江西省上饶市“山江湖”协作体统招班2024届高考数学试题倒计时模拟卷

江西省上饶市“山江湖”协作体统招班2024届高考数学试题倒计时模拟卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里2．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：①曲线有四条对称轴；②曲线上的点到原点的最大距离为；③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④3．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是A． B． C． D．5．设为锐角，若，则的值为（）A． B． C． D．6．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形7．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（）A． B． C． D．9．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元10．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（）A． B．C． D．11．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-212．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．14．曲线在点处的切线方程是__________.15．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为16．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面，所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数有两个极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.18．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．20．（12分）在中，，，.求边上的高.①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.21．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面，，分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.22．（10分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【题目详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．【题目点拨】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．2、C【解题分析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.【题目详解】①：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②：因为，所以，所以，所以，取等号时，所以最大距离为，故错误；③：设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为，所以，所以，取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.故选：C.【题目点拨】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明.3、A【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【题目详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题4、D【解题分析】

由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.当时，作出函数和的图象，如图所示.若，即的整数解只有1，2，3.只需满足，即，解得，所以.综上，当时，实数的取值范围是.故选D.5、D【解题分析】

用诱导公式和二倍角公式计算．【题目详解】．故选：D．【题目点拨】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．6、C【解题分析】

利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；【题目详解】解：因为所以所以所以所以所以当时，为直角三角形；当时即，为等腰三角形；的形状是等腰三角形或直角三角形故选：．【题目点拨】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7、C【解题分析】

由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.【题目详解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因为为三角形的最大角，所以，又由余弦定理，当且仅当时，等号成立，所以，即，又由，所以的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.8、A【解题分析】

由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.【题目详解】解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），

∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，

设＝(a，b)，，则，即，

又，解得：，∴，对应复数为.故选：A.【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.9、D【解题分析】

用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【题目详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.【题目点拨】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.10、D【解题分析】

由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.【题目详解】由图象可得，函数的最小正周期为，.将点代入函数的解析式得，得，，，则，，因此，.故选：D.【题目点拨】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11、D【解题分析】

由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.【题目详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.【题目点拨】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.12、D【解题分析】

由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【题目详解】设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，则，则，故选：D.【题目点拨】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.【题目详解】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为1．又，所以当时，有．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，故答案为：.【题目点拨】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.14、【解题分析】

利用导数的几何意义计算即可.【题目详解】由已知，，所以，又，所以切线方程为，即.故答案为：【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.15、【解题分析】

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果【题目详解】因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，因此点C的轨迹为直线AB:【题目点拨】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.16、【解题分析】

根据与相似，，过作于，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出，，利用函数单调性判断求解即可.【题目详解】∵在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在平面内的动点，且满足，又，∴与相似∴，即，过作于，设，，∴，化简得：，，根据函数单调性判断，时，取得最大值36，，在正方体中平面.三棱锥体积的最大值为【题目点拨】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；（2）根据极值点定义可知，，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，即可由函数性质得，进而由单调性证明，即证明，从而证明原不等式成立.【题目详解】（1）函数则，因为存在两个极值点，，所以有两个不等实根.设，所以.①当时，，所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.②当时，令得，0减极小值增所以，即.又因为，，所以在区间和上各有一个零点，符合题意，综上，实数的取值范围为.（2）证明：由题意知，，所以，.要证明，只需证明，只需证明.因为，，所以.设，则，所以在上是增函数，在上是减函数.因为，不妨设，设，，则，当时，，，所以，所以在上是增函数，所以，所以，即.因为，所以，所以.因为，，且在上是减函数，所以，即，所以原命题成立，得证.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.18、(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解题分析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．【题目详解】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为；；；所以随机变量的分布列为：所以的期望【题目点拨】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．19、（1）（2）．【解题分析】

（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.【题目详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直线l的方程为．【题目点拨】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.20、详见解析【解题分析】

选择①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.选择②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.选择③，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.【题目详解】选择①，在中，由正弦定理得，即，解得；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择②，在中，由正弦定理得，又因为，所以，即；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择③，在中，由，得；由余