江西省新干县第二中学2024届高三4月高考模拟测试数学试题试卷

江西省新干县第二中学2024届高三4月高考模拟测试数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A． B．C． D．2．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A． B． C． D．3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．7．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（）A． B． C． D．8．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A．1 B． C． D．9．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为A． B． C． D．10．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（）A．B．C．D．11．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．12．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（）条件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，若在上的最大值为，则________.14．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．15．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.16．若满足约束条件，则的最小值是_________，最大值是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为______.18．（12分）已知函数．（1）解不等式；（2）若函数存在零点，求的求值范围．19．（12分）己知的内角的对边分别为.设（1）求的值；（2）若，且，求的值.20．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.21．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．（1）求线段长的最小值；（2）求点的轨迹方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【题目详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，∴，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选：A．【题目点拨】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2、B【解题分析】设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．3、D【解题分析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【题目详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【题目点拨】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.4、C【解题分析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【题目详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.5、A【解题分析】

根据题意得到，化简得到，得到答案.【题目详解】根据题意知：焦点到渐近线的距离为，故，故渐近线为.故选：.【题目点拨】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.6、B【解题分析】

结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【题目详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.【题目点拨】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.7、A【解题分析】

直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可【题目详解】直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.故选：A【题目点拨】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.8、C【解题分析】

对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【题目详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，，故令，得当时，当，当时，故选：C.【题目点拨】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.9、D【解题分析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．【题目详解】解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴

设正方体的棱长为，则，∴．

取，连接，则共面，在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.

故选D．【题目点拨】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．10、B【解题分析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；【题目详解】解：当时，，无意义，故排除A；又，则，故排除D；对于C，当时，，所以不单调，故排除C；故选：B【题目点拨】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.11、A【解题分析】

根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.【题目详解】因为直线：过双曲线的一个焦点，所以，所以，又和其中一条渐近线平行，所以，所以，，所以双曲线方程为.故选：A.【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12、A【解题分析】

根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.【题目详解】若“是递增数列”，则，即，化简得：，又，，，则是递增数列，是递增数列，“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：.【题目点拨】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.【题目详解】解：定义域为，在上单调递增，故在上的最大值为故答案为：【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.14、18【解题分析】

由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【题目详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称，.故答案为：18【题目点拨】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.15、【解题分析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可【题目详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有由知，因此.故答案为：【题目点拨】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题16、06【解题分析】

作不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出结果．【题目详解】作出可行域，如图中的阴影部分：求的最值，即求直线在轴上的截距最小和最大时，当直线过点时，轴上截距最大，即z取最小值，．当直线过点时，轴上截距最小，即z取最大值，.故答案为：0；6.【题目点拨】本题主要考查了线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解题分析】

整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.【题目详解】因为，即所以的模为1故答案为：1【题目点拨】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.18、（1）或；（2）．【解题分析】

（1）通过讨论的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.【题目详解】（1）有题不等式可化为，当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得，不满足，舍去；当时，原不等式可化为，解得，所以不等式的解集为．（2）因为，所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点，函数在上单调增，在上单调递减，且.数形结合可知．【题目点拨】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.19、（1）（2）【解题分析】

（1）由正弦定理将，转化，即，由余弦定理求得，再由平方关系得再求解.（2）由，得，结合再求解.【题目详解】（1）由正弦定理，得，即，则，而，又，解得，故.（2）因为，则，因为，故，故，解得，故，则.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.20、（1）点M的极坐标为或（2）【解题分析】

（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【题目详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，∵∴或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.【题目点拨】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.21、（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解题分析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数=（），利用导数判断函数的单调性，从而求解a的值.试题解析：（Ⅰ）<0，在内单调递减.由=0有.当时，<0，单