新教材适用2023-2024学年高中数学第一章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式课件北师大版选择性必修第二册

第1课时等差数列的概念及其通项公式第一章内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及运用.3.会判断一个数列是不是等差数列.4.加强数学运算和逻辑推理能力的培养.自主预习新知导学一、等差数列的定义【问题思考】1.下列数列有什么共同特点?(1)-2,0,2,4,6,…;(2)-9,-9,-9,-9,…;(3)5,0,-5,-10,-15,….提示:(1)an+1-an=2;(2)an+1-an=0;(3)an+1-an=-5.故共同点为每一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.2.对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母

d表示.对于等差数列{an},有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d.3.下列数列是等差数列的有

.(填序号)

①1,-1,1,-1,1,-1;②m,m,m,m,…;③-,1,2,3,4,…;④-2,-5,-8,-11,-15.答案:②

4.若把等差数列概念中“同一个”去掉,那么这个数列还是等差数列吗?提示:(1)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都等于常数,若这些常数相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不相等,则这个数列不是等差数列.二、等差数列的通项公式【问题思考】1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何求得它的通项公式?提示:由等差数列的定义得a1=a1+0d;a2=a1+d;a3=a2+d=a1+2d;a4=a3+d=a1+3d;……归纳得,an=a1+(n-1)d.2.若等差数列{an}的首项为a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3.已知等差数列:5,…,14,17,…,则an=

;a3=

.

解析:d=17-14=3,故an=5+(n-1)×3=3n+2,a3=3×3+2=11.答案:3n+2

114.若数列{an}的通项公式为an=试问数列{an}是等差数列吗?提示:不是.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(×)(2)若一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4,则它一定是等差数列.(×)(3)等差数列的公差d可以是正数也可以是负数,但不能为0.(×)(4)首项a1=4,公差d=-2的等差数列的通项公式为an=6-2n.(√)合作探究释疑解惑探究一求等差数列的通项公式【例1】

在等差数列{an}中:(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.分析

根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,由条件可建立关于a1,d的二元一次方程组解出a1,d.在等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中有四个量,只要已知其中三个量便可求得另外一个量.【变式训练1】

(1)在等差数列{an}中,已知a4=7,a10=25,求{an}的通项公式;(1)解法一:设{an}的首项为a1,公差为d.∴an=-2+(n-1)×3=3n-5,∴等差数列{an}的通项公式为an=3n-5.解法二:设等差数列{an}的公差为d.∵a4=7,a10=25,∴a10-a4=6d=18.∴d=3.∴an=a4+(n-4)d=3n-5.(2)解法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.解法二:设等差数列{an}的公差为d.由a7=a3+(7-3)d,探究二等差数列的定义及判定【例2】

已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列.分析

可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+1-bn是不是常数.解法一:由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是关于n的一次函数(或常函数,当d=0时),故{bn}是等差数列.解法二:根据题意,知bn+1=3an+1+4,则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列.等差数列的判定方法主要有以下两种:(1)定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}为等差数列;(2)通项公式法:an=an+b(a,b是常数)⇔{an}为等差数列.【变式训练2】

已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.(1)解:要使{an}是等差数列,则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有当2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列.(2)证明:因为an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,2p为一个常数,所以{an+1-an}是等差数列.探究三等差数列的实际应用【例3】

某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4

km时,每增加1

km,乘客需要支付1.2元.所以,可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4

km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14

km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付车费23.2元.在实际问题中,若一组数依次成等数额增长或下降,则可考虑建立等差数列模型解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.【变式训练3】

在通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的气温.解:用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,设首项为a1,公差为d,则a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5.故an=15-6.5n.从而a2=2,a4=-11,a8=-37,即2

km,4

km,8

km高度的气温分别为2

℃,-11

℃,-37

℃.【易错辨析】

因审题不透致误

【典例】

已知等差数列{an}的首项a1=,a10是第一个比1大的项,求此等差数列公差d的取值范围.错解:由题意得a10>1,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:将题设误解为a10>1,而忽视了“a10是第一个比1大的项”,即“a9≤1”,从而造成条件遗漏.在设置条件时,注意第一个比1大的项有两个意思:一个表示此项大于1,另一个表示它是第1个比1大的项.【变式训练】

已知首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,求公差d的取值范围.解:设an=-24+(n-1)d,随堂练习解析:设该数列为{an},其首项为a1,公差为d.答案:B2.在首项为81,公差为-7的等差数列中,值最接近零的项是(

).A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项解析:由an=a1+(n-1)d,得an=-7n+88.答案:C3.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8=

.

解析:由a3+3a8+a13=120,得5a1+35d=120,a1+7d=24,故a3+a13-a8=a1+7d=24.答案:244.等差数列的第1项是1,第7项是-1,则它的第4项是

.

解析:a1=1,a7=-1,由an=a1+(n-1)d,得-1=1+6