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文档简介
甘肃省岷县一中2024届高三下学期期末联考数学试题试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设双曲线(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于,若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为()A. B.C. D.2.若a>b>0,0<c<1,则A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb3.已知是定义在上的奇函数,当时,,则()A. B.2 C.3 D.4.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20175.使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A. B. C. D.6.已知点,是函数的函数图像上的任意两点,且在点处的切线与直线AB平行,则()A.,b为任意非零实数 B.,a为任意非零实数C.a、b均为任意实数 D.不存在满足条件的实数a,b7.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.8.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.9.若集合,,则=()A. B. C. D.10.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.11.已知三棱柱的所有棱长均相等,侧棱平面,过作平面与平行,设平面与平面的交线为,记直线与直线所成锐角分别为,则这三个角的大小关系为()A. B.C. D.12.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.能说明“在数列中,若对于任意的,,则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.(写出数列的通项公式)14.已知等比数列的各项均为正数,,则的值为________.15.对任意正整数,函数,若,则的取值范围是_________;若不等式恒成立,则的最大值为_________.16.已知实数,满足,则目标函数的最小值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.18.(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知椭圆C的离心率为且经过点(1)求椭圆C的方程;(2)过点(0,2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B,以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上,求直线l的方程.21.(12分)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围;(2)是否存在实数,对于符合题意的任意,当时均有?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若的最小值为1,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】
由题得,,又,联立解方程组即可得,,进而得出双曲线方程.【题目详解】由题得①又该双曲线的一条渐近线方程为,且被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,所以②又③由①②③可得:,,所以双曲线的标准方程为.故选:C【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,圆的方程的有关计算,考查了学生的计算能力.2、B【解题分析】试题分析:对于选项A,,,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,,,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.3、A【解题分析】
由奇函数定义求出和.【题目详解】因为是定义在上的奇函数,.又当时,,.故选:A.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性,掌握奇函数的定义是解题关键.4、D【解题分析】
依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.5、B【解题分析】二项式展开式的通项公式为,若展开式中有常数项,则,解得,当r取2时,n的最小值为5,故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用.6、A【解题分析】
求得的导函数,结合两点斜率公式和两直线平行的条件:斜率相等,化简可得,为任意非零实数.【题目详解】依题意,在点处的切线与直线AB平行,即有,所以,由于对任意上式都成立,可得,为非零实数.故选:A【题目点拨】本题考查导数的运用,求切线的斜率,考查两点的斜率公式,以及化简运算能力,属于中档题.7、A【解题分析】
根据题意,,求出,所以,根据三角函数图像平移伸缩,即可求出的取值范围.【题目详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点,则,,,,,若函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,则,所以当时,,在有且仅有5个零点,,.故选:A.【题目点拨】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题,考查转化思想和计算能力.8、C【解题分析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【题目详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【题目点拨】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.9、C【解题分析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.10、A【解题分析】
点的坐标为,,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案.【题目详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,因为,,所以,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,此时的外接圆面积取最小值,点的坐标为,代入可得,.所以双曲线的方程为.故选:【题目点拨】本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.11、B【解题分析】
利用图形作出空间中两直线所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【题目详解】如图,,设为的中点,为的中点,由图可知过且与平行的平面为平面,所以直线即为直线,由题易知,的补角,分别为,设三棱柱的棱长为2,在中,,;在中,,;在中,,,.故选:B【题目点拨】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算,考查了学生的作图,用图能力,体现了学生直观想象的核心素养.12、C【解题分析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.【题目详解】对于A选项:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,故A正确;对于B选项:与去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长,所以其总量也实现了增长,故B正确;对于C选项:2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是:江苏、山东、浙江、河南、辽宁,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,均居同一位的省有2个,故C错误;对于D选项:去年同期河南省的GDP总量,故D正确.故选:C.【题目点拨】本题考查了图表分析,学生的分析能力,推理能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、答案不唯一,如【解题分析】
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.【题目详解】由题意知,不妨设,则,很明显为递减数列,说明原命题是假命题.所以,答案不唯一,符合条件即可.【题目点拨】本题考查对等差数列的概念和性质的理解,关键是假设出一个递减的数列,还需检验是否满足命题中的条件,属基础题.14、【解题分析】
运用等比数列的通项公式,即可解得.【题目详解】解:,,,,,,,,,,,.故答案为:.【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式及应用,考查计算能力,属于基础题.15、【解题分析】
将代入求解即可;当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值;同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.【题目详解】由题,,解得.当为奇数时,,由,得,而函数为单调递增函数,所以,所以;当为偶数时,,由,得,设,,单调递增,,所以,综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.故答案为:(1);(2)【题目点拨】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.16、-1【解题分析】
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【题目详解】作出实数x,y满足对应的平面区域如图阴影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直线yx,由图象可知当直线yx经过点A时,直线yx的纵截距最小,此时z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此时z的最小值为z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案为﹣1.【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,是基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ)【解题分析】
(Ⅰ)设点,,则,代入化简得到答案.(Ⅱ)分别计算,的极坐标方程为,,取代入计算得到答案.【题目详解】(Ⅰ)设点,,,故,故的参数方程为:(为参数).(Ⅱ),故,极坐标方程为:;,故,极坐标方程为:.,故,,故.【题目点拨】本题考查了参数方程,极坐标方程,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.18、(1)列联表见解析,有把握;(2)分布列见解析,.【解题分析】
(1)根据频率分布直方图补全列联表,求出,从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关.(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,则抽中男教工:人,抽中女教工:人,从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.【题目详解】解:(1)由题意得下表:男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.(2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工,所以的可能取值为0,1,2.且,,,所以的分布列为012【题目点拨】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1);(2)【解题分析】
(1)分类讨论去绝对值号,即可求解;(2)原不等式可转化为在R上恒成立,分别求函数与的最小值,根据能同时成立,可得的最小值,即可求解.【题目详解】(1)①当时,不等式可化为,得,无解;②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故0<x≤1;③当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x<2.综上,不等式的解集为(2)由题意知在R上恒成立,所以令,则当时,又当时,取得最小值,且又所以当时,与同时取得最小值.所以所以,即实数的取值范围为【题目点拨】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,分类讨论,函数的最值,属于中档题.20、(1)(2)【解题分析】
(1)根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程,由此求得,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到,由此求得点的坐标,将的坐标代入椭圆方程,化简后可求得直线的斜率,由此求得直线的方程.【题目详解】(1)由椭圆的离心率为,点在椭圆上,所以,且解得,所以椭圆的方程为.(2)显然直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为,设,由消去得,所以,由已知得,所以,由于点都在椭圆上,所以,展开有,又,所以,经检验满足,故直线的方程为.【题目点拨】本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程
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