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文档简介

北京海淀区2024届高三2月网上月考(开学)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.方程的实数根叫作函数的“新驻点”,如果函数的“新驻点”为,那么满足()A. B. C. D.2.设,,则()A. B. C. D.3.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()A. B. C. D.4.已知集合,,,则()A. B. C. D.5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=﹣x﹣2,则()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)6.的展开式中的系数是()A.160 B.240 C.280 D.3207.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.8.曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D.9.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为,,虚轴的两个端点分别为,,若四边形的内切圆面积为,则双曲线焦距的最小值为()A.8 B.16 C. D.10.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()A. B. C. D.11.已知等差数列中,,则()A.20 B.18 C.16 D.1412.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设定义域为的函数满足,则不等式的解集为__________.14.若,,则___________.15.将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,则函数在区间上的值域为__________.16.已知双曲线(,)的左,右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左,右两支分别交于,两点,若,,则双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,为等腰直角三角形,,平面底面,为的中点.(1)求证:平面;(2)若平面与平面的交线为,求二面角的正弦值.18.(12分)已知函数,,且.(1)当时,求函数的减区间;(2)求证:方程有两个不相等的实数根;(3)若方程的两个实数根是,试比较,与的大小,并说明理由.19.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.20.(12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这个零件尺寸的中位数(结果精确到);(2)若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个,设表示尺寸在上的零件个数,求的分布列及数学期望;(3)已知尺寸在上的零件为一等品,否则为二等品,将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,已知每个零件的检验费用为元.若检验,则将检验出的二等品更换为一等品;若不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个,结果有个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.21.(12分)椭圆的右焦点,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于,两点.为坐标原点,为椭圆的右顶点,求四边形面积的最大值.22.(10分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线与直线其中的一个交点为,且点极径.极角(1)求曲线的极坐标方程与点的极坐标;(2)已知直线的直角坐标方程为,直线与曲线相交于点(异于原点),求的面积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题设中所给的定义,方程的实数根叫做函数的“新驻点”,根据零点存在定理即可求出的大致范围【题目详解】解:由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”,对于函数,由于,,设,该函数在为增函数,,,在上有零点,故函数的“新驻点”为,那么故选:.【题目点拨】本题是一个新定义的题,理解定义,分别建立方程解出存在范围是解题的关键,本题考查了推理判断的能力,属于基础题..2、D【解题分析】

集合是一次不等式的解集,分别求出再求交集即可【题目详解】,,则故选【题目点拨】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算,属于基础题.3、C【解题分析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【题目详解】由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.故选:C【题目点拨】本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.4、D【解题分析】

根据集合的基本运算即可求解.【题目详解】解:,,,则故选:D.【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.5、B【解题分析】

根据函数的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函数f(x)在定义域上的图象,由此结合选项判断即可.【题目详解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函数且周期为2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]时的图象,然后根据周期为2依次平移,并结合f(x)是偶函数作出f(x)在R上的图象如下,选项A,,所以,选项A错误;选项B,因为,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),选项B正确;选项C,,所以,即,选项C错误;选项D,,选项D错误.故选:B.【题目点拨】本题考查函数性质的综合运用,考查函数值的大小比较,考查数形结合思想,属于中档题.6、C【解题分析】

首先把看作为一个整体,进而利用二项展开式求得的系数,再求的展开式中的系数,二者相乘即可求解.【题目详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为,令,则,又的第为,令,则,所以的系数是.故选:C【题目点拨】本题考查二项展开式指定项的系数,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于基础题.7、B【解题分析】

由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【题目详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【题目点拨】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为08、A【解题分析】

将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程.【题目详解】曲线,即,当时,代入可得,所以切点坐标为,求得导函数可得,由导数几何意义可知,由点斜式可得切线方程为,即,故选:A.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,属于基础题.9、D【解题分析】

根据题意画出几何关系,由四边形的内切圆面积求得半径,结合四边形面积关系求得与等量关系,再根据基本不等式求得的取值范围,即可确定双曲线焦距的最小值.【题目详解】根据题意,画出几何关系如下图所示:设四边形的内切圆半径为,双曲线半焦距为,则所以,四边形的内切圆面积为,则,解得,则,即故由基本不等式可得,即,当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选:D【题目点拨】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用,圆锥曲线与基本不等式综合应用,属于中档题.10、A【解题分析】

画出不等式组所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解,得到答案.【题目详解】画出不等式组所表示平面区域,如图所示,由目标函数,化为直线,当直线过点A时,此时直线在y轴上的截距最大,目标函数取得最大值,又由,解得,所以目标函数的最大值为,故选A.【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.11、A【解题分析】

设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【题目详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选:A【题目点拨】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.12、B【解题分析】分析:根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为;根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为,根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解:记执行第次循环时,的值记为有,则有;记执行第次循环时,的值记为有,则有.令,则有,故,故选B.点睛:本题为算法中的循环结构和数列通项的综合,属于中档题,解题时注意流程图中蕴含的数列关系(比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义,是否是求数列的前和、前项积等).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

根据条件构造函数F(x),求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.【题目详解】设F(x),则F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解为故答案为:【题目点拨】本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键.14、【解题分析】

因为,所以,又,所以,则,所以.15、【解题分析】

根据图像的平移变换得到函数的解析式,再利用整体思想求函数的值域.【题目详解】函数的图像向右平移个单位得,,,.故答案为:.【题目点拨】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意整体思想的运用.16、【解题分析】

设,由双曲线的定义得出:,由得为等腰三角形,设,根据,可求出,得出,再结合焦点三角形,利用余弦定理:求出和的关系,即可得出离心率.【题目详解】解:设,由双曲线的定义得出:,,由图可知:,又,即,则,为等腰三角形,,设,,则,,即,解得:,则,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案为:.【题目点拨】本题考查双曲线的定义的应用,以及余弦定理的应用,求双曲线离心率.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解题分析】

(1)取的中点,连接,易得,进而可证明四边形为平行四边形,即,从而可证明平面;(2)取中点,中点,连接,易证平面,平面,从而可知两两垂直,以点为坐标原点,向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,进而求出平面的法向量,及平面的法向量为,由,可求得平面与平面所成的二面角的正弦值.【题目详解】(1)证明:如图1,取的中点,连接.,,,,且,四边形为平行四边形,.又平面,平面,平面.(2)如图2,取中点,中点,连接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,两两垂直.以点为坐标原点,向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.则,,设平面的法向量为,则,取,得.设平面的法向量为,则,取,得.因为,,,所以,所以平面与平面所成的二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查线面平行的证明,考查二面角的求法,利用空间向量法是解决本题的较好方法,属于中档题.18、(1)(2)详见解析(3)【解题分析】

试题分析:(1)当时,,由得减区间;(2)因为,所以,因为所以,方程有两个不相等的实数根;(3)因为,,所以试题解析:(1)当时,,由得减区间;(2)法1:,,,所以,方程有两个不相等的实数根;法2:,,是开口向上的二次函数,所以,方程有两个不相等的实数根;(3)因为,,又在和增,在减,所以.考点:利用导数求函数减区间,二次函数与二次方程关系19、(1)(2)【解题分析】

(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【题目详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.20、(1);(2)分布列见详解,期望为;(3)余下所有零件不用检验,理由见详解.【解题分析】

(1)计算的频率,并且与进行比较,判断中位数落在的区间,然后根据频率的计算方法,可得结果.(2)计算位于之外的零件中随机抽取个的总数,写出所有可能取值,并计算相对应的概率,列出分布列,计算期望,可得结果.(3)计算整箱的费用,根据余下零件个数服从二项分布,可得余下零件个数的期望值,然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值,进行比较,可得结果.【题目详解】(1)尺寸在的频率:尺寸在的频率:且所以可知尺寸的中位数落在假设尺寸中位

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