高等流体力学课件

流体力学基本概念1.1连续介质假说

推导流体力学基本方程的两条途径统计方法把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，运用力学定律和概率论预测流体的宏观性质。对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运系数（μ，κ）的表达式。对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。连续介质方法把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵守质量、动量和能量守恒定律。从而推导出场变量的微分方程组。流体力学采用连续介质的方法连续介质方法当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时，可用统计平场的方法定义场变量如下：

在微观上充分大，宏观上充分小。1.1连续介质假说连续介质方法的适用条件n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程），L为最小宏观尺度。在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含2×108个气体分子或2×1011液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合均满足上述条件，连续介质方法无论对气体和液体都适用。1.1连续介质假说火箭穿越大气层边缘，此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。

连续介质方法失效场合1.1连续介质假说

流体质点流体质点是流体力学研究的最小单元。当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速度和密度。由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。

1.1连续介质假说

欧拉参考系当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。独立变量x,y,z,t1.2欧拉和拉格朗日参考系拉格朗日参考系着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位置随时间变化，式中x0,y0,z0是t=t0时刻流体质点空间位置的坐标。独立变量x0,y0,z0,t。x,y,z

不再是独立变量，x-x0=u(t-t0),y-y0=v(t-t0),z-z0=w(t-t0),T=T(x0,y0,z0,t),ρ=ρ(x0,y0,z0,t)。用x0,y0,z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点的不同空间位置。1.2欧拉和拉格朗日参考系通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式系统某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组控制体流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的基本方程组。系统和控制体1.2欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉参考系：某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部导数。拉格朗日参考系：在欧拉参考系下用表示流体质点的速度变化。流体质点的速度变化，即加速度。1.2欧拉和拉格朗日参考系物质导数流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数，随体导数。设场变量，则表示某一流体质点的随时间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流体质点时所看到的随时间的变化。是拉格朗日参考系下的时间导数。在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）时刻，时刻，泰勒级数展开，在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）此时不再是独立变量，而是的函数上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的就地导数和对流导数联系起来。称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，当流体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同的值，因此也会引起的改变。欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流体物理量随时间的变化；物质导数；矢量和张量形式的物质导数1.4

雷诺输运定理对系统体积分的随体导数通常的力学和热力学定理都是应用于系统的，于是就会遇到求对系统体积分的随体导数。设是单位体积流体的物理分布函数，而是系统体积内包含的总物理量，则动量定理举例，系统和CV在初始时刻重合，CV固定不动公式推导IIIIIICSICSIII公式推导IIIIIICSICSIII系统中的变量N对时间的变化率固定控制体内的变量N对时间的变化率，由

的不定常性引起

N流出控制体的净流率，由于系统的空间位置和体积随时间改变引起

物理意义高斯公式，IIIIIICSICSIII

1.5流线、迹线和脉线1．流线流场中的一条曲线，曲线上各点的速度矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。定常流动用一幅流线图就可表示出流场全貌；非定流动中，通过空间点的流体质点的速度大小和方向随时间而变化，此时谈到流线是指某一给定瞬时的流线。把时间当作常数积分以上方程组，即可得流线方程。电力线，磁力线，用于理论分析。微分方程参数方程选用作为参变量，积分上式可得到流线参数方程，,则参数方程的初始条件可定为，若已知流线经过点消去s

即可得到流线方程。在参考点s为零，沿流线其值增加。解：积分以上方程得，由条件时，，可解出，消去得，例.设两维流动，求通过（1，1）点的流线。由以方程可以看出，通过（1，1）点的流线随时间变化而变化。若求时通过（1，1）点的流线，让以上方程中，2．迹线流体质点在空间运动时描绘出来的曲线。在定常流动情况下，任何一个流体质点的迹线，同时也是一条流线，即质点沿不随时间变化的流线运动。迹线的微分方程组请注意在以上方程组中是自变量。是流体质点的空间坐标，因此都是的函数。初始条件：解：积分以上方程得，由条件时，，可解出，消去得，例.设两维流动，求通过（1，1）点的迹线。3．脉线从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的染色液，该染色液形成一条纤细色线，称为脉线。或另定义如下，把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来得到的一条线。脉线又称烟线，染色线。脉线本质上是流体质点的迹线，所以可通过求解迹线方程而得到。迹线的微分方程组初始条件：积分以上方程组得，

上述方程即

时刻从点进入流场的流体质点的迹线方程。事实上当固定，而让变化（）时，上述表达式给出了时刻由点注入流场的一个流体质点的迹线；而当固定而让变化（）时，上述表达式则给出了在时刻前经由点注入流场的不同流体质点在时刻的不同空间位置，即脉线。

当取的值时，上述方程即给出t时刻的脉线。

解：积分以上方程得，由条件时，，可解出，例.设两维流动，求通过（1，1）点的脉线。以上即通过（1，1）点的脉线参数方程。显然在不同时刻（取不同值时）脉线形状也不同。

在时刻，消去得，以上例题中时刻经过（1，1）点的流线、迹线和脉线如图示。可以看出，在非定常流动条件下，三种曲线一般是不重合的。在定常流动条件下，三种曲线合而为一。在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通过该曲线上各点的流线构成一个管状表面，称流管。若流管的横截面无限小，则称流管元。流管表面由流线组成，所以流体不能穿过流管侧面流进流出，而只能从流管一端流入，而从另一端流出。流管

流体力学基本方程1

质量守恒

2.1欧拉质量守恒质量守恒定理

上述积分的积分区域V是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，质量守恒定理在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。由雷诺输运定理，

2.1欧拉质量守恒定常流动和不可压缩流体的连续方程

对于定常流动，，连续方程可简化为，对于不可压缩流体，，连续方程可简化为，流体质点可沿线或线流动，此时其密度保持为常数或，因此，但，。2.1欧拉质量守恒

密度分层流动不可压缩流体上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点的密度相等，即不要求密度场为均匀场。密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。密度分层流动均质不可压缩流体密度处处相等的不可压缩流体不可压缩流体均质流体密度不是x、y、z的函数密度也不是t的函数在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。物质导数定义式均质不可压缩流体2.1欧拉质量守恒

2.1

欧拉质量守恒

第二雷诺输运定理

证明：根据连续方程，又于是，2.2动量守恒定理

2.2动量守恒定理积分形式的动量方程

系统的动量，作用在系统上的质量力作用在系统上的表面力由动量定理得积分形式的动量方程系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。

2.2动量守恒定理微分形式的动量方程

2.2动量守恒定理用张量表示法表示动量方程

方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。用张量表示法表示动量方程，

2.2动量守恒定理

守恒形式的动量方程

并矢是二阶张量。2.3能量方程对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统内能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。

热力学第一定理2.3能量方程

2.3能量方程

积分形式的能量守恒方程

任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为系统总能量，，e为单位质量流体的内能；单位质量流体的动能表面力作功功率，质量力作功功率，传热功率，热通量离开系统表面时为正，这里求传递给系统的传热功率，所以积分号前加负号根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，

2.3能量方程

微分形式的能量方程

第二雷诺输运定理高斯定理

2.3能量方程

机械能方程

动量方程上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘，即方程两边都乘以，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘，2.3能量方程

内能方程

上式左边表示内能的变化率，第一项是当地变化率，第二项是对流变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右边是引起内能变化的动因，第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传热功率。总能量方程减去机械能方程2.4

Navier-Stokes方程

2.4

Navier-Stokes方程

N-S方程

s是应变率张量动量方程，本构方程不可压缩流体(动力粘性系数为常数)

2.4

Navier-Stokes方程

2.4

Navier-Stokes方程

欧拉方程（）

2.5

能量方程

称耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率，这部分机械能向内能的转变是不可逆的，在一切流体和一切流动中总大于零。

2.5

能量方程

内能方程

，表示表面力作功功率，可包括两部分：压缩功功率，表示流体体积变化时，外部压强在单位时间内对单位体积流体作功的功率，这种转变是可逆的；导热功率

2.5

能量方程

能量方程其它形式

内能方程，

连续方程，

于是内能方程可改写为，

热力学关系式，

则内能方程可变换为，

或上两式分别是以熵和焓表示的能量方程2.6牛顿流体的基本方程组

2.6牛顿流体的基本方程组

基本方程组

以上方程包括7个标量方程，7个未知量：uj，ρ

，p

，e，T

，方程组是封闭的。方程中出现的λ,μ,κ等参数均可认为是p和T的函数。对完全气体，状态方程和内能公式可分别写为，。通常考虑的质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示基本方程组包括连续方程，N-S方程，能量方程及状态方程和内能公式，当密度ρ为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。

2.6牛顿流体的基本方程组

不可压缩流体（动力粘性系数μ为常数）

2.7边界条件2.7边界条件

流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出初始条件和边界条件。初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时边界条件指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件，本节主要研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触面，其中至少有一种介质是我们所考虑的流体，并假设分界面两边的物质互不渗透，原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。

初始条件和边界条件2.7边界条件

曲面上的表面张力

表面张力的合力指向凹面一侧，与压力差平衡。为表面张力系数。当分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强一般不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。作两个垂直于界面曲面切平面而且相互正交的平面，它们和界面曲面交线的曲率半径分别为R1、R2，则曲面两侧压强差可表示为p1-p22.7边界条件

液液分界面的边界条件

动力学边界条件作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，上式中指向介质1，R1、R2的曲率半径中心在指向一侧时取正值，、分别是介质1、2的应力张量。是表面张力系数。将上式分解为法向和切向分量，分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。介质2介质1

2.7边界条件

液液分界面的边界条件

运动学、热力学条件界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件），界面两侧温度和热流量相等，介质2介质1液固分界面边界条件2.7边界条件固壁静止时，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，因此应放弃动力学边界条件，液气分界面边界条件2.7边界条件由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显著影响，应当放弃速度边界条件而采用应力边界条件，设为大气压强，为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时，法应力条件可写为液气自由面的运动学边界条件2.7边界条件液气边界最典型的是水与大气的分界面，即自由面。自由面的形状通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的，设其方程为，假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则自由面流体质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。上式用到点的自由面法向单位矢量。自由面上点在t

时刻的法向速度为，设自由面上一点p在t时刻的位置矢量为，在该点的法向单位矢量为，经过时间后，点运动到点，则自由面的运动学边界条件2.7边界条件pp设t

刻在点的流体质点的速度为，则流体质点的法向速度，上式即自由面的运动学边界条件。自由面的运动学边界条件2.7边界条件流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，（1）指标表示法和符号约定指标表示法x、y、z分别计作x1、x2、x3，ax、ay、az分别计作a1、a2、a3，而三个单位矢量分别计作也可表示为，i是自由指标，可取1、2、3。笛卡尔张量

求和约定在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:重复出现的指标称为哑指标，改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。克罗内克(Kronecker)符号

符号具有以下重要性质：置换符号

i、j、k偶排列，123，231，312i、j、k中有两个以上指标相同时i,j,k

奇排列，213，321，132有以下重要性质：

矢量和张量的运算举例

例题1.展开下列求和式，解：例题2.已知, ,求:

是位置矢量..

解:例题3.证明

证明:又证：上述结果已经和上页第三步相同。哈密顿算子一个具有微分及矢量双重运算的算子利用张量表示法哈密顿算子可写为

利用哈密顿算子进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量运算。例题1.分别写出在直角坐标下的表达式.

解:

例题2.是位置矢量,,证明:

是常矢量.证明:(1).

以上证明中用到

(2).

(4).

(3).例题3.证明

证明：

（2）张量标量、矢量和张量标量是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整的表示，如应力，变形速率。三维空间中的n阶张量由3n个分量组成。标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。笛卡尔张量。

二阶张量

二阶张量有9个分量，通常也可表示为矩阵形式，即

（3）二阶张量的代数运算张量相等两个张量相等则各分量一一对应相等。设，，若则若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中也相等。张量加减设、，则张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张量才能相加减。张量数乘二阶张量乘以标量,，则

张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。点积和双点积

设，，定义点积为

二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算，得到一个新的二阶张量。

二阶张量与矢量的点积则定义为

矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。

二阶张量的双点积定义为：二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。两个矢量的并矢定义为

也可写成

并矢是一个二阶张量。坐标单位矢量的两两并矢称为并基，三维空间的二阶并基共有9个。并矢运算不服从交换律。并矢共轭张量设P

是一个二阶张量，则也为一个二阶张量，称为P的共轭张量，可表示为

(4)共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解若二阶张量分量之间满足则称此张量为对称张量，可表示为一个对称张量，只有6个独立的分量。对称张量若二阶张量分量之间满足则称此张量为反对称对张量，可表示为

一个反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素均为零。反对称张量张量分解定理一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。（5）张量的微分运算梯度设矢量，则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲，一个n阶张量的梯度是阶张量。散度设二阶张量，一个二阶张量的散度是一个矢量。一般来讲，一个阶张量的散度是阶张量。（6）各向同性张量在连续介质力学中，通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关，即介质是各向同性的连续介质。表示这类力学性质的张量称为各向同性张量，如流体粘性，电导率等。在数学上可作为下定义，若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值，经过任一正交坐标变换后均保持不变，则称此张量为各向同性张量。零阶张量（标量）和任意阶零张量都是各向同性张量。这里零张量是指全部分量值均为零的张量。一阶张量（矢量）除零矢量外，都是各向异性张量。二阶各向同性张量都可写成的形式，其中为一标量常数。三阶各向同性张量都可写成的形式，其中为一标量常数。四阶各向同性张量都可表示为其中、、都是标量常数。当i、j两指标对称时

其中和都是标量常数。例题1.设，求解：

例题2.

解例题3.写出下述方程在直角坐标系中的表达式

式中τ是切应力张量(二阶张量).解.将上述矢量用张量表示法写出,例题4.设τ是对称张量,证明证明:

为保证无流体穿过球面(即球面)，球内区域的总源汇之和必需为零，

点源流场中的圆球设在x=l

处有一强度为Q

的点源，今在原点放置一半径为

a的圆球，求球外流场分布。在点放置点源，在放置均匀连续分布的线汇，线汇单位长度强度为q。流函数球外任一点P的流函数对于球面上的P点，

5.10点源流场中的圆球考虑到几何关系

及5.10点源流场中的圆球及线汇流函数令球面上流函数为零，于是球外一点P的流函数表达式

,势函数5.10点源流场中的圆球均匀流和一对等强度的点源和点汇叠加可得到绕流兰金卵球体的解。5.11兰金卵球体流函数

设面上，，则取最大值。时时及5.11兰金卵球体求对称卵球体的和卵球体后驻点速度为零，后驻点速度可由均匀流、电源和点汇在该点的速度叠加得到。求解上式即可得到5.11兰金卵球体求解上式可得到h

。

在卵球体表面

时求对称卵球体的和

势函数5.11兰金卵球体均匀来流绕流任意形状的三维物体（或任意形状的三维物体在静止流体中作匀速直线运动），流体作用于物体的合力为零。5.12达朗贝尔佯谬取和面之间空间为控制体，运用动量定理于控制体，为物体对流体作用力

左边第2项为外流体对内流体的作用力，

右边为单位时间通过面流出控制体的流体动量。因为为物面，通过的流体动量为零。动量定理势流伯努利方程，

,并考虑到

5.12达朗贝尔佯谬由连续方程通过物面的流量为零。矢量恒等式为常数，为常矢量，

5.12达朗贝尔佯谬因此当半径取无穷大时，量阶分析5.12达朗贝尔佯谬物体在实际流体中作匀速直线运动时，由于粘性的影响，总会受到流体的阻力作用。物体的阻力由摩擦阻力和压差阻力组成。流线型物体受到的阻力很小，与上述阻力为零的结论接近。5.12达朗贝尔佯谬5.13奇点对物体的作用力奇点可能是点源，点汇或偶极子。

以So内，S和Si外的空间为控制体，应用动量定理于该控制体，由上节推导知，当半径取无穷大时，对于面的积分之和等于零，于是势流伯努利方程点源（汇）对物体的作用力奇点是强度为Q

的点源，则Si

面上的速度为为除处奇点外的其他原因引起的速度，

代入动量式5.13奇点对物体的作用力当时，可看作常数，常数，于是上式积分的第1，2项均为一个常数和相乘对作面积分，都应等于零。物体受到的力与点源强度Q成正比，与速度大小成正比，方向与相同，是除了考虑中的奇点以外的其他原因在该奇点处引起的速度。5.13奇点对物体的作用力偶极子对物体的作用力点处速度为

,点处速度，上述速度未考虑处的点源对速度的影响。

上述速度未考虑处的点汇对速度的影响。

是除上述点源和点汇以外的原因引起的速度

5.13奇点对物体的作用力根据公式，点源和点汇的流场作用在物体上的力分别为，和

点源和点汇共同作用力为，

设上式中是偶极子的强度。5.13奇点对物体的作用力例.求点源对一个圆球面的作用力。

由5.10节知，圆球外流场可由x=l

处的Q，处的点源及处的线汇叠加而成，其中，线汇强度于是处x=l

的速度（不考虑该点点源影响），圆球被吸向点源Q，作用力与Q2成正比。5.13奇点对物体的作用力解

5.14运动流体的动能无界流场中均匀来流绕流物体时流体总动能是无穷大的，而物体在静止流体中运动时引起的流体动能则是有限值。本节研究后一种情形下的流体动能。

取物面和围绕物体的任意封闭曲面间的空间为V，上式中是由于物体运动引起的流体运动的势函数。流体动能的计算不可压缩流体∵∴当取得无穷大时，上式即当物体在静止流体中运动时周围流体的总动能。

5.14运动流体的动能5.15虚拟质量和表观质量非匀速直线运动物体的受力物体在均质不可压缩流体中作匀速直线运动时受到的合力为零。而当物体作不定常运动，比如说作加速运动时，物体周围的流体也被加速，于是运动物体将会受到周围流体的反作用力。设物体对流体的作用力为，运动速度为，则依据动能定理，即流体所具有的总动能。圆球的变速直线运动速度为U

的均匀来流绕流半径为a

的圆球的速度势，圆球在静止的流体中以速度U

沿x

轴负方向作直线运动时流体的速度势，可通过给上式叠加一个沿x

轴负方向的速度为

U

的均匀流的速度势而得到，5.15虚拟质量和表观质量流体对圆球的阻力大小与相等，方向沿轴正方向。由动能定理，于是在圆球表面上，流体动能为，5.15虚拟质量和表观质量考虑圆球的变速直线运动，设圆球除上述流体阻力外还受到主动力

F

的作用，则依据牛顿第二定理，虚拟质量和表观质量是圆球密度。代入阻力表达式，

由上式可见如果给圆球质量增加一个质量，那么在运用动力学方程过程中就可以直接使用总质量进行计算，而不必再考虑周围流体对圆球运动的影响。式中是圆球所排开的液体的质量，把称作虚拟质量或附加质量，称作表观质量。5.15虚拟质量和表观质量对一个任意形状的物体的变速直线运动，运动方程可写作，

其中是依赖于物体形状的系数。一个长轴为2a

，短轴为2b

的旋转椭球的值给出在下表中，其中是椭球平行于长轴运动时的系数值，而则是随球平行于短轴运动时的系数值。旋转椭球的虚拟质量系数当a=b

时，，即圆球的虚拟质量系数为0.5。

5.15虚拟质量和表观质量解：设水滴半径为a，水的密度为，空气密度为，例空气中有一球形水滴，求水滴下落的加速度。

水滴质量为，球形水滴的虚拟质量为，水滴力平衡方程为，由此得上式即水滴下落的加速度；当，则。气泡在液体中上升，如液体密度远大于空气密度，即，则5.15虚拟质量和表观质量

二维势流理想不可压缩流体流动―基本方程组

如果ρ=常数，上述4个方程包含4个未知数、p，方程组是封闭的。由于忽略了流体的可压缩性，流体动力学问题和热力学问题可分开来解,连续方程和动量方程不再需要和能量方程联立求解，但压强和速度仍然耦合在一起，需要同时解出。忽略流动的粘性和可压缩性，连续方程和N-S方程可化简为,理想不可压缩流体流动—基本方程组的边界条件

粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件，由于理想流体动量方程中失掉了高阶粘性项，欧拉方程比N-S方程低了一阶，她就不需要象粘性流方程组那样多的边界条件。对理想流体采用法向无穿透条件，壁面上允许存在切向滑移速度，固壁静止时，上述边界条件相当于要求固体壁面是流场中的一条流线。无穷远边界条件，势流势流流场中处处涡量为零，称势流。或。在重力场作用下的理想不可压缩流体，如果绕流物体的流动起始于无旋流动，开尔文定理保证流动始终保持无旋，即势流。速度势函数不可压缩流体Φ称速度势函数。在不可压缩流体条件下Φ满足拉普拉斯方程

势流基本方程组

边界条件在静止固壁上，无穷远处，势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大的简化：后者有四个方程，而前者只有两个方程。欧拉方程是非线性方程，是线性方程，线性方程一个突出优点是解具有可叠加性。势流伯努利方程也是非线性的，但不存在求解困难。后者求解过程中，耦合在一起需联立求解，对于势流不再耦合在一起，可分开求解：先求出Φ，，即可求得速度场，再求解伯努利方程得到压强场。也是解，其中是不全为零的常数。在后续章节会经常用到线性方程的这一性质。拉氏方程解的可叠加性如是解，则4.1流函数

流函数不可压缩流体平面流动的连续方程则函数Ψ自动满足上述连续方程，Ψ称流函数定义4.1流函数流函数Ψ从满足连续方程出发而定义，因此适用于无旋和有旋流动，在无旋条件下Ψ满足拉式方程。势函数Φ从满足无旋条件出发而定义，因此只适用于势流。在不可压缩流体条件下Φ满足拉式方程。流函数Ψ

与涡量

对于xoy平面的二维流动,代入Ψ,如流动无旋则：4.1流函数流函数性质1Ψ=const.的线是流线。空间任意相邻两点间的流函数变化，若两点取在的同一条曲线上，上式即流线方程。表示一个流线族。4.1流函数流函数性质2在两条流线间流动的流体流量等于这两条流线的流函数值之差。通过dl的流体流量4.1流函数流函数性质3流线和等势线相互正交的线称等势线。空间任意相邻两点间的势函数变化，在一条等势线上的任意两点间，即流线和等势线相互正交。4.2复位势和复速度

科西-黎曼条件上式称柯西-黎曼条件。流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。

z=x+iy4.2复位势和复速度复位势F(z)的实数部分是速度势函数Φ，虚数部分是流函数Ψ。Φ,Ψ满足柯西－黎曼条件，根据复变函数理论，F(Z)是解析函数。构造复函数，F(z)=Φ+iψ4.2复位势和复速度复速度因为F(z)是解析函数，因此其导数的值与求导方向无关，只是平面点的函数。请注意w(z)的虚部是-v，实际速度则是上述复速度的共軛值，复速度与共軛复速度的乘积等于速度矢量与其本身点乘。平面内的速度可分解为u,v，也可分解为4.2复位势和复速度柱坐标下的复速度于是4.2复位势和复速度平面无旋运动和复位势任何一个平面无旋运动都存在着相应的速度势函数Φ和流函数Ψ，Φ和Ψ满足柯西－黎曼条件即，于是可构造一个解析函数F(z)

与之对应。给定一个解析函数F(z)，其实数和虚数部分Φ和Ψ必定满足柯西－黎曼条件，，，因此可分别看作一个平面无旋运动的速度势函数和流函数，即有一个平面无旋运动与F(z)对应（当然并非所有的Φ和Ψ都可以作出有物理意义的解释）。

平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。

复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维流动中去。

4.3均匀流

F(z)=cz(c为实数)W(z)=c=u–iv

如沿x轴方向速度为U,则F(z)=Uz从本节开始将给出一些基本流动的复位势。UF(z)=－icz(c为实数)W(z)=－ic=u－iv

如沿y轴方向速度为V则：F(z)=-iVz

4.3均匀流

V4.3均匀流(c、α为实数)如速度如图示，用速度的模和幅角表示为，则4.4（汇）和点涡

（c>0,实数）（0<θ<2π）

点源4.4点源（汇）和点涡点源：势函数，流函数等势线：

R=c，

以原点为中心的同心圆族。流线：θ=c，

从原点出发的射线族。

4.4点源（汇）和点涡点源：速度场可看作在原点有一点源释放流体向四周均匀流出，速度只有R方向分量，离开原点愈远速度愈小。根据连续方程，通过每个同心圆的流体流量相等。原点是奇点，速度无穷大4.4点源（汇）和点涡点源：强度m强度m定义为单位时间从点源释放出的流体流量（设垂直于流场为单位高度）。围绕半径为R的圆作积分，若点源在点，则

4.4点源（汇）和点涡点汇以－m代替m就得到点汇的复位势，或

4.4点源（汇）和点涡点涡：势函数流函数等势线，

从圆点出发的射线族；流线R＝c，

同心圆族。4.4点源（汇）和点涡点涡：速度场速度只有θ方向分量，流动沿逆时针方向（c>0）。

原点是奇点，速度无穷大。4.4点源（汇）和点涡点涡强度以速度环量来度量点涡强度，点涡位于点时，以代替即可得出顺时针旋转的涡。

4.4点源（汇）和点涡自由涡和强制涡自由涡速度随着R增加而减少，沿任一不包括奇点在内的封闭曲线的速度环量为零，即除奇点外，流动是无旋的。可以认为所有的环量和涡量都集中在奇点。强制涡速度与R成正比，整个流体象刚体一样围绕中心旋转，旋转角速度为ω。此种流场是处处有旋的。

一个典型的龙卷风流场在核心部分是强制涡流动，涡核周围的流动则表现为自由涡。（ω为常数）

4.5绕角流动U，n为实数，。0<θ<2π4.5绕角流动势函数流函数这两条发自原点的射线构成交角为π/n的角形区域，两条线之间的流线由决定。零流线为θ＝0，θ＝π/n

4.5绕角流动典型流动n应大于½，小于½时得到大于2π的区域，这显然没有物理意义。n=2n=1n=½4.5绕角流动速度场U>0时沿流线的速度方向已表示在左图中。角点处速度

角点处流速在n>1和n<1时截然不同：小于π角（n>1）时绕流角点处流速为零；大于π角（n<1）时绕流角点处流速趋于无穷大，根据伯努利方程该点压强趋于负无穷大；等于π角（n=1）时直线流动介于两者之间，角点处速度取有限值。4.5绕角流动n=2n=1n=½当n>1时，，远处的流体沿着某边线以无穷大的速度流来，然后沿另一条边线以无穷大速度流去，这实际上是不可能存在的。绕角流之所以具有普遍性是因为角点附近的流动反映了物体绕流问题中角点附近的流场，因此可以用来分析被绕流物体角点附近的流动特性。4.5绕角流动

镜像法

如欲求圆柱外一位于点，强度为的点涡的复位势，可在圆柱内点添加一强度为的点涡，在原点添加一强度为的点涡，三个奇点在圆柱外共同产生的复位势即所求的复位势，且保证圆柱面本身是一条流线。镜像法当流体外部流场中存在奇点（如点源、点涡等）时，常用镜像法求得满足边界条件的复位势，其作法是在物体内部适当位置也布置奇点，称为外部奇点的镜像，使得由奇点及其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一条流线请注意圆内点即对于圆外一点的所谓镜像点，它们的模的乘积等于圆半径的平方，；它们的圆心处于同一条直线上，即和有相同的幅角。假设奇点全在的上半平面内，当无物体边界时，其复速度势为，当实轴为边界时，这些奇点在上半平面产生的复位势为4.11镜像法以实轴为边界式中表示除外其余复常数均取其共轭值。如图求实轴上点涡的复位势，点涡复位势事实上在实轴上，，（即的复共轭函数，表示对中所有复数取共轭)，实数，即实轴是一条的流线，并且在的区域内并未增加新的奇点，即在上半平面内的奇点和

的奇点完全一样，是除原奇点外的解析函数。

4.11镜像法这表明以实轴为边界时，一个点涡的复位势等于它本身的复位势与其以实轴为镜面的镜像点

处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。事实上在虚轴上，，实数，即虚轴是的流线，并且在的区域内并不增加新的奇点。设奇点全在的平面内，当无物体边界时，其复位势为，当虚轴为边界时，这些奇点在右半平面内产生的复位势为4.11镜像法以虚轴为边界复位势可以增加或减少一个常数，而不影响流体运动，c可以略去。上式表明当以虚轴为边界时，一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以虚轴为镜面的镜像点处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。以点涡为例，由上式在圆上所以实数，即圆周是一条流线。另一方面，奇点位置，全在圆外，其镜像点位置，全在圆内，圆外未增加奇点。设在无界流体中的复位势为，其所有奇点都在圆外，当在流场中有一个圆心在原点，半径为的圆柱时，满足圆柱面是条流线的复位势为4.11镜像法圆定理圆柱的无环量绕流平行流的复位势圆柱无环量绕流的复速度势这正是4.7节所求得到的结果。例1：设在点有一强度为的点涡，，，求存在半径为的圆周时的复位势上式中常数可以删去。这正是我们在介绍镜像法时举例提到的圆外点涡流场的结果。4.11镜像法解：4.12保角变换复变函数把平面上的区域映射到平面的某区域上去。如果函数在平面处处解析且，则的值与增量的方向无关，而只是点的函数.设,或，则上式中，只应是点的函数。保角变换4.12保角变换由上式可以看出在平面上一点处具有长度为的线元，经过变换以后，在平面的相应线元的长度伸长了倍，变为，而且曲线的方位旋转了角。由于只是的函数，过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角度，且旋转方向相同，于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角在变换后保持不变，这种映射称为保角映射。

4.12保角变换拉普拉斯方程已知在平面内满足拉氏方程，上式中，可以从得到。保角变换把变换为平面中的函数，由上述条件可以证明在平面内也满足拉氏方程，（参阅《FundamentalMechanicsofFluids》，pp.92-97）是解析函数，和应分别满足柯西—黎曼条件和拉氏方程，4.12保角变换保角变换

把平面中的拉氏方程转换为平面中的拉氏方程，即如果

在平面内是调和函数，在平面内也必然是调和函数。

4.12保角变换4.12保角变换若存在保角变换复位势因为在平面和平面都满足拉氏方程，在平面是复位势相反也成立。在平面是复位势如果平面内已知，则平面内相应的复位势可通过代入变换函数而求得，若则4.12保角变换在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把平面（物理平面）上比较复杂的外形变换成平面（映射平面）上简单的外形，如圆或无穷长平板，而这些简单外形的流动复位势是已知的，于是就可求得复杂外形流动问题的复位势。物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换，而是相互成比例，比例系数取决于变换函数。经过保角变换复速度的大小、方向都改变了。4.12保角变换复速度4.12保角变换点源和点汇设是封闭曲线C内所有涡的强度，是C内所有源的强度，则点涡、点源经保角变换后强度保持不变。设是平面和平面上的相应封闭曲线，和分别是内一个点涡的强度和一个点源的强度，则4.12保角变换（为实数）

4.13茹柯夫斯基变换

在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同，速度的大小和夹角都相等。茹柯夫斯基变换在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换4.13茹柯夫斯基变换

奇点是奇点。该点通常位于物体内部，对研究物体外流动无影响。4.13茹柯夫斯基变换

保角变换失效点时称临界点(criticalpoints)，在临界点变换不保角。平面上的两条线的夹角在平面上变换为原夹角的2倍。4.13茹柯夫斯基变换

平面通过点的光滑曲线在平面变换为尖角圆变线段

4.13茹柯夫斯基变换

在上述变换中，圆变换为线段，圆外区域变换为整个平面，圆内区域也变换为整个平面，这可用圆外点

和圆内点

对应于平面同一点来证明，因此上述变换是双值的。实际流动中，圆内区域在物体内部，上述双值性对研究物体外流场不造成理论上的困难。

平面上圆心在原点，半径为c的圆变换为z平面实轴上的割线段。在变换的保角性被破坏了。椭圆半长轴，半短轴，长轴沿x

轴，短轴沿Y轴。4.14椭圆绕流茹柯夫斯基变换平面内圆方程，椭圆变圆设平面内均匀来流速度为U，相对于椭圆主轴攻角为。因为在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换，可知平面内无穷远处的相应速度也为U，攻角也为。4.14椭圆绕流在平面原点放置圆柱，根据圆周定理可得绕流圆柱复位势，平面均匀来流复势，圆柱绕流复位势ZUU第一部分为均匀来流复位势；第二部分为由于椭圆引起的扰动流的复位势，在物面附近时影响显著，当时趋于零。4.14椭圆绕流为满足，，根号前取“+”，椭圆绕流复位势平面椭圆绕流复位势，两个特例和。4.14椭圆绕流驻点为平面椭圆绕流驻点，平面圆柱绕流驻点驻点

流体力学基本方程1

质量守恒

2.1欧拉质量守恒质量守恒定理

上述积分的积分区域V是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，质量守恒定理在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。由雷诺输运定理，

2.1欧拉质量守恒定常流动和不可压缩流体的连续方程

对于定常流动，，连续方程可简化为，对于不可压缩流体，，连续方程可简化为，流体质点可沿线或线流动，此时其密度保持为常数或，因此，但，。2.1欧拉质量守恒

密度分层流动不可压缩流体上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点的密度相等，即不要求密度场为均匀场。密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。密度分层流动均质不可压缩流体密度处处相等的不可压缩流体不可压缩流体均质流体密度不是x、y、z的函数密度也不是t的函数在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。物质导数定义式均质不可压缩流体2.1欧拉质量守恒

2.1

欧拉质量守恒

第二雷诺输运定理

证明：根据连续方程，又于是，2.2动量守恒定理

2.2动量守恒定理积分形式的动量方程

系统的动量，作用在系统上的质量力作用在系统上的表面力由动量定理得积分形式的动量方程系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。

2.2动量守恒定理微分形式的动量方程

2.2动量守恒定理用张量表示法表示动量方程

方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。用张量表示法表示动量方程，

2.2动量守恒定理

守恒形式的动量方程

并矢是二阶张量。2.3能量方程对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统内能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。

热力学第一定理2.3能量方程

2.3能量方程

积分形式的能量守恒方程

任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为系统总能量，，e为单位质量流体的内能；单位质量流体的动能表面力作功功率，质量力作功功率，传热功率，热通量离开系统表面时为正，这里求传递给系统的传热功率，所以积分号前加负号根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，

2.3能量方程

微分形式的能量方程

第二雷诺输运定理高斯定理

2.3能量方程

机械能方程

动量方程上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘，即方程两边都乘以，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘，2.3能量方程

内能方程

上式左边表示内能的变化率，第一项是当地变化率，第二项是对流变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右边是引起内能变化的动因，第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传热功率。总能量方程减去机械能方程2.4

Navier-Stokes方程

2.4

Navier-Stokes方程

N-S方程

s是应变率张量动量方程，本构方程不可压缩流体(动力粘性系数为常数)

2.4

Navier-Stokes方程

2.4

Navier-Stokes方程

欧拉方程（）

2.5

能量方程

称耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率，这部分机械能向内能的转变是不可逆的，在一切流体和一切流动中总大于零。

2.5

能量方程

内能方程

，表示表面力作功功率，可包括两部分：压缩功功率，表示流体体积变化时，外部压强在单位时间内对单位体积流体作功的功率，这种转变是可逆的；导热功率

2.5

能量方程

能量方程其它形式

内能方程，

连续方程，

于是内能方程可改写为，

热力学关系式，

则内能方程可变换为，

或上两式分别是以熵和焓表示的能量方程2.6牛顿流体的基本方程组

2.6牛顿流体的基本方程组

基本方程组

以上方程包括7个标量方程，7个未知量：uj，ρ

，p

，e，T

，方程组是封闭的。方程中出现的λ,μ,κ等参数均可认为是p和T的函数。对完全气体，状态方程和内能公式可分别写为，。通常考虑的质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示基本方程组包括连续方程，N-S方程，能量方程及状态方程和内能公式，当密度ρ为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。

2.6牛顿流体的基本方程组

不可压缩流体（动力粘性系数μ为常数）

2.7边界条件2.7边界条件

流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出初始条件和边界条件。初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时边界条件指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件，本节主要研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触面，其中至少有一种介质是我们所考虑的流体，并假设分界面两边的物质互不渗透，原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。

初始条件和边界条件2.7边界条件

曲面上的表面张力

表面张力的合力指向凹面一侧，与压力差平衡。为表面张力系数。当分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强一般不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。作两个垂直于界面曲面切平面而且相互正交的平面，它们和界面曲面交线的曲率半径分别为R1、R2，则曲面两侧压强差可表示为p1-p22.7边界条件

液液分界面的边界条件

动力学边界条件作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，上式中指向介质1，R1、R2的曲率半径中心在指向一侧时取正值，、分别是介质1、2的应力张量。是表面张力系数。将上式分解为法向和切向分量，分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。介质2介质1

2.7边界条件

液液分界面的边界条件

运动学、热力学条件界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件），界面两侧温度和热流量相等，介质2介质1液固分界面边界条件2.7边界条件固壁静止时，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，因此应放弃动力学边界条件，液气分界面边界条件2.7边界条件由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显著影响，应当放弃速度边界条件而采用应力边界条件，设为大气压强，为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时，法应力条件可写为液气自由面的运动学边界条件2.7边界条件液气边界最典型的是水与大气的分