山西省忻州一中、临汾一中、精英中学2024届高三数学试题模拟一

山西省忻州一中、临汾一中、精英中学2024届高三数学试题模拟一注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（）A． B．-2 C． D．22．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A． B． C． D．3．点为的三条中线的交点，且，，则的值为()A． B． C． D．4．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④5．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．已知平面向量，，，则实数x的值等于（）A．6 B．1 C． D．7．设等比数列的前项和为，若，则的值为（）A． B． C． D．8．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（）A．12 B．21 C．24 D．369．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．4510．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（）A． B． C． D．11．已知集合，，则为()A． B． C． D．12．函数的图象大致为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.14．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.15．函数的定义域是．16．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．18．（12分）的内角、、所对的边长分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，点是线段的中点，，求的面积.19．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）概率市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①；②若；则，，.20．（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．表中，，，．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．①求关于的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件．（1）求角；（2）若边上的高为，求的长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

设，用表示出，求出的值即可得出答案.【题目详解】设由，，.故选：A【题目点拨】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.2、D【解题分析】

可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出，这样即可得出tan∠CSF的值.【题目详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故选：D.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据，进行数量积的运算即可求出．【题目详解】如图：点为的三条中线的交点，由可得：，又因，，.故选：B【题目点拨】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.4、D【解题分析】

计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【题目详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【题目点拨】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.5、A【解题分析】

根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【题目详解】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.【题目点拨】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.6、A【解题分析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【题目详解】，，，，即，故选：A【题目点拨】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.7、C【解题分析】

求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【题目详解】设等比数列的公比为，，，，因此，.故选：C.【题目点拨】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.8、B【解题分析】

根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.【题目详解】因为数列是等差数列，，所以，即，又，所以，，故故选：B【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.9、B【解题分析】

计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【题目详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.【题目点拨】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.10、D【解题分析】

由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【题目详解】由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，又由，所以，在直角中，因为，所以，设外接球的半径为，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选:D.【题目点拨】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.11、C【解题分析】

分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【题目详解】因为集合，，所以故选：C【题目点拨】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.12、D【解题分析】

由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、③④【解题分析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．【题目详解】①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；②若且，则或者，②错；③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．故答案为：③④．【题目点拨】本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．14、【解题分析】

由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.【题目详解】解：由正弦定理得，则点在曲线上，设，则，，又，，因为，则，即的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.15、【解题分析】解：因为，故定义域为16、【解题分析】

根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.【题目详解】函数的图像向右平移个单位得，，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解题分析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．18、（1）（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出的值；（2）由题意得出，两边平方，化简得出，根据三角形面积公式，即可得出结论.【题目详解】（1）由正弦定理得即即在中，，所以（2）因为点是线段的中点，所以两边平方得由得整理得，解得或（舍）所以的面积【题目点拨】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题.19、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费【解题分析】

（1）根据正态分布的性质可求的值.（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【题目详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得又，，所以；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，得10元的情况为低于平均值，概率，得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.所以变量的分布列为：某家长获赠话费的期望为.所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【题目点拨】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.20、（1）元．（2）①②万元【解题分析】

（1）每件产品的销售利润为，由已知可得的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；（2）①对取自然对数，得，令，，，则，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得；②求出收益，可设换元后用导数求出最大值．【题目详解】解：（1）设每件产品的销售利润为，则的可能取值为，，．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、．所以；；．所以的分布列为所以（元）．即每件产品的平均销售利润为元．（2）①由，得，令，，，则，由表中数据可得，则，所以，即，因为取，所以，故所求的回归方程为．②设年收益为万元，则令，则，，当时，，当时，，所以当，即时，有最大值．即该企业每年应该投入万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为万元．【题目点拨】本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考