专题21.5解一元二次方程因式分解法（限时满分培优测试）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】（解析版）

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题21.5解一元二次方程:因式分解法（限时满分培优测试）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________本试卷满分100分，建议时间：30分钟.试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型，没有标记的为基础过关性题目.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•靖西市期中）解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法【分析】方程移项得到2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，利用提公因式分解即可得到（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，则4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，解一元一次方程即可．【解答】解：（此题用分解因式法最适当）移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴x1=34，x2故选：D．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形，使方程右边为0，然后把方程左边进行因式分解，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．2．（2023•河东区二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5【分析】先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2023•武山县一模）一元二次方程x2＝3x的解为（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0且x＝3【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．（2023•邯郸模拟）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（）A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0 C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．【解答】解：∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4，∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，∴方程为x2+x﹣12＝0．把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是-ba，两根之积为5．（2023春•蜀山区期末）方程2x2﹣3x+1＝0根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定【分析】利用因式分解法求出方程的两根，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵2x2﹣3x+1＝0，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1=12，x2＝∴方程2x2﹣3x+1＝0的两根都是正数．故选：C．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程方法及步骤是解题的关键．6．（2022秋•益阳期末）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．12或45 B．6或25 C．6 D．【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再由三角形的形状分别求出三角形的面积．【解答】解：∵x2﹣8x+15＝0，∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝5．当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD=5所以该三角形的面积是4×5÷2＝2当x2＝5时，与另两边组成直角三角形，即3，4，5符合直角三角形，∴该三角形的面积＝3×4÷2＝6．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，综合性比较强，结合等腰三角形的面积和直角三角形的判定得出答案是解决问题的关键．7．（2023春•肇源县期中）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（）A．12 B．15 C．12或15 D．18或9【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．【解答】解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．（2021秋•洪湖市校级月考）设m是方程x2+5x＝0的一个较大的根，n是方程x2﹣x﹣6＝0的一个较小的根，则m+n的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2【分析】先解方程求出两个方程的解，再得出m、n的值，最后求出答案即可．【解答】解：x2+5x＝0，x（x+5）＝0，x＝0或x+5＝0，解得：x＝0或﹣5，∵m是方程x2+5x＝0的一个较大的根，∴m＝0，解方程x2﹣x﹣6＝0得：x＝3或﹣2，∵n是方程x2﹣x﹣6＝0的一个较小的根，∴n＝﹣2，∴m+n＝0+（﹣2）＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．9．（2021•南沙区二模）对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+n，当m≥n时，n2+m+n，当A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8【分析】根据定义，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程，得出x的值．【解答】解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，解得：x＝8（不合题意，舍去）；∴x＝3．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x≥﹣2和x＜﹣2两种情况进行解方程是解题的关键．10．（2021•菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解答】解：∵函数y＝x3，方程y'＝9x，∴3x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x（x﹣3）＝0，3x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据题意得出方程3x2＝9x是解此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•宝鸡二模）方程x（x+4）＝0的解是x1＝0，x2＝﹣4．【分析】直接利用因式分解法求解即可得到答案；【解答】解：∵x（x+4）＝0，∴x+4＝0或x＝0，即x1＝0，x2＝﹣4，故答案为：x1＝0，x2＝﹣4；【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．12．（2023•利州区一模）若x2+x=5+5，则x的值是5或【分析】把原方程化为x2【解答】解：∵x2∴x2∴(x-5∴x-5=0或解得：x1=5故答案为：5或-5【点评】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，熟练的进行因式分解是解本题的关键．13．（2023•槐荫区一模）若菱形的两条对角线长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则该菱形的周长等于10．【分析】根据菱形的两条对角线长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，可以求得菱形的两条对角线的长，从而可以得到菱形的边长，进而可以求得菱形的周长．【解答】解：x2﹣7x+12＝0（x﹣3）（x﹣4）＝0∴x＝3或x＝4，∵菱形的两条对角线长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，∴菱形的两条对角线长为3，4，∴菱形的边长为：(32∴菱形的周长为：4×2.5＝10，故答案为：10．【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法、菱形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14．（2022秋•林州市期末）对关于x的一元二次方程：x2＝ax，下列是小聪的求解过程：解：两边都减a2，得x2﹣a2＝ax﹣a2；①两边分别分解因式，得（x+a）（x﹣a）＝a（x﹣a）；②两边都除以x﹣a，得x+a＝a；③两边都减a，得x＝0．④以上解题过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是③．【分析】根据等式的性质可判断③错误．【解答】解：根据等式的基本性质可判断③错误．故答案为：③．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．（2022•杭州模拟）对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b=ab-b2(a≥b)a2-ab(a＜b)，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3＝5×3﹣32＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个根，则x【分析】根据方程求得其解为：1或5，由于不确定x1，x2的值，故需分两种情况讨论，代入新运算进行计算即可．【解答】解：x2﹣6x+5＝（x﹣1）（x﹣5）＝0，∴该方程的两根为：1或5，①当x1＝1，x2＝5时，x1②当x1＝5，x2＝1时，x1故答案为：±4．【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．16．（2023春•上城区期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响．花拉子米关于x2+10x＝39的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和52的矩形，再把它补充成一个边长为x+5方形的面积为（x+5）2＝x2+10x+25＝39+25＝64（因为x2+10x＝39）．所以大正方形边长为x+5＝8，得到x＝3．思考：当我们用这种方法寻找x2+6x＝7的解时，如图2中间小正方形的边长x为1；阴影部分每个正方形的边长为32​【分析】仿照题中方法求解．【解答】解：∵x2+6x+4×（32）2＝7+9＝16＝42＝（x+3）2∴x+3＝4，∴x＝1，∴如图2中间小正方形的边长x为1；阴影部分每个正方形的边长为32故答案为：1，32【点评】本题考查了解一元二次方程的解法，理解题意是截图的关键．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：（1）（x﹣2）（x﹣5）＝2；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，（x﹣4）（x﹣3）＝0，x﹣4＝0或x﹣3＝0，所以x1＝4，x2＝3；（2）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，x﹣3＝0或2x﹣6﹣x﹣3＝0，所以x1＝3，x2＝9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18．选用适当的方法，解下列方程：（1）2x2+5x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4（2x+3）；（3）x2﹣2x=1（4）x2+5x+6＝0．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得；（3）利用公式法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【解答】解（1）2x2+5x+2＝0，a＝2，b＝5，c＝2，b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9＞0，x=-5±x1=-12，x2＝﹣（2）（2x+3）2＝4（2x+3），（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，解得x1=-32，x2（3）x2﹣2x=12x2﹣4x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，x=4±x1=2+62，x（4）x2+5x+6＝0，（x+3）（x+2）＝0，x+3＝0或x+2＝0，x1＝﹣3，x2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．用因式分解法解一元二次方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）4x2﹣4x+1＝0；（3）4（x﹣2）2﹣9＝0；（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0．【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2；（2）4x2﹣4x+1＝0，（2x﹣1）2＝0，解得x1＝x2=1（3）4（x﹣2）2﹣9＝0，（2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0，（2x﹣7）（2x﹣1）＝0，2x﹣7＝0或2x﹣1＝0，x1=72，x2（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0，（x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0，（5x﹣1）（3﹣3x）＝0，5x﹣1＝0或3﹣3x＝0，x1=15，x2＝【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．20．（2023•白城模拟）下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：2x2+4x﹣6＝0，二次项系数化为1，得x2+2x﹣3＝0．…第一步，移项，得x2+2x＝3．…第二步，配方，得x2+2x+4＝3+4，即（x+2）2＝7．…第三步，由此，可得x+2=±7x1=2+7任务：（1）上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程化为两个一元一次方程，体现的数学思想是降次（填“消元”或“降次”）；其中配方法依据的一个数学公式是a2±2ab+b2＝（a±b）2；（2）“第二步”变形的依据是等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式；（3）上面小勇同学的解题过程中，从第三步开始出现错误，直接写出正确的解．【分析】①结合解答过程，依据转化思想和完全平方公式求解即可；②根据等式的基本性质求解即可；③先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：①上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想；其中配方法依据的一个数学公式是a2±2ab+b2＝（a±b）2，故答案为：转化思想，a2±2ab+b2＝（a±b）2；②“第二步”变形的依据是：等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式，故答案为：等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式；③上面小勇同学的解题过程中，从第三步开始出现错误，正确过程如下：∵2x2+4x﹣6＝0，∴x2+2x﹣3＝0，∴x2+2x＝3，则x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，由此，可得x+1＝±2，∴x1＝1，x2＝﹣3，故答案为：三．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（2023春•滨江区校级期中）下面是小明解一元二次方程2x（x﹣5）＝3（5﹣x）的过程：解：原方程可化为2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），……第一步方程两边同除以（x﹣5）得，2x＝﹣3，……第二步系数化为1得x=-3小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．【分析】先移项，再提取公因式分解因式，即可得到两个一元一次方程的积，再解一元一次方程即可．【解答】解：从第二步开始出现的错误，其错误原因是等式的性质2用错，正确的解答过程如下：2x（x﹣5）＝﹣3（x﹣5），2x（x﹣5）+3（x﹣5）＝0，（x﹣5）（2x+3）＝0，则x﹣5＝0或2x+3＝0，解得：x1＝5、x2=-3【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．（2023•裕华区校级模拟）在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：（1）求（x+2）△5＝0中x的值；（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．【分析】（1）根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，解出该方程的解即可；（2）根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，再根据其根的判别式计算，即可证明．【解答】解：（1）由题意可得：（x+2）△5＝（x+2）2﹣5（x+2