电路理论(黑皮版) 华中科技大学陈明辉第13章

13-113.1拉普拉斯变换及逆变换13.2动态电路的复频域分析法13.3网络函数第13章动态电路的复频域分析13-2数学上拉普拉斯正变换定义为：简写为：F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。若F(s)已知，可以通过拉氏反变换求原函数f(t)。拉氏反变换定义为：式中：13.1

拉普拉斯变换及逆变换为复数。13.1.1拉普拉斯变换的定义13-3函数f(t)存在拉氏变换的条件是其积分应为有限值。是一种积分变换，把一个时间域内的函数f(t)变换到S域内的复变函数F(s)。在相量法中jw中的w相当于频率，而这里的除虚部jw外还有实部，因而变量S称为复频率。应用拉氏变换进行动态电路的分析称为电路的复频域分析，又称运算法。13-4例13-1-1求单位阶跃函数的象函数解：例13-1-2求指数函数的象函数解：例13-1-3求单位冲激函数的象函数解：13-5例13-1-4求正弦函数的象函数解：同理可得：13-61.线性性质2.微分性质证：利用分部积分公式13.1.2拉普拉斯变换的基本性质13-7推广：13-83.积分性质4.时域延时性质5.卷积性质卷积积分(Convolution)的定义定义：设f1(t)，

f2(t)t<0均为零

13-9令

x=t

,dx=dt,t=0时x=-,t=x+,得同理可证卷积定理的证明由于t<0时，f2(t)＝0，括号内积分下限可改为013-10只介绍部分分式法设有n个单根13.1.3拉普拉斯逆变换1.单根的拉氏逆变换13-11例13-1-10解：13-12设有重根2.重根的拉氏逆变换13-13例13-1-12解：13-14

复频域分析法：将动态电路的时域模型转化为复频率S域模型，再选择合适的方法进行分析计算。13.2.1基尔霍夫定律的复频域模型13.2.2电路元件的复频域模型1.电阻元件RU(s)I(s)+_Rui+_13.2动态电路的复频域分析法13-152.电感元件u+_iLU(s)+_I(s)SL+_U(s)+_I(s)3.电容元件u+_iCU(s)+_I(s)+_U(s)+_I(s)13-164.耦合电感元件i1**L1L2+_u1+_u2i2MSL1SL2+––++–+–**SM++––13-17例13-2-1解：已知原始电流不为零的电感元件上电压、电流如图(a)，求复频域中的伏安方程和电路模型。u+_iLU(s)+_I(s)SL+_U(s)+_I(s)两边取拉式变换移项整理得：13-18例13-2-2解：图(a)电路中，储能元件的原始值电流不等于零，试作出该电路的复频域电路模型。将各电源取拉式变换+_+_+_C+_各元件用复数阻抗表示，电感电容有初始条件引起的附加电源。复频域模型见图(b)。+_+_+_+_+_+_运算电路13-1913.2.3动态电路的复频域分析法步骤：(1)由时域电路确定电路的初始状态，(2)作出开闭后的复频域电路模型。(4)利用拉氏反变换，求出响应的象函数的原函数，得时域解。(3)选用适当的电路分析计算方法求出响应的象函数。例13-2-3解：如图电路，开关S断开前电路已达稳态，t=0

时S断开，求+_1F+_+_CS13-20按网孔分析法代入数据得+_+_+_+_注：电感及电容的初始值产生的附加电源不能遗漏，参考方向不要搞错。13-21图(a)电路，试求单位冲击响应iL。例13-2-4+_1F+_解：电路的初始状态为零，即作出原电路的运算电路图如图(b)。电压源右端的输入运算阻抗为+_+_13-22由并联电路的反比分流公式所求单位冲击响应为利用部分分式展开+_+_13-23例13-2-5图(a)电路，开关S断开前电路已达稳态，t=0时S断开，求+_+_+__+解：电路的初始状态为作出原电路的运算电路图如图(b)。+_+_S13-242-30t1+_+_+__+13-25例13-2-6图(a)电路，已知解：作出原电路的运算电路图如图(b)。图(a)＋＋－－按节点分析法＋＋－－＋－图(b)求全响应13-26解得利用部分分式展开13-274AS++__24解：电路的初始状态为作出原电路的运算电路图如图(b)。应用回路分析法例13-2-7求i1

,i2图(a)电路，开关S闭合前电路已达稳态，t=0时S闭合注意：既有自感电压、又有互感电压13-28++__2413-2913.3.1网络函数的定义

对任一线性时不变零状态单输入单输出电路，设输入为e(t),输出为r(t)

，则定义响应r(t)的拉氏变换式R(s)与输入e(t)的拉氏变换式E(s)之比为该电路相应响的网络函数H(s)，即松弛网络：除端口处所加激励外，电路其余处不含独立电源，所有储能元件的初始储能均为零。13.3网络函数＋－＋松弛网络－＋－＋松弛网络－13-30按激励和响应的不同，网络函数分为六类：策动点阻抗转移阻抗策动点导纳转移导纳转移电压比转移电流比＋－＋松弛网络－＋－＋松弛网络－13-31例13-3-1解：图(a)电路中，激励是电压源求响应分别是和时的网络函数。初始为零时，作出原电路的运算电路见图(b)。+_+_(a)(b)+_+_13-32由串联正比分压可得(b)+_+_13-33由网络函数的定义当例13-3-3解：+_(b)+_(a)图(a)电路中，已知求网络函数和对应的单位冲激响应初始条件为零时，作出原电路的运算电路见图(b)。采用网孔分析法13.3.2网络函数与单位冲激响应13-34解之+_(b)13-35由网络函数的定义例13-3-4解：已知描述某线性时不变单入单出松弛网络的微分方程如下：求网络函数和对应的单位冲激响应。式中，y为零状态响应，x为输入激励。13-36解：由网络函数的定义例13-3-5图示电路中，已知时的零状态响应。+_时的零状态响应为：13-37t,单位冲激响应趋向于零，网络为渐进稳定的。13.3.3网络函数的极点与函数的稳定性1.极点全部位于s平面的左半开平面2.极点位于s平面的右半开平面单位冲激响应随时间增长不断增长，网络为不稳定的。(2)虚轴上存在共轭多阶极点，其余极点无论位于s平面的什么位置。单位冲激响应都无界，网络为不稳定的。(1)虚轴上存在共轭单阶极点，其余极点位于s平面的左半开平面。单位冲激响应有界，网络为稳定的。3.极点位于虚轴上13-39H(S)与H(j

)

的关系H(j

)

为网络工作在正弦稳态时的网络函数确定了网络函数，可求正弦稳态响应；反之，确定了正弦稳态网络函数H(j

)

，就确定了网络函数H(S)，也就确定了电路对任意输入的零状态响应。13.3.4网络函数与频率响应13-40解：正弦稳态网络函数例13-3-6时的正弦稳态响应。正弦稳态响应为：已知某网络在一个单位冲激电流源作用下，产生了单位冲激响应。13-41卷积定理的应用e(t)h(t)线性网络零状态r(t)即

或:E(s)表示外施激励，H(s)表示网络函数，网络