广东省三校2024届高三教学调研（二）数学试题试卷

广东省三校2024届高三教学调研（二）数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A． B． C． D．2．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种 B．144种 C．288种 D．360种3．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,24．若复数（为虚数单位），则（）A． B． C． D．5．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（）A．12 B．21 C．24 D．367．已知，，，，则（）A． B． C． D．8．在中，，，，若，则实数()A． B． C． D．9．函数的图象可能为（）A． B．C． D．10．已知i为虚数单位，则（）A． B． C． D．11．若复数满足，则（）A． B． C． D．12．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.14．点到直线的距离为________15．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．16．若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，k的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方)，求的值.20．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.22．（10分）的内角的对边分别为，若（1）求角的大小（2）若，求的周长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【题目详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.【题目点拨】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.2、B【解题分析】

利用分步计数原理结合排列求解即可【题目详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【题目点拨】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题3、C【解题分析】

先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【题目详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C．【题目点拨】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题．4、B【解题分析】

根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出.【题目详解】,,故选：B【题目点拨】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.5、C【解题分析】

由图象变换的原则可得,由可求得值域；利用代入检验法判断②③；对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【题目详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误；当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；当时,,所以的一个对称中心是,③正确；,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【题目点拨】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.6、B【解题分析】

根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.【题目详解】因为数列是等差数列，，所以，即，又，所以，，故故选：B【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.7、D【解题分析】

令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.【题目详解】时，令，求导，，故单调递增：∴，当，设，，又，，即，故.故选：D【题目点拨】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.8、D【解题分析】

将、用、表示，再代入中计算即可.【题目详解】由，知为的重心，所以，又，所以，，所以，.故选：D【题目点拨】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.9、C【解题分析】

先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.【题目详解】因为，所以是奇函数，故排除A，B，又，故选：C【题目点拨】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、A【解题分析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.【题目详解】.故选：A.【题目点拨】本题考查复数代数运算，属于基础题题.11、B【解题分析】

由题意得,,求解即可.【题目详解】因为,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.12、A【解题分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【题目详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.故选：A【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】

△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.【题目详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.过作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以△PMF的周长最小值为55.故答案为：5.【题目点拨】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.14、2【解题分析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出。【题目详解】依据点到直线的距离公式，点到直线的距离为。【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。15、164【解题分析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【题目详解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；则a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案为：16,4.【题目点拨】本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.16、【解题分析】

二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线得距离为d，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，由此可得，则由可求k值.【题目详解】解：如图，设二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线的距离为d，则，即.∵点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，∴，则，∵动点Q的轨迹是抛物线，∴，即则.∴二面角的平面角的余弦值为解得：（）.故答案为：.【题目点拨】本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析．（2）【解题分析】

（1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.【题目详解】（1）由由因为是正四棱锥，故于是，由余弦定理，在中，设再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以为原点建立直角坐标系，如图：则设面的法向量为，的法向量为则，取于是，二面角的余弦值为：【题目点拨】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【题目详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为，转换为直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），转换为标准式为（为参数），代入圆的直角坐标方程整理得，所以，..【题目点拨】本题属于基础本题考查的知识要点：主要考查极坐标，参数方程与普通方程互化，及求三角形面积．需要熟记极坐标系与参数方程的公式，及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路．19、（1），；（2）【解题分析】

(1)利用代入法消去参数可得到直线的普通方程，利用公式可得到曲线的直角坐标方程；(2)设直线的参数方程为（为参数），代入得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【题目详解】（1）由题意得点的直角坐标为，将点代入得则直线的普通方程为.由得，即.故曲线的直角坐标方程为.（2）设直线的参数方程为（为参数），代入得．设对应参数为，对应参数为．则，，且.．【题目点拨】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．20、（1）（2）【解题分析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;(2)求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.【题目详解】（1）当时，则所以不等式的解集为.（2）等价于，而，故等价于，所以或，即或，所以实数a的取值范围为.【题目点拨】本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度一般.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为，利用列举法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；（Ⅲ）结合表中的数据判断即可.【题目详解】（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数.（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为，总的基本事件为共15种，事件所包含的基本事件为共10种，由古典概型概率计算公式可得