现代控制理论第三章

线性系统能控性和能观测性的概述线性连续系统的能控性线性连续系统的能观测性线性离散系统的能控性和能观测性对偶性原理系统的能控标准形和能观测标准形结构分解传递函数实现传递函数零极点对消第三章控制系统的能控性和能观性

(1)能控性控制作用u(t)对被控系统状态x(t)进行控制的可能性。(2)能观测性由系统输出量测值y(t)确定系统状态x(t)的可能性。3.1线性系统能控性和能观测性的概述3.2线性连续系统的能控性一、状态能控性

假设系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在[t0，tf]时间间隔内是状态完全能控的，简称系统是能控的。线性定常系统存在一个分段连续输入信号u(t)，能在有限时间区间[t0，tf]内，使系统的某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)，那么称此状态是能控的。说明：假设存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用，那么称系统是可达的。对线性定常系统，可控与可达是可逆的。3.2线性连续系统的能控性二、线性定常系统的状态能控性判据3.2线性连续系统的能控性方法一：

直接根据状态方程的A阵和B阵方法二：

转化为约旦标准形，再根据判断二、状态能控性判据

方法三：

传递函数3.2线性连续系统的能控性方法一：线性定常连续系统

(A，B),其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：rankQc=n

Qc=[BABA2B…An1B]证明状态方程的解为3.2线性连续系统的能控性设初始时刻为零，即t0=0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf)=0。那么有利用凯莱-哈密尔顿〔Cayley-Hamilton〕定理3.2线性连续系统的能控性因tf是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令3.2线性连续系统的能控性假设系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出0，1，…，n1。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即rank[BABA2B…An1

B]=n

例：设系统的状态方程为判断其状态能控性。解：Qc=[BABA2B]=rankQc=2n

2111

1

13222

2

25444

4

4所以系统状态不完全能控。3.2线性连续系统的能控性

3.2线性连续系统的能控性方法二：〔1〕设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值，那么其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后的对角线矩阵中,不包含元素全为零的行。3.2线性连续系统的能控性证明：系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。由前章可知，系统

(A，B)和

(，)之间做线性非奇异变换时有：

3.2线性连续系统的能控性P是非奇异阵其次证明不包含元素为零的行是系统

(A，B)状态完全能控的充要条件。将对角标准形的每一行写成如下展开形式

显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，(i=1，2，…，n)能控的充要条件是以下元素不同时为零。

(1)3.2线性连续系统的能控性例：考察以下系统的状态能控性。(2)(3)3.2线性连续系统的能控性3.2线性连续系统的能控性〔2〕假设线性连续系统(A，B)有相重的特征值,那么其状态完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦矩阵

输入矩阵中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；输入矩阵中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。例：考察以下各系统的状态能控性。(1)(2)3.2线性连续系统的能控性3.2线性连续系统的能控性方法三：

3.2线性连续系统的能控性例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？3.2线性连续系统的能控性例：判断线性连续系统能控性？解：

线性定常系统能控性判据小结：①rankQc=rank[BAB…An

1B]=n②当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。③单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。3.2线性连续系统的能控性④Σ(A，B)为能控标准形。三、线性定常系统的输出能控性

定义：对于系统

(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔[t0，tf]内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf)，那么就称

(A，B，C，D)是输出完全能控的。3.2线性连续系统的能控性

3.2线性连续系统的能控性定理：线性定常系统

(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即rankQ=rank[CBCAB…CAn-1BD]=m∫∫++u(t)x1(t)x2(t)y(t)x1(t)x2(t)例：设某一系统，其方块图如以下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。解：描述系统的状态空间表达式为3.2线性连续系统的能控性rankQc=rank[BAB]=1100rankQ=rank[CBCABD]=[200]∴输出是完全能控的。

系统的状态能控性与输出能控性是不等价的。

∴状态是不完全能控的。

3.2线性连续系统的能控性3.3线性系统的能观测性一、状态能观测性定义

对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf>t0，能够根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，那么称此系统的状态是能观测的。假设系统的每个状态都能观测，那么称系统是状态完全能观测。二、线性定常系统的状态能控性判据3.3线性系统的能观测性方法一：

直接根据状态空间表达式的A阵和C阵判断方法二：

转化为约旦标准形，再根据判断二、状态能观测性判据

3.3线性系统的能观测性方法一：

线性定常系统

(A，C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵满秩，即：rankQo

=n证明假设t0=0，那么齐次状态方程的解为x(t)=eAtx(0)y(t)=CeAtx(0)3.3线性系统的能观测性因为一般m<n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，此时把方程个数扩展到n个，即3.3线性系统的能观测性上式说明，根据在〔0，tf〕时间间隔的量测值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵Qo满秩。2121

1010rankQo=2=n3.3线性系统的能观测性例：判断能观测性？解：

系统能观测例：若系统的状态空间表达式为分别确定当系统状态可控及系统可观测时a，b，c，d应满足条件。可见，当a−b−c−d≠0时系统可控；当c≠0时系统可观测。解：3.3线性系统的能观测性

方法二：〔1〕设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，那么其状态完全能观测的充要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角标准形：3.3线性系统的能观测性中，Ĉ不包含全为零的列。

〔2〕设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，那么其状态完全能观测的充要条件是：系统经线性非奇异变换后的约当标准形3.3线性系统的能观测性式中，和每个约当块Ji〔i=1，2，…，k〕相对应的Ĉ的第一列元素不全为零。（2）3.3线性系统的能观测性例：分析以下系统的状态能观测性（3）（4）线性定常系统能观测性判据小结：①②当A为对角形且特征值互异时，输出矩阵C中无全为零列；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，C中与约当块第一列对应的列不全为零，且C中相异特征值对应的列不全为零。

SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。④Σ(A，B)为能观测标准形。3.3线性系统的能观测性一、线性离散系统的能控性定义设线性定常离散系统的状态方程:x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)定义:对于系统(G，H)，如果在有限采样间隔内kTtnT，存在阶梯控制信号序列u(k),u(k+1),…，u(n1)，使得系统从第k个采样时刻的状态x(k)开始，能在第n个采样时刻到达零状态，即x(n)=0，那么称该系统在第k个采样时刻上是能控的。假设系统在第k个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。3.4线性离散系统的能控性和能观测性3.4线性离散系统的能控性和能观测性注：线性定常连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采样周期T的选择有关。

线性定常离散系统(G，H)，定义能控性矩阵为Uc=[HGHG2H…Gn1H]，假设系统矩阵G非奇异，那么状态完全能控的充要条件是：rankUc=n二、线性离散系统的能控性判据3.4线性离散系统的能控性和能观测性证明状态方程的解为根据假设条件，当k

n时，x(k)=0，即3.4线性离散系统的能控性和能观测性Gn1Hu(0)+…+GHu(n2)+Hu(n1)=Gnx(0)当G是非奇异矩阵时，对于任意给定的非零初态x(0)，Gnx(0)必为某一非零的n维列矢量。因此，方程有解的充要条件系统的能控性矩阵Uc满秩。3.4线性离散系统的能控性和能观测性解：

Uc=[HGHG2H]=100100120110040142

试判断系统是否具有能控性。例：线性离散系统的状态方程为3.4线性离散系统的能控性和能观测性三、线性定常离散系统的能观测性定义

3.4线性离散系统的能控性和能观测性如果根据第i步以后的观测值y(i)，y(i+1)，…，y(N)，能唯一地确定出第i步的状态x(i)，那么称系统在第i步是能观测的。假设系统在任意采样时刻上都是能观测的，那么称系统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。

3.4线性离散系统的能控性和能观测性四、线性定常离散系统的能观测性判据

线性定常离散系统

(G，C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩，即：

x(k+1)=Gx(k)y(k)=Cx(k)利用递推法，可得y(0)=Cx(0)y(1)=Cx(1)=CGx(0)…y(n1)=CGn1

x(0)写成矩阵形式3.4线性离散系统的能控性和能观测性证明:假设观测从第0步开始，并认为输入u(k)=0，此时系统为x(0)有唯一解的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩。3.4线性离散系统的能控性和能观测性

001100302101901

203

Uo=[CCGCG2

]T=所描述的系统是否能观测。3.4线性离散系统的能控性和能观测性解：例:3.5对偶性原理系统

1的状态空间表达式为系统

2的状态空间表达式为那么称系统1和系统2是互为对偶一、对偶性定义CB∫++u1(t)x1(t)y1(t)x1(t)A∫BTCT++u2(t)x2(t)y2(t)x2(t)AT从结构图上看，系统1和其对偶系统2的输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。

对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。3.5对偶性原理

二、对偶性原理系统1状态完全能控〔完全能观测〕的充要条件与其对偶系统2状态完全能观测〔完全能控〕的充要条件相同。3.5对偶性原理Qc2=[CTATCT…(AT)n1CT

]系统

2的能控性和能观测性矩阵分别为3.5对偶性原理证明系统

1的能控性和能观测性矩阵分别为Qc1=[BABA2B…An1B]

∴rankQc1=rankQo2rankQo1=rankQc2根据这一原理，一个系统的状态完全能控性〔能观测性〕就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性〔能控性〕来研究。3.5对偶性原理=[BABA2B…An1B]T3.6系统的能控和能观测标准形(1)约旦标准型状态转移矩阵计算，可控、可观测性分析(2)能控标准形系统状态反响(3)能观测标准形系统状态观测器设计

〔1〕能控标准I型设线性定常单输入系统Σ(A，B，C)，如果系统是能控的，那么一定存在一个非奇异变换，将系统Σ(A，B，C)变换成能控标准形：3.6系统的能控和能观测标准形一、单输入系统的能控标准形3.6系统的能控和能观测标准形3.6系统的能控和能观测标准形3.6系统的能控和能观测标准形采用能控标准型I求系统的传递函数解：3.6系统的能控和能观测标准形例：试将以下系统的状态空间表达式变换为能控标准形。系统是能控的3.6系统的能控和能观测标准形3.6系统的能控和能观测标准形

设线性定常单输入系统Σ(A，B，C)，如果系统是能控的，那么一定存在一个非奇异变换，将系统Σ(A，B，C)变换成能控标准形：3.6系统的能控和能观测标准形〔2〕能控标准II型3.6系统的能控和能观测标准形3.6系统的能控和能观测标准形解：3.6系统的能控和能观测标准形例：试将以下系统的状态空间表达式变换为能控标准形。系统是能控的3.6系统的能控和能观测标准形二、单输出系统的能观测标准形

〔1〕能观标准I型

3.6系统的能控和能观测标准形设线性定常单输出系统Σ(A，B，C)，如果系统是能观测的，那么一定存在一个非奇异变换，将上述系统Σ(A，C)变换成能观测标准形：3.6系统的能控和能观测标准形与能控标准II型互为对偶系统3.6系统的能控和能观测标准形

设线性定常单输入系统Σ(A，B，C)，如果系统是能观测的，那么一定存在一个非奇异变换，能将上述系统Σ(A，B，C)变换成能观测标准形：3.6系统的能控和能观测标准形〔2〕能观测标准II型3.6系统的能控和能观测标准形与能控标准I型互为对偶系统3.6系统的能控和能观测标准形3.6系统的能控和能观测标准形采用能观测标准型II求系统的传递函数解：3.6系统的能控和能观测标准形例：试将以下系统的状态空间表达式变换为能观测标准形。系统是能观测的3.6系统的能控和能观测标准形〔1〕3.6系统的能控和能观测标准形从能控性和能观测性出发，状态变量可分解为能控能观测xco，能控不能观测xcô，不能控能观测xĉo，不能控不能观测xĉô四类。以此对应，将状态空间分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的结构分解。3.7系统的结构分解3.7系统的结构分解一、系统按能控性分解设有n维状态不完全能控线性定常系统(A,B,C)，rankQc=k<n，那么必存在一个非奇异矩阵Tc，令，能将系统变为：3.7系统的结构分解k维子系统是能控n–k维子系统是不能控其中，列向量q1，q2，…，qk

是能控性矩阵Q中k个线性无关的列，另外n

–k个列向量qk+1，…，qn是在确保Tc为非奇异的情况下任意选取的。能控局部不能控局部∫++x2(t)A22A12

y(t)

B1∫++u(t)x1(t)A11C1∫++C2++

例：线性定常系统状态空间表达式为试求系统的能控子系统。3.7系统的结构分解3.7系统的结构分解解：〔1〕判断系统是否完全能控rankQc=2∴原系统是状态不完全能控的。〔2〕结构分解，取Tc=101101001

3.7系统的结构分解设有n维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQo=l<n，那么必存在一个非奇异矩阵To，令能将系统变为：3.7系统的结构分解二、系统按能观测性分解3.7系统的结构分解l维子系统是能观测的n–l维子系统是不能观测的其中，行向量T1，T2，…，Tl是能观测性矩阵Q中l个线性无关的行，另外n

–l个行向量Tl+1，…，Tn是在确保T0为非奇异情况下任意选取的。C1B1∫++u(t)x1(t)y(t)A11B2∫++x2(t)A22A21能观测局部不能观测局部

例：线性定常系统状态空间表达式为试求系统的能观子系统。3.7系统的结构分解3.7系统的结构分解解：〔1〕判断系统是否完全能观测rankQo

=2∴原系统是状态不完全能观测的。〔2〕结构分解3.7系统的结构分解

三、系统按能控性和能观测性分解

3.7系统的结构分解

设有n维线性定常系统(A，B，C)，假设系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个非奇异矩阵线性变换，可使系统变换为如下形式3.7系统的结构分解3.7系统的结构分解结构分解方法一：(1)将系统按能控性分解

取状态变量：系统变换为：3.7系统的结构分解(2)将不能控的子系统按能观性分解

取状态变量：系统变换为：3.7系统的结构分解(3)将能控子系统按能观性分解

取状态变量：系统变换为：3.7系统的结构分解综合三次变换，可得

例：线性定常系统状态空间表达式为试求系统按能控性和能观测性结构分解。3.7系统的结构分解

3.7系统的结构分解解：〔1〕判断系统的能控性和能观测〔2〕将系统按能控性分解〔3〕将不能控子系统按能观测性分解

rankQc=2<nrankQo=2<n

〔4〕将能控子系统按能观测性分解

3.7系统的结构分解综合以上结果，系统按能控性和能观测性分解后3.7系统的结构分解3.7系统的结构分解结构分解方法二：〔1〕将待分解的系统化为约旦标准型；〔2〕判断各状态变量的能控性和能观测性；〔3〕按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类。3.7系统的结构分解例：3.7系统的结构分解解：能控能观测变量：能控不能观测变量：不能控能观测变量：不能控不能观测变量：3.7系统的结构分解一、定义

如果对给定的一个传递函数阵G(s)，能找到相应的线性定常系统状态空间表达式3.8实现问题那么称系统Σ(A，B，C)是G(s)的一个实现。使得G(s)=C(sI

A)

1B成立说明：〔1〕传递函数阵G(s)所有元的传递函数Gij(s)的分子分母多项式的系数均为实常数。〔2〕当传递函数阵G(s)所有元的传递函数Gij(s)均为s的真有理分式函数〔即分子多项式的阶次低于分母多项式的阶次〕时，其实现为Σ(A，B，C)形式。当Gij(s)的分子多项式的阶次等于分母多项式的阶次时，其实现为Σ(A，B，C，D)形式。且有3.8实现问题

C(sI

A)

1B+D=G(s)二、按标准形实现

能控标准形〔能观测标准形〕实现就是由传递函数阵所建立的状态表达式，不但完全能控〔能观测〕，而且为标准形式，那么称为能控标准形〔能观测标准形〕实现。3.8实现问题1．单输入单输出系统的实现定理：若单输入单输出系统的传递函数G(s)为其中，ai和bi（i=1，2，…，n）为实常数3.8实现问题其能控标准形的实现为：3.8实现问题能观测标准形的实现为：3.8实现问题例：试求传递函数能控标准形实现和能观测标准形实现。解：

∵a1=6a2=11a3=6b1=1b2=4b3=53.8实现问题②能观测标准形为:①能控标准形为:3.8实现问题2．多输入多输出系统

r个输入和m个输出的多输入多输出系统，可把m×r的传递函数阵G(s)写成和单输入单输出系统传递函数相类似的形式，即

式中B1，B2，…，Bn均为m×r实常数矩阵，分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。3.8实现问题3.8实现问题能控标准形实现为：能观测标准形实现的各系数矩阵为

能控标准型实现的维数是n×r，能观测标准型实现的维数是n×m，为了保证实现的维数较小，当m>r，即输出的维数大于输入的维数时，应采用能控标准形实现；当m<r时应采用能观测标准形实现。3.8实现问题例：试求传递函数阵的能控标准形实现和能观测标准形实现。3.8实现问题解：将G(s)写成按s的降幂排列的标准格式，即r

=2m

=2a1=6a2=11a3=6B1B2B33.8实现问题能控标准形实现为：3.8实现问题能观测标准形实现为：

3.8实现问题三、最小实现

〔1〕最小实现的定义对应于一个传递函数阵G(s)的实现不是唯一的，寻找一个状态变量个数最小或阶数最低的实现，就是最小实现。3.8实现问题〔2〕构造最小实现步骤：对给定的系统传递函数阵G(s)先找出一种实现Σ(A，B，C)〔一般选取能控标准型实现或能观测标准型实现〕对所得实现Σ(A，B，C)中，找出其完全能控且完全能观测局部，即为最小实现。3.8实现问题

注：

传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A，B，C)为最小实现的充要条件是：Σ(A，B，C)不但能控而且能观测。3.8实现问题证必要性：设系统Σ(A，B，C)为G(s)的一个最小实现，其阶数为n，但系统Σ(A，B，C)不完全能控和不完全能观测。∵Σ(A，B，C)不完全能控和不完全能观测，那么系统Σ(A，B，C)必可进行结构分解，其能控且能观测局部也是一个实现。显然其维数一定比系统Σ(A，B，C)的维数n低，这说明Σ(A，B，C)不是最小实现，与假设条件相矛盾。故系统Σ(A，B，C)必为完全能控且完全能观测的。3.8实现问题充分性采用反证法设Σ(A，B，C)是G(s)的一个实现，但不是最小实现，并能控能观测的，其阶数为n。此时必存在另一个实现，其阶数为n′<n。由于Σ和Σ′都是G(s)的一个实现，那么对任意的输入u(t)，必具有相同的输出y(t)，即考虑到u(t)和t的任意性，故3.8实现问题…对上式两边微分，推得当t=τ时，那么得3.8实现问题∵已设Σ(A，B，C)为完全能控且能观测∴上式等号左边矩阵的秩为n，等号右边矩阵的最大的秩为n′，假设n′<n不成立，故系统Σ(A，B，C)必为最小实现。3.8实现问题例：试求传递函数阵的最小实现。3.8实现问题∵m=1r=2a1=6a2=11a3=6B1=[00]B2=[11]B3=[31]因m<r，故采用能观测标准形实现。

解：3.8实现问题∴系统是既能控又能观测的，它为最小实现。3.8实现问题显然，能控标准形实现不是最小实现。需要进行结构分解，找出其状态完全能观测局部。3.8实现问题如果采用能控标准形实现一个单输入单输出线性定常系统Σ(A，B，C)，假设其传递函数中没有零点和极点相消现象，那么系统一定是既能控又能观测的。假设有零、极点相消现象，那么系统视状态变量的选择不同，它将是不能控的，或者是不能观测的，或者是不能控不能观测的。3.9系统传递函数中零极点相消定理证明Σ(A，B，C)的传递函数为G(s)=C(sI−A)−1B〔1〕证充分性：如果传递函数C(sI−A)−1B中不出现零、极点对消，系统