,观察出现的点数.例3

机器人投篮,直到投中为止.例4

射箭,观察箭离靶心的距离.例5灯泡寿命.二样本空间samplespace样本空间(基本事件空间):试验每一个可能出现的结果称为样本点,用表示.样本点(基本事件):全体样本点构成的集合,称为样本空间.用表示.例4

射箭例5灯泡寿命例3投篮={1,2,3,……}例2

掷骰子={1,2,3,4,5,6}例1

抛硬币={面值,图案}三随机事件randomevent仅含一个样本点的随机事件称作基本事件.样本空间的某个子集即由若干个样本点构成的集合称为随机事件,简称事件.一般用大写字母A,B,C,D等表示.例1

抛出面值A={面值}例2

可以起飞A={5,6}例3投篮优秀A={1,2,3}例4

射箭10环A=[0,a]例5灯泡长命A=[3,)显然随机事件是由部分样本点(基本事件)构成的.每次试验中可能发生也可能不发生.在所有的事件中,有两个特殊的事件,分别称为必然必然事件certainevent不可能事件impossibleevent事件和不可能事件.注:严格来讲,必然事件与不可能事件反映了确定性现象,可以说它们不是随机事件.但是把它们作为随机事件的两个极端情形而加以考虑,则不但合理,也为今后的研究提供了方便.从集合论角度理解,全集与空集也是子集.

为了用简单的事件来表达较为复杂的事件,有必要讨1.关系

若事件发生必然导致事件发生,则称事件包含事件记为论事件间的关系和运算.四事件的关系和运算显然,对任意事件A,有若则

若事件包含在事件中,而事件又包含在事件中,则称事件A与事件B相等,记为即A与B有相同的样本点.显然,互斥事件没有公共样本点.互斥事件(互不相容):若事件A与事件B不能在一次试验中同时发生,则称事件A与B是互斥的.如果一组事件中任意两个事件都互不相容,显然有:基本事件组两两互不相容.那么称这组事件两两互不相容.

关系间的图示互斥

若事件满足:事件发生当且仅当不发生,则称事件为事件的对立事件,记为2.运算

设为事件,定义下列事件.

事件的和

事件的积常简写为显然有:若则

事件的差

由定义容易得到下列关系是互斥事件是对立事件差事件可以表示为：

事件的运算满足下面性质:⑴交换律⑵结合律⑶分配律⑷对偶律事件的和,积运算可以推广到有限个或可列个事件.相应的对偶律形象地说,是把大帽子分配成小帽子,运算符反向.例一箱产品中有95件正品和5件次品,从中取4次,每次取一件,以表示第次取到的是正品,试表达如下事件:1.取到的都是正品2.取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品.解:1.取到的都是正品2.取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品§1.2等可能概型对于一个随机试验,我们不仅要知道它可能出现哪些结果,更重要的是研究各种事件发生的可能性的大小,从而揭示其内在规律性.比如在投掷一枚均匀的骰子试验中,掷出偶数点显然比掷出6点发生可能性要大.概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征.对于事件A,用P(A)表示事件A发生的可能性大小,即A发生的概率probability.

例1:四猫性别B:有一只不一样A:同品种C:两公两母本段我们从最古老的概率模型来探讨概率的计算.一古典概率引例2:一手牌型最不可能A:同花色哪种最有可能?平均牌型B:4,3,3,3一长一短C:5,3,3,2比较平均D:

4,4,3,2古典概型classicalprobabilitymodel2每个样本点即基本事件以相等的可能性出现,即:1试验的样本空间是个有限集:从而如果事件A中包含了个个样本点,规定显然有:在抛硬币试验中,由于基本结果只有两个,而且每个结果出现的可能性是相同的,故该试验为古典概型.掷一枚均匀骰子,则样本空间为且每个点数出现的可能性均为,故该试验为古典概型.例1:四猫性别A:同品种B:有一只不一样C:两公两母方法一:列举以0记公猫,1记母猫,只要列举四位二进制数.0000,0001,0010,00110100,0101,0110,01111000,1001,1010,10111100,1101,1110,1111方法二:排列组合？？？对称时一定要注意,如果区别性别,则0011等重复计数.正解:引例2:一手牌型最不可能A:同花色哪种最有可能？平均牌型B:4,3,3,3一长一短C:5,3,3,2比较平均D:4,4,3,2比较得:结论:“平均”往往不是可能性最大的.例3摸球模型袋中有a只黑球b只白球.随机摸取一只,记下颜色放回,再添加c只同色球.如此重复三次.求摸出的球颜色依次为白黑黑,黑白黑,黑黑白的概率.解:记所求三事件分别为A,B,C结论:与顺序无关.有放回:c=0无放回(抽签模型):c=-1例4假设箱中共有n个球,其中m个是红球,其余是白球(0<m<n).现一个接一个地从箱中抽球,试求第k次抽到红球的概率.解:对于有放回情形,显然对于无放回情形,也即抽签模型有同样结果.这证明了抽签与顺序无关.解法1设想将n个球一一编号区分样本点个数相当于全排列有利场合数为先放好第k位,共有m种其余个n-1个位置任意排解法2仍将n个球一一编号区分从n个不同的球中接连抽出k个球相当于从n个不同元素中选k个元素的选排列共有种不同抽法有利场合的不同抽法为:第k次抽球抽到红球的情形共有m种前k-1次抽法等于从n-1个元素中选k-1个的选排列解法3对于同颜色球不加区分设想有n个位置依次排成一列将n个球分别放进n个格子(每格一球)只考虑红球的位置则总共有种不同放法第k个位置必须是红球则只要再挑m-1个位置放红球总共有种放法求个人住不同房的概率.例5（分房问题）设有个人入住个房间,解设为个人的所有可能的入住方法,则而从N个房间中选出n个房间的选法总数为故所求问题的概率为指定的n个房间中各住一个人的所有可能的住法有n!种不相同的概率就可以从上面的公式中得以计算.此时取下表给出了当取不同值时的概率反之,班中至少有两个人同一天生日的概率为

相应的概率为应用生日问题:设一个班有n个人，则n个人的生日互20304050641000.4410.7060.8910.9700.9970.99999结论：占星术是伪科学.课堂练习：p28(1).8解答:3至少有三道题全对意味着错误不能分布在四道题直接做比较麻烦,不建议死做1题错,6种再将4道错题往里放最后排除放在同一格子里的2种情况共有2题错,先选出错的两题作为格子结论:几何量之比.绿格面积圆面积圆心角周角在这类问题中,试验的可能结果是某区域中的一个点,落在该区域任意位置都是等可能的.落在某子区域A的可能性与区域的测度Measure（长度、面积、体积等）成正比而与其位置及形状无关.设是可度量的（区间有长度,平面情形具有面积,空可能性是相同的.事件是的一个子区域,并且也是可以度量的,则事件A发生的概率为:间情形具有体积）,并进一步地假定每个样本点出现的例1某码头只能停靠一只船,现已知某日会有两只船解设甲船到达时刻为停靠4小时,乙船情形⑴:乙船先到,甲船等待,则满足情形⑵:甲船先到,乙船等待,则满足到达且到达时间是在中任一时刻,已知一船需要停4小时,另一只需要停6小时,求一船需等待的概率.到达时刻为停靠6小时.相应的区域如图所示:所以若以表示某船等待另一船这一事件,则即为图中区域的面积,容易得到:从而,事件发生的概率为例2将一单位长度的小棍随机折成3段.求能构成三角形的概率.解:如果设截成的三段长度分别为x,y,z.则涉及三维,计算麻烦.设单位长度的小棍左右端点坐标分别为0,1两截点坐标分别为x,y由对称性不妨设则三段长度分别为由三角形两边之和大于第三边得约束如下解得:比较面积得:11（,）例3蒲丰投针问题平面上画着一些等距的平行线,间距为a.向此平面任意投掷一长度为

的针.试求此针与任一平行线相交的概率.解:以x表示针的中点到最近的平行线的距离

表示针与平行线的交角以频率近似代替P得

可算得历史资料,a折算为13.1415929180834080.833331901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.137382.56001.01860Morgan3.1596253250000.81850WolfπnN针线比年份实验者贝特朗奇论:在单位圆内随机取一条弦,问其长度超过该圆内接等边三角形边长的概率是多少?解法1以此端点做一个等边三角形.显然,只有穿过此三角形内的弦才符合要求.而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3.并且,不论固定的那个端点在圆上的哪个位置,情况都是一样的.所以结果为1/3.由于弦交圆于两点.我们先固定弦的一个端点.解法2由于弦长只和圆心到它的距离有关.所以固定圆内一条半径.当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件.并且,不论固定的是哪条半径,情况都是一样的.所以结果为1/2.弦被其中点唯一确定.当且仅当其中点在半径为1/2的圆解法3内时才满足条件.此小圆面积为大圆的1/4.所以结果为1/4.三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果,所以我们称其为paradox.其实,这些结果都是对的.因为它们采用了不同的等可能性假定.上均匀分布.解法一假定弦的端点在圆上均匀分布.解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径解法三假定弦的中点在圆内均匀分布.§1.3频率与概率

设是随机试验,是样本空间,是事件,设在N

次试验中,事件出现的次数为n

次,则称n为频数称为事件在次试验中出现的频率,记为即定义:

历史上,有很多学者为了考察某些问题的概率而做了试验者试验次数正面出现次数频率蒲丰404020480.5069K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005大量的试验,以观察一些问题的实质.例如在抛硬币试验中,有这样三组数据:

通过这一组数据可以看到:当试验的次数越大,则事件在次试验中出现的频率越接近某一个常数,它反映了事件在大量重复试验中出现的频率具有一种稳定性.由于事件发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系,加之频率又有稳定性,故而可通过频率来定义概率.这就是:概率的统计定义:实际应用中,往往就简单地把频率当概率用.发生的频率随着的增大将稳定到某个常数,就称该常数为事件发生的概率,记为对于任何一个事件若事件在次重复试验中所例1在抛硬币试验中，以表示出现正面朝上这一事件,则由上面的统计数据得到事件发生的概率为例2为了设计某路口向左拐弯的汽车侯车道.在每天交1频率601231420164等候天数总和6543210等候车辆数通最繁忙的时间（上午9时）在该路口观察候车数,共观察了60天,得数据如下:试求某天上午9时在该路口至少有5辆汽车在等候左转弯解设事件表示“至少有5辆汽车在等候左转弯”这一故可近似地认为至少有5辆汽车在等候左转弯的概率为的概率.事件,在60次观察中,事件发生的频率§1.4概率的公理化定义

概率的统计定义具有一定的应用价值,但在理论上有严重的缺陷,也不利于一般概率问题的计算.古典概型和几何概型的计算公式虽然解决了这两种概型中事件的概率的计算问题,但并不是普遍适用的.下面我们引入概率的公理化定义,并导出基本的概率计算公式.先来看古典概率和几何概率的共性:2、规范性

若为两两互不相容事件,则1、非负性3、有限可加性对于任一随机事件,赋予唯一一个实数若满足以下三条公理：设随机试验的样本空间为公理3完全可加性(可列可加性)公理1非负性：公理2规范性：是一列两两互不相容的随机事件则称为事件A的概率

由定义,不难得到如下性质:性质1证明:在公理3中取则所以又所以性质2设为互不相容事件组,则有证明:在公理3中取则性质3对立事件计算公式

证明:互斥,由性质2由公理2得:且性质4若则证明:由性质2移项即得:由非负性即得:性质5减法公式:证明:由性质4注:此公式无任何条件限制.

设为任意两个事件,则性质6加法公式

现推导三个随机事件的加法公式证明:由可加性和减法公式即得.再用一次加法公式以及分配律得将看作一个事件,由加法公式得再用一次加法公式并注意到整理即得由此可用数学归纳法证明一般加法公式:例1、设求解由加法公式得又:所以例2从1到9九个数字中有放回地取出个数字.求取出之数的乘积能被10整除的概率解：乘积能被10整除要求有5有偶数设A取到5,B取到偶数,则所求为直接做不容易“没有某些数字”很容易求因此从对立事件计算公式得：试证明:例3设事件概率都是,且证明:由结论的形式可想到用加法公式所以移项代入数据即得例4设事件同时发生必定导致事件A发生证明证明：由条件得则由结论形式可知要用到2次规范性先将看成一个事件，用两次加法公式上面的例子说明:若有事件则事件的发生一般会影响到事件的发生.的概率将会有所变化.一、条件概率设为两个事件,称已知A发生条件下B直观地从几何概率看:已知A发生,相当于样本空间缩小为A

发生的概率为B的条件概率,记为例1某袋中有红球6个,白球4个,取二次球,每次取一解记分别表示第一、第二次取红球的事件.由条注意到,此时且个.求在第一次取到红球的条件下,第二次也取到红球的概率.件在第一次取红球的条件下第二次取红球的概率为:一般我们有定义1.2设为事件,则称为在已知事件发生的条件下事件的条件概率.条件概率确实是一概率,不难验证满足三条公理.即可以把无条件概率P(A)看作是特殊的条件概率.

即条件不能是概率为0的事件.有的书上简单地说成条件不能是不可能事件是错的.不可能事件概率一定为0,但概率为0的事件不一定是不可能事件.例2设有一批产品,其中95件正品,5件次品,连续取解设表示第一次取到的是正品,则

表示第二次取到的是次品,则二次,每次取一件,求在第一次取正品的条件,第二次取次品的概率.得显然没必要用公式做,直接可得.

设为事件,且由条件概率定义乘法定理变形后有若,互换得综合得一般地对任意n个事件且有注:例3（机遇相等问题）解以表示第人摸到奖券这一事件,则由乘法公式得求第4个人摸到的概率.设有十人摸一张有奖的奖券,第四人摸到的事件为注:以后可直接用抽签与顺序无关得出结论.例4设一种玻璃杯,第一次落地而打破的概率为若第一次落地未打破,第二次落地打破的概率为第二次仍未打破,第三次落地打破的概率为求连续落地三次,杯子未打破的概率.解设分别是表示第一、二、三次杯子落地而被打破的事件,则由条件得所以注:解:以A表示甲胜出,以表示甲第i轮胜出,则例5两名射手轮流向同一目标射击,甲命中率为,乙命中率为.甲先开始.谁先命中谁得胜.问甲,乙获胜的概率各为多少？由几何级数求和公式时得以B表示乙胜出,直接由对立事件计算公式得由对称性,如果乙先射击,则显然,先发制人有利.二随机事件的独立性1.独立性的意义

问题的引出:设是随机试验,是相应的样本空间,

是两个事件.在前面的众多例子中,我们看到,在一般情况下,事件的发生都会对事件的发生产生影响,但某些情况下,事件的发生与的发生没有任何影响.用数学公式来反映的话即为:例6一袋中装有个4白球,2个黑球,从中有放回取两次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又由条件概率公式每次取一个.求在第一次取到的是白球的条件下,第二次取到的也是白球的概率.是白球,则有即:

上式表明:事件的发生对事件的发生没有任何影响.再由条件概率公式:实际上,由于该问题是一个放回抽样问题,常识告诉我们,事件不应该对事件产生影响.由上式:得:由此引出相互独立的定义定义1.3对任意事件A,B,若则称事件A,B相互独立.事件的相互独立与事件的互不相容是两个不同的概念.没有必然联系.对,下列命题哪些是正确的？①若,则一定独立②若,则有可能独立③若,则一定独立④若,则一定不独立只有②是正确的.显然:即必然事件或不可能事件与任一事件A相互独立.定理1.1如果,那么事件A与B相互独立的充要条件是如果,那么事件A与B相互独立的充要条件是定理1.2下列四个命题等价1事件与相互独立2事件与相互独立3事件与相互独立4事件与相互独立即,这四组事件独立性一致.证明：1→2→4→3→1,只证1→2.其余类似证明.因为事件A与B相互独立,所以欲证事件的独立性可以推广到有限个事件上,引进独立和两两独立的概念.定义:对于任意三个事件A,B,C,如果四个等式都成立,那么称事件A,B,C相互独立.注:1如果只满足前三个等式,那么称事件A,B,C定义设为事件组,且任取有则称为独立事件组.两两独立2可由归纳法推广到n个事件的相互独立.3独立事件组“戴若干帽子”的结论依然成立.4具体应用问题中,独立性根据实际情况判断.例7 某项工作交由三个人独立完成,设这三个完成的解设分别表示第一,第二,第三人完成该工再设事件表示工作被完成,则因又概率分别为求该项工作被完成的概率.作,则所以所以例8设某台设备由六部件组成,已知该设备出故障解设表示各部件正常,表示设备正常,又每个部件都出故障.又,每个部件工作出故障的可能性为求设备正常工作的概率.则有例9已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等价于“100个且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的.今混合100个人的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.设事件表示“第个人的血清中含有肝炎病毒”,则所求概率为:即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为0.33.

此例说明,小概率事件在多次的重复试验中会有较大可能出现.三独立性在可靠性问题中的应用一个产品的可靠性用可靠度来刻划,所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.说白了,就是产品是好的概率.以下讨论中,假定系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.1串联系统:全好才好.2并联系统:全坏才坏.3混联系统:分解成子系统.4桥式系统:比较复杂,要用到后面的知识.混联桥式课堂练习:p2918,20思考题:射击问题

n名射手轮流向同一目标射击,命中率均为p.谁先命中谁得胜,都不中则再比下一轮.求排位k者获胜的概率并讨论时的极限意义.解:由前面两名射手的射击问题可得结论：瞎猫碰到死耗子Bernoulli试验:只关心某个事件是否发生.n重Bernoulli试验:把Bernoulli试验独立地重复做n次.

在重Bernoulli试验中,我们感兴趣的是,在试验中事件正好发生次的概率,即问题描述为:

设为重Bernoulli试验,事件是一次试验的一个结果,记事件在n重Bernoulli试验中出现次则问题转化为求概率

分析设若在前次试验中出现的是后次试验中出现的是则相应的概率为注意到在次试验中出现个其余为的组合共有个,所以原问题的概率为：由于上述问题与事件的具体内容无关,仅与试验次数及相关,故一般我们简记成:其中表示事件在重试验中出现的次数.而这恰好是二项展开式中的一项,故称为二项概率.例1:围棋番棋比赛.见22页,例1.23结论:多局赛制对高手有利.注:三局两胜制实际比赛中,连赢两局不再比三局,在贝努里概型计算中是拆成胜胜负与胜胜胜.例2设某种杯子,摔破的概率为0.4,连续摔7个杯子,解此问题是的Bernoulli试验,由条件求恰好摔破3个杯子的概率.由二项概率公式得相应的概率为:例3某小区有10部电梯,每部电梯发生故障的概率为解此问题是的二项概率,则问题为0.2,求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率.求概率由二项概率公式得

该问题可以进一步延伸为:某小区有200部电梯,每部电梯发生故障的概率为0.02,电梯发生故障时,物业管理部门需要派出一名维修工人进行修理.要保证电梯发生故障时,物业管理部门一定有维修工人可以派遣,则一个最可靠的方法是,为每一部电梯都安排一个维修人员.但实际上,没有一个物业管理部门会这样做.现在的问题是,如果我们要求以95%的把握保证当电梯发生故障时,物业部门有维修人员可以派遣,则应该聘用多少名维修人员？

若数表示聘用的维修人员数,则发生故障的电梯台数不超过问题为即要找到适当的使上式成立.若用公式进行计算,则问题是比较复杂的.在下一章中,我们寻找更好的方法来解决该问题.§1.6全概率公式与贝叶斯公式引例:求进校园销售的自行车的不合格率.直接按古典概率定义,很难得到数据.如果投放学校的自行车有三种型号分别记为则表示市场占有率.以B表示不合格的自行车则表示各型号自行车的不合格率.这两组数据容易得到.能否由这两组数据算出自行车的不合格率？由可加性得再由乘法定理由条件概率公式得如果,已知买到了不合格的自行车,要看是哪种型号的自行车可能性大,也就是要比较可见与两个因素,市场占有率和自身的不合格率有关.这种思路,就是本节要学的全概率公式与贝叶斯公式.将自行车设定为n种,很容易推到一般情况.完备事件组1设是的一组事件若满足下列两条件2则称是样本空间的一个划分或一个完备事件组.

这是一个完备事件组.例设而注:完备事件组是样本空间的一个划分.图示如下.全概公式贝叶斯公式定理1.3设是一完备事件组,且则对任一事件有证明同引例,略.解:先普及历法.400年一周期.任取一年,求该年有53个周日的概率.若已知该年有53个周日,求该年是闰年的概率.例1历法问题方法一古典概型每逢4的倍数闰,一共有100个每逢100的倍数不闰,一共有4个每逢400的倍数闰,一共有1个400年中共有100-4+1=97个闰年.方法二利用全概公式

表示平年,则构成一划分

表示有53个星期天如果已知该年有53个星期天,求该年是闰年的概率.则由已知条件得例2已知肝炎发病率为万分之四.用某法检查肝炎.患者阳性率为95%,正常人阴性率为90%.求反应为阳性者确实得了肝炎的概率.解设A为反应为阳性,为反应为阴性,B为被诊断者患肝炎.先求阳性率反应阳性实际得病这一概率非常小.是否可以不管？事实上高危人群.倍,例3设有三箱产品,其中甲箱有产品120件,次品率⑴随机取一箱,再取一件,取到的是次品;⑵开箱后混放,从中取一件,取到的是次品.解设表示从甲、乙、丙三箱中取产品,表⑴乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以下概率:示取到的是次品,则由全概率公式⑵由于第二个问题是开箱后混放产品,故取到各箱产品的概率就不同了,此时产品总数为420件,所以再由全概率公式得例4某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0.05,第二车间的次品率为0.03,第三车间的次品率为0.01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件.出厂时,三车间的产品完全混合,现从中任取一产品,求该产品是次品的概率.若已知抽到的产品是次品,求该产品是一车间的概率.解:设为取到第i个车间的产品,B为取到次品由全概率公式得:由贝叶斯公式得:注:一定要写清事件,公式,不得只写算式.全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,有着广泛的应用.若把事件理解为‘原因’,而把B理解为‘结果’,则是原因引起结果B出现的可能性,是各种原因出现的可能性.全概率公式表明综合引起结果的各种原因,反映了结果出现的可能性的大小；而贝叶斯公式则反映了当结果出现时,它是由原因引起的可能性的大小,故常用于可靠性问题.如:可靠性寿命检验,可靠性维护,可靠性设计等.例5某机器由A,B,C三类元件构成,其所占比例分别为0.1,0.4,0.5,且其发生故障的概率分别为0.7,0.1,0.2.现机器发生了故障,问应从哪个元件开始检查？类；C为元件是C类,则解:设D为发生故障；A为元件是A类；B为元件是B由贝叶斯公式首次命中时已投篮的次数.在灯泡寿命问题中,我们关心灯泡使用的小时数.对于这类随机现象,其试验结果显然可以用数值来描述,并且随着试验的结果不同而取不同的数值.而有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述.由此引入随机变量的概念.§2.1

随机变量例1设随机试验为抛硬币试验,我们以符号表示出出现正面,出现反面.现的是正面,符号表示出现的是反面,为了更好的刻画这类随机试验,我们引入量化指标:例2设随机试验为一次打靶试验,其基本结果是中与击中目标,未击中目标.不中.同样可以引入量化指标:例3设随机试验为一次考试试验,其基本结果是通过考试通过,考试未通过.与未通过.同样可以引入量化指标:

在上面的三个例子中,对只有两个基本结果的随机试验,我们可用两个取值来加以刻画.并且这样的刻画具有一种共性.例4设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时所进行过的射击次数.则的取值为例5设随机试验表示重Bernoulli试验,以表示事

将上面的问题一般化,我们引入:件在次试验中出现的次数,则的取值为定义2.1RandomVariable

给定一个随机试验,是其样本空间,如果对中的每一个样本点,有一个实数与它对应,那么把称为一维随机变量.常用大写字母等来表示.这个定义域为样本空间的单值实值函数例6:掷一枚均匀骰子，其样本空间为定义随机变量:由于关心的角度不同，我们用不同的对应关系得到不同的随机变量定义不涉及概率的概念,常写为,而对实数域上任意数定义表明随机变量是样本点的函数,它的集,集合表示一个随机事件,我们常简单表示为如在掷硬币试验中,掷出正面这个随机事件可表示为,,,等等.相应的概率应该记为因为不致引起混淆,我们简记为比如:§2.2概率函数定义:设是上的随机变量,若的全部可能取值为有限个或可列个(即的全部可能取值可一一列举出来)注:由定义可知,若样本空间是离散的,则定义在

上的任何单值实函数都是离散型随机变量.反之不然.则称为离散型随机变量.如射箭的例子中,我们可以将离靶心的距离对应环数.设离散型随机变量的值域为事件的概率记为根据概率的定义与性质,满足12当满足这两个条件时,称为随机变量的概率函数或分布律.为某离散型随机变量的分布律.反之,任意一个满足以上二性质的数列,都可以作这为我们求某些特殊级数的和提供了便利.通常,我们把分布律用如下表格表示：求的概率.假设罚球命中率为0.9,各次罚球是相互独立的.引例:三分球犯规,罚球3次.随机事件表示得k分.上一章中有一例子我们用随机变量来改写一下.表达既清晰又简单.例:三分罚篮随机变量表示得分,则的分布律为:显然比写成四个等式要简洁直观.如果我们需要求得分或至少得两分的概率,那么,用随机变量形式表示出来就是可见,分布律完全刻划了离散型随机变量取值的规律.这样,对于离散型随机变量,只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率,也就是说知道了它的分布律,就掌握了这个离散型随机变量的统计规律.例1设袋中有5球,编号为从袋中随机地解以表示取到球的编号,则的取值为因1同理,取一球,以表示取到的球的编号,求的分布.号球只有一个,故及从而随机变量的分布律为

若如果随机变量的分布律为:§2.3常用离散型随机变量10-1分布则称服从0-1分布.记为只有成功和失败两种对立结局的试验称做贝努利试验.的概率.例如产品抽样验收:抽到不合格品为成功,抽到合格品为失败;射击:命中为成功,脱靶为失败;掷骰子:掷出6为成功,掷出1到5为失败……贝努利试验成功的次数服从0-1分布,参数为成功2二项分布如果随机变量的分布律为则称服从参数为的二项分布,记为:1)独立重复试验成功次数的分布设是n

重贝努利试验成功的次数,则参数p是每次试验成功的概率．例如n次独立重复射击命中的次数服从二项分布,参数p是每次射击的命中率.2)自有限总体的还原抽样(有放回的摸球)设总体X

含N个个体,其中M个具有某种特征A.设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次数,则其中如果是不还原抽样呢?那我们有如下超几何分布.3超几何分布自有限总体的不还原抽样（无放回的摸球）设总体X

含N个个体,其中M个具有某种特征A.设X是n次不还原抽样具有特征A的个体出现的次数,则约定:当时，二项分布来近似计算.当N很大时,实际应用时只要,可以用例1从积累的资料看,某条流水线生产的产品中,一级品率为90%.今从某天生产的1000件产品中,随机地抽取20件作检查.试求:(1)恰有18件一级品的概率;(2)一级品不超过18件的概率.解设X表示“20件产品中一级品的个数”.由于,因此可以近似地认为(1)所求概率为(2)所求概率为

例2设有保险公司的某保险险种有1000人投保,每个解以随机变量表示在未来一年中这1000个投保人死人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的.试求在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率.亡的人数,则相应的问题转变为求概率由在上式中直接计算是比较

设当很大很小且适中时有在上例中,取则有困难的,为此我们引入一个简便的计算方法——即二项分布的逼近.即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率为0.986.定理2.1:Poisson定理设,.对于任意一个非负整数k,有证由推得定理2.1中的极限值满足:因此,它是某个随机变量的概率函数.

设随机变量的分布律为则称随机变量服从参数为的泊松分布,记为泊松分布的计算:查表三p256-2574泊松分布例3设求解查表得泊松定理告诉我们,二项概率可以用泊松分布的概率函数值来近似.不过n应尽量地大,否则近似效果不佳.例4设某小区有电梯200部,每台电梯发生故障的可⑴在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率;⑵在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率;⑶配备多少维修工人,使能以95%的概率,保证当电梯解以表示在同一时刻发生故障的电梯数,则由条件则所以能性为0.02,求发生故障时,有维修工人进行维修.得⑴查表得⑵⑶记配备的维修工人数为若有维修工人能进行维修,则所以原问题由概率来反映,即为从而查表得故取即配备8名维修人员,便能以95%的概率,保证当电梯发生故障时,一定有维修工人进行维修.注:我们把源源不断地出现在随机时刻的质点形成的“流”称做随机质点流.例如,到达商店的顾客,某道口右转车辆,打进的电话数,交通事故,重大刑事案件,设备的故障等等.以表示在长为t的时间内出现的其中是单位时间出现的随机质点的平均个数,称随机质点的个数,则服从参数为的泊松分布.作质点流的强度.五几何分布背景:投篮机器人（首次成功时的次数）设投篮命中率为p,各次投篮是相互独立的.记首次命中时的投篮次数为X则则称X服从参数为p的几何分布6均匀分布7退化分布课堂练习p52(4)2,3,88解答:设分别为X取奇数和偶数的概率,显然解方程组得思考题:投篮机器人第二次成功时的次数为,求的分布.解:若,则前次中只有一次成功且在任何一次.考虑箭在靶子上的位置,而这个位置是由两个随机变量（两个坐标）来确定的.体型主要由身高和体重两个指标决定.等等.下面我们先介绍二维随机变量及其分布,并推广到n维.一联合概率函数个样本点,有一对有序实数与它对应,的变量称为二维随机变量.

设是随机试验,是相应的样本空间,对中的每一那么,就把这样一个定义域为,取值为有序实数假定称为二维随机变量的联合概率函数或联合分布律.由概率的定义不难得到:联合概率函数常用分布表的形式给出:注:不要转置.一般双下标前行后列.对平面上任意一个集合D例1设袋中有5球,编号为今从袋中取二球解由条件,随机变量的可能取值为因号当先取号球,此时还剩4球,其中2号球有2个,故（不放回）,分别以表示第一、二次取到的球的编号,求的分布律.球只有一个,故相仿地,有由此得到分布表二边缘概率函数已知二维随机变量的联合分布,如何求作为一维随机变量的或的分布？设的联合概率函数为:则X遍取各个值的概率因此称为X的边缘概率函数.验证:确实是一个概率函数.因此同样定义随机变量的边缘概率函数.着加,求列和”.如果,的联合分布以表格形式给出,则求的边缘分布即“横着加,求行和”;求的边缘分布即“竖例2设二维随机变量有概率函数求边缘概率函数.解对上表分别作行和及列和,得:由此得边缘概率函数分别为:及例3箱子中有10件产品,其中2件是次品,每次从箱子中任取一件产品,共取2次,定义随机变量如下:若第一次取出正品若第一次取出次品若第二次取出正品若第二次取出次品分别就下面2种情况下求出二维随机变量的联合分布及边缘分布⑴放回抽样;⑵不放回抽样解⑴放回抽样时,则有即有分布表:.⑵不放回抽样时,则有即有分布表:.相应的边缘分布都为:由此可见,由联合分布可以得到边缘分布.反之不然.§2.5随机变量的独立性与条件分布

一随机变量的独立性考察例3有放回抽样的情形，我们发现对一切i,j有引进随机变量独立性的概念.这表明事件与是相互独立的.由此定义:Independent设是二维离散型随机变量,其联合概率函数为如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即对一切成立则称随机变量是相互独立的问:随机变量的独立性与事件的独立有什么联系?定理2.2:随机变量相互独立的充要条件是:对实数域上任意两个集合,总有定义:多个随机变量的相互独立如果随机变量的联合概率函数恰为n个边缘概率函数的乘积,就称这n个随机变量相互独立.例4设是二维随机变量,相应的分布律为判断是否独立.解因随机变量的边缘分布分别为因对所以随机变量是相互独立的.例5设是二维随机变量,相应的分布律为判断是否独立.解因随机变量的边缘分布分别为因所以随机变量是不独立的.注:当随机变量相互独立时,边缘分布可以决定联合分布.反之不然.因此不独立时,不要随便乘.二条件概率函数一般情况下,二维随机变量中的两个随机变量取值是相互影响的,比如身高和体重.现在通过条件概率来考察这种影响.比如在某个身高条件下,体重的分布;或某个体重条件下,身高的分布.设的联合概率函数为:如果已知事件发生,其中j固定,那么条件概率显然有即是一个概率函数.定义:设的联合概率函数为:对于任意一个固定的j,称为已知事件发生下,X的条件概率函数.类似地,对于任意一个固定的i,称为已知发生的条件下Y的条件概率函数.注:当X与Y取值有限且个数少的情况下，从表格计算很方便.相当于乘法公式,有即已知一个随机变量的分布,以及另一个随机变量在这个随机变量遍取各个值时的条件分布,可以决定联合分布.当X与Y相互独立时,条件分布等于无条件分布.例6p39例2.5几何分布的无记忆性证明:例7p54(6)2.19解:联合概率函数表格如下,只要填6个空挡.由已知条件可得:从而两个空挡处是0.由X的边缘分布是求行和得到，我们有最后，由Y的边缘分布是求列和得到，我们有一、一维随机变量函数的概率函数一维离散型随机变量X的函数也是一维离散型随机变量.已知X的概率函数.如何求其函数的概率函数？设离散型随机变量X的概率函数为即有分布律1表格法若为一已知函数,则随机变量的取值为：将从小到大排序如果有若干值相等,合并相应的为一项.例1设为离散型随机变量,概率函数为求随机变量的分布.所以所以例2设有分布列求的分布.解:2公式法已知,求的分布,并证明步骤一由求得步骤二:对中的任一值,求出概率另类方法:描述设，设则X是n重贝努利试验中事件A出现的次数,则n-X是n重贝努利试验中事件出现的次数.则二、二维随机变量的函数的分布

设是二维离散型随机变量,其函数是一维离散型随机变量.已知的联合概率函数,如何求其函数的概率函数?1表格法求出诸从小到大排序如果有若干值相等,合并相应的为一项例3设是二维离散型随机变量,分布列为求:⑴⑵⑶的概率函数.若要求的联合分布,表格中将U,V的值写成向量.定理2.3设独立同分布(以后记成iid)independentidenticaldistribution,

记则注:以后用的更多的是将Y拆成定理2.4:(分布的可加性)设X与Y相互独立1当时,2当时,1的证明方法一:利用定理2.3拆X,Y

则1的证明方法二:公式法严格证明需说明独立.2公式法步骤一由求出步骤二对中的任一值,求出概率.2的证明过程与1相似定理2.5p51直观地看,将相互独立的随机变量分成两部分分别求函数,则两新的随机变量相互独立.课堂练习:p5528解:先求出的分布,由定理2.5及已知条件,它们独立同分布,再求思考题:设随机变量X,Y相互独立且都服从参数为p的几何分布.求X+Y的分布.解:等式右端的事件的形式是一样的.可见,只要对一切实数x给出概率则任何事件及它们的可列交、可列并的概率都可求得.从而并决定了随机变量X的一切概率特征.由此引入定义:

完全刻划了随机变量X的统计规律,为随机变量的分布函数.定义3.1设是随机变量,称定义域为的实值函数为强调是X的分布函数，有时记成§3.1

分布函数

求分布函数解若则为不可能事件,因而若则所以例1设为随机变量,取值为相应的分布律如下若则所以同理,当有当从而的分布函数为:离散型随机变量的分布律与分布函数的互相转换:向左看,累加;向上看,递减.注:用概率函数来刻划离散型随机变量的统计规律性更有效,更直接.例2求区间上的随机数X的分布函数.解:0,1将实数轴分为三部分定理3.1分布函数的性质⑴有界⑵单调不减⑶极限性质(4)右连续定理3.2对于任意一个随机变量X，X的分布函数在处连续的充要条件是证明思路:必要性由夹逼性即得充分性证明要用到:定义3.2二维随机变量的分布函数二元实值函数给定一个二维随机变量,称定义在整个平面的为随机变量的分布函数,或称为X与Y的联合分布函数.其几何意义为:

表示随机点落在无界区域D中的概率.定理3.3联合分布函数的性质1有界性2单调不减3极限性质4右连续5代数式对任意的有§3.2概率密度函数考察区间上的随机数X的分布函数.除了两个尖点,函数的曲线很光滑.作的导函数.改造成:由高数知识:则称为连续型随机变量,函数称为相应的概率密度函数.定义3.3给定一个随机变量,如果存在一个定义域为整