新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识2常用逻辑用语2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题课件北师大版必修第一册

2.2

全称量词与存在量词第1课时

全称量词命题与存在量词命题自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.通过已知的数学实例理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念并能用数学符号表示.3.能判断全称量词命题和存在量词命题的真假并掌握其判断方法.4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理能力素养的培养.

自主预习·新知导学一、全称量词命题【问题思考】1.某个城市有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡须长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.(1)文中理发师说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有”这一词语,你还能用其他词语代替吗?(2)上述词语“所有”及其代替词语都有什么含义?提示:(1)任意一个,全部,每个.(2)表示某个范围内的整体或全部.2.全称量词命题(1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.(2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“∀”表示,读作“对任意的”.3.在全称量词命题中,量词是否可以省略?一个全称量词命题的表述是否唯一?提示:在有些全称量词命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.一个全称量词命题的表述不唯一.对于一个全称量词命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.二、存在量词命题【问题思考】1.观察下列语句:①存在一个x∈R,使2x+1=3;②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.(1)语句①②是命题吗?若是命题,判断其真假.(2)语句①②中的“存在一个”“至少有一个”有什么含义?(3)你能写出一些与问题(2)中的词语具有相同意义的词语吗?提示:(1)是命题,都为真命题.(2)表示总体中“个别”或“一部分”.(3)某些,有的,有些等.2.存在量词命题(1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.(2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”.3.命题“有的素数是奇数”中的量词是有的.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(

×

)(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(

√

)(3)全称量词命题中一定含有全称量词,存在量词命题中一定含有存在量词.(

×

)(4)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.(

×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

全称量词命题的判断【例1】判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.(1)所有的素数都是偶数;(2)任意x∈R,(x-1)2+1≥1;(3)任何无理数的平方还是无理数.解:(1)是全称量词命题,“所有”是全称量词,如3是素数,但不是偶数,所以该命题是假命题;(2)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;(3)是全称量词命题,“任何”是全称量词,如

是有理数,所以该命题是假命题.判定一个语句是全称量词命题的三个步骤(1)判断语句是不是命题,如果不是命题,那么当然不是全称量词命题.(2)量词判断:如果是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题.当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.(3)下结论.【变式训练1】判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.(1)对任意实数x,都有x2≥0;(2)菱形的对角线相等.解:(1)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;(2)是全称量词命题,省略了全称量词“所有”,是假命题.探究二

存在量词命题的判断【例2】

指出下列命题中,哪些是存在量词命题,并判断所有命题的真假.(1)存在一个x∈R,使(2)存在一个实数,它的相反数等于它本身;(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(4)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析:先判断命题的类型,全称量词命题通过推理判定其为真,存在量词命题通过举特例判定其为真.解:(1)(2)(4)是存在量词命题;(3)是全称量词命题.(1)因为不存在x0∈R,使

成立,所以该命题是假命题.(2)存在一个实数零,它的相反数等于它本身,所以该命题是真命题.(3)如:边长为1的正方形的对角线长为

,它的长度就不是有理数,所以该命题是假命题.(4)因为方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,所以该方程无实数解,所以该命题是假命题.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时,需要注意以下两点(1)若命题中含有量词,则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词;(2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意义进行判断.【变式训练2】

下列命题为存在量词命题的是(

)A.自然数都是正整数B.存在x=1,使方程x2+x-2=0C.对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0都成立D.对顶角相等解析:A,D中命题都省略了全称量词“所有”,所以A,D都是全称量词命题;C中含有全称量词“任意”,是全称量词命题,B中命题含有存在量词“存在”,所以B是存在量词命题,故选B.答案:B探究三

根据全称(存在)量词命题求参数范围【例3】

若命题“∃x∈R,使得x2+2x+a-1<0”是真命题,求实数a的取值范围.分析:先把问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题→利用对应方程的判别式构造不等式→解不等式得结论解:因为∃x∈R,使得x2+2x+a-1<0,所以二次函数y=x2+2x+a-1的图象与x轴有两个公共点,所以Δ=22-4(a-1)>0,解得a<2.故实数a的取值范围是(-∞,2).1.把本例中“真命题”改为“假命题”,其他条件不变,则结果是什么?解:由题意,可知Δ=22-4(a-1)≤0,解得a≥2.故实数a的取值范围是[2,+∞).2.若把本例条件改为“∀x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”,其他条件不变,则a的取值范围是什么?解:“∀x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”恒成立,等价于1-a<x2+2x在区间[-1,+∞)上恒成立,即1-a<(x2+2x)min,x∈[-1,+∞),又当x∈[-1,+∞)时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,即(x2+2x)min=-1.故1-a<-1,解得a>2,即a的取值范围是(2,+∞).1.全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,其为真时,转化为相应的数学问题(如函数、方程、不等式等),再利用相应知识构建方程或不等式求解.2.存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述,解答该类问题时,一般先对结论作出存在的假设,转化为相应的数学问题求解,再结合条件看求解是否合理,否则否定假设.【变式训练3】

若“∀x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,则实数m的最大值为

.

解析:“∀x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,即m≤(x2+1)min,x∈[-1,1],而当x∈[-1,1]时,1≤x2+1≤2,所以m≤1,故实数m的最大值为1.答案:1易

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析忽视特例的作用而致误【典例】

判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+2x+1>0;(2)∃x∈R,|x-1|≤0.错解

(1)因为x2+2x+1=(x+1)2,所以x2+2x+1>0恒成立,即∀x∈R,x2+2x+1>0是真命题.(2)一个数的绝对值不可能小于0,所以不存在实数x,使|x-1|≤0,即∃x∈R,|x-1|≤0是假命题.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上解法都忽视了特例,(1)中忽视了当x=-1时x2+2x+1=0,导致判断错误.(2)中忽视当x=1时|x-1|=0,导致判断错误.正解:(1)因为当x=-1时x2+2x+1=0,所以命题“∀x∈R,x2+2x+1>0”是假命题.(2)因为当x=1时,|x-1|=0成立,所以命题“∃x∈R,|x-1|≤0”是真命题.判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路【变式训练】

若命题“∃x∈R,使得方程(a-1)x2+x-1=0成立”是真命题,求实数a的取值范围.随

堂

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习1.下列说法正确的个数是(

)①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;②命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题;③命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题.A.0 B.1 C.2 D.3解析:只有②③正确.答案:C2.(多选题)下列命题既是存在量词命题又是真命题的有(

).A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.存在两个无理数,它们的和是无理数D.存在一个负数x,使解析:B,C,D是存在量词命题,但D是假命题,故选BC.答案:BC3.下列语句是存在量词命题的是(

)A.整数n是2和7的倍数B.存在整数n0,使n0能被11整除C.若4x-3=0,则D.