2023学年山东省滨州市邹平双语学校一、二区高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线=-与=1（a>0,b>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线1与双曲线的右支有且只有一

a2h2

个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.[2,+oo)B.(1,2),C.(2,+oo)D.(1,2]

2.已知抛物线C:f=4y，过抛物线C上两点A,B分别作抛物线的两条切线PA,PB,P为两切线的交点O为坐标原点

若PA.PB=0，则直线与08的斜率之积为（）

1c1

A.——B.-3C.——D.-4

48

3.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.240B.264C.274D.282

4.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

5.已知直线y=x-2/是曲线y=lnx-a的切线，则4=（）

A.—2或1B.-1或2C.-1或'D.一工或1

22

6.设一个正三棱柱48C-每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面A8C的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬

到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为几，则儿

为（）

7.设。，〃是方程f—x—1=0的两个不等实数根，记4=优+〃（〃eN*）.下列两个命题（）

①数列｛«„｝的任意一项都是正整数;

②数列｛«„｝存在某一项是5的倍数.

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

8.已知函数/（月=（/-41依+口，若/（x）NO（xeR）恒成立，则满足条件的a的个数为（）

A.（）B.1C.2D.3

9.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸

识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识

别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）

A.48（）种B.360种C.240种D.120种

10.如图，平面。与平面力相交于8C,AB^a,CDu/3,点氐D任BC,则下列叙述错误的是（）

D

A.直线A。与8C异面

B.过只有唯一平面与BC平行

C.过点。只能作唯一平面与8C垂直

D.过AD一定能作一平面与8C垂直

11.已知函数/(x)=cos(s+e)3＞0,0＜夕＜5的最小正周期为万，且满足/(x+0)=/(0一X),则要得到

函数/(X)的图像，可将函数g(x)=sin0r的图像()

A.向左平移专个单位长度B.向右平移卷个单位长度

C.向左平移L个单位长度D.向右平移"个单位长度

1212

12.(x-4+1)5展开项中的常数项为

x

A.1B.11C.-19D.51

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，AB=2®AC=V5,ABAC=90°,则AABC绕8。所在直线旋转一周所形成的几何体的表

面积为.

14.在四面体ABCD中，AB=CO="I,AC=BO=取,4。=8。=5,£：,尸分别是4。,8。的中点.则下述结

论：

①四面体ABCD的体积为20；

24

②异面直线AC,BD所成角的正弦值为—；

25

③四面体ABCD外接球的表面积为50%；

④若用一个与直线以垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多

边形截面面积最大值为6.

其中正确的有.(填写所有正确结论的编号)

9.

15.在(f-*)6的二项展开式中，所有项的系数的和为

x

16.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中表示猜

测某人获奖，“X”表示猜测某人未获奖，而“。”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测

是正确的，那么两名获奖者是.

甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖

甲的猜测qXX

乙的猜测XOOq

丙的猜测XqXq

丁的猜测OOX

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=一］+2cos(D

17.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛c.(e为参数).以坐标原点为极点，x轴正

y=2sin0

半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P的直角坐标为(-2,0),过P的直线/与曲线C相交于N两点.

(1)若/的斜率为2,求/的极坐标方程和曲线C的普通方程；

UULOUUL¥

(2)求PM.PN的值.

18.(12分)(1)求曲线＞=/和曲线y=&围成图形的面积;

cos20

(2)化简求值:

cos35071-sin20

19.(12分)如图所示，在四棱锥产一A3CD中，底面ABC。为正方形，PALAB,PA=6,AB=S,PD=10,

N为PC的中点，尸为棱8c上的一点.

(1)证明：面以尸，面A3CO；

(2)当b为8c中点时，求二面角A—八丁—C余弦值.

20.(12分)选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)

akk

已知矩阵人=(k/))的一个特征向量为a=,

01—1

A的逆矩阵Ar对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.

21.(12分)设函数/(x)=l-j=,g(x)=lnx,

(I)求曲线y=/(2x—l)在点(i,o)处的切线方程；

(n)求函数y=/(x)•g(x)在区间A,e］上的取值范围.

e

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABC0中，四边形A8CD为正方形，平面ABC。，点”是棱PC的中点,

AB=2,PD=t(t>0).

(1)若，=2,证明：平面平面PBC；

4

(2)若三棱锥C-DBM的体积为求二面角B——C的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

若过点尸且倾斜角为|■的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜

率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.

【详解】

22

已知双曲线:■-4=1(。>0,6>0)的右焦点为产，

a~/?

若过点F且倾斜角为g的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率-,

a

：~离心率e2=^^..4,

aa

e..2,

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件.

2.A

【解析】

设出A,5的坐标，利用导数求出过A,B的切线的斜率，结合丽・丽=0,可得xiX2=-l.再写出OB所在

直线的斜率，作积得答案.

【详解】

解：设A(%,芝)，B(%,二)，

'4-4

1,1

由抛物线C：炉=1山得>=一/，则旷=一》.

42

,,*=]百，kpB~2x2>

由西•丽=0，可得;玉工2=-1，即X1X2=-1.

又k(M=.，koB=],

°AOB16164

故选：A.

点睛：Q)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌

握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设

A(2a,/),B(2b,b2),a'h，再求切线PA,PB方程，

求点P坐标，再根据用.丽=0得到。匕=-1,最后求直线Q4与08的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一

些.

3.B

【解析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.

【详解】

由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，

延长6£交。咒于A点，

其中==6,A£=3,AF=4,

3x4

所以表面积S=（36x5+3x6）+=x2+4x6+30=264.

故选B项.

本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题

4.D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

5.D

【解析】

求得直线y=x-2/的斜率，利用曲线y=的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得”的值.

【详解】

直线y=x—2q2的斜率为1,

对于y=lnx-a,令了=1=1,解得x=l,故切点为（1,一。），代入直线方程得一a=1—2/,解得。=一;或1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.

【解析】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为《.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率

21

为§£一；②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1-Ei.如果爬上来，其概率是两种事件

21

又是互斥的,可得匕根据求数列的通项知识可得选项.

【详解】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为1£T（〃N2）；

②若上一步在下面，则第n-1步不在上面的概率是1一月I,（〃>2）.如果爬上来，其概率是

两种事件又是互斥的,...匕=衿+:（1飞），即/*T+；，

.••数列］匕一；）是以g为公比的等比数列，而6=g，所以+g，

1doi

二当〃=10时，-+-,

1022

故选：D.

【点睛】

本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.

7.A

【解析】

利用韦达定理可得。+4=1,皿=—1,结合a„=a"+夕可推出an+l=an+。,一,再计算出《=1,4=3，从而推出①

正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.

【详解】

因为a,£是方程x2-x-l=O的两个不等实数根，

所以a+,=l,a尸=-1,

因为4=a"+/3",

所以4.=优用+夕㈤

=(£"+〃")&+(&"+/?")/?—B"a-an/3

+J3")(a+j3)-aj3(an-'+

nn

=(a+/3")+(a-'+/3'-')=a„+an_l,

即当〃23时，数列｛«„｝中的任一项都等于其前两项之和，

212

又％=a+ft=\,a2-a+0=(«+/7)-2o/7=3,

所以4=4+4=4,%=%+%=7,%=%+4=11,

以此类推，即可知数列｛可｝的任意一项都是正整数，故①正确；

若数列｛%,｝存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5,

由4=1,4=3,依次计算可知，

数列｛《,｝中各项的个位数字以134,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期，

故数列｛%｝中不存在个位数字为0或5的项，故②错误；

故选:A.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.

8.C

【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当。=o,②当a<o,③当。〉o,考查方程的解的个数，综合①②③得

ae

解.

【详解】

①当。=0时，f(x)=ex-'>0..0,满足题意，

②当。<0时，er-a>0,3xe(-—,+℃),ar+-<0,故f(x)..0(xeR)不恒成立，

()aee

③当Q>()时，设g(x)=e'-。，A(x)=ax+-,

e

令8(1)="_4=0,得x=Ina,h(x)=ar+-=0,得1=---,

eae

下面考查方程/«=-'的解的个数，

ae

设。(a)=alnaf则。'(a)=14-Ina

由导数的应用可得：

(P(a)=H也在(0,3为减函数，在P，+W为增函数，

ee

则。(4)

e

BPIna=---有一解，

ae

又g(x)=e*-a,/z(x)=ar+,均为增函数，

e

所以存在1个“使得/U)..0(xeR)成立，

综合①②③得：满足条件的。的个数是2个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的

题型.

9.B

【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有&=120种，当人脸识别方向有1人时，有C；A：=240种，.•.共有360种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

10.D

【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【详解】

A.假设直线AD与共面，则A,D,B,C共面，则A8,共面，与ABu。，。。＜=尸矛盾，故正确.

B,根据异面直线的性质知，过A。只有唯一平面与8c平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过AO不一定能作一平面与垂直，故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

11.C

【解析】

依题意可得。=2,且是/(x)的一条对称轴，即可求出9的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；

【详解】

解：由已知得0=2,工=。是/(*)的一条对称轴，且使"X)取得最值，则3。=航，(p=g

.f(x)=cos(2x+g)=cos，g(x)=sin2x=cos(2x-S，

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.

12.B

【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.

【详解】

展开式中的项为常数项，有3种情况：

(1)5个括号都出1,即T=l；

(2)两个括号出x,两个括号出(—,)，一个括号出1,即7=泰丁2.。，(__1)2.1=30；

x'x

(3)一个括号出x,一个括号出(—,)，三个括号出1,即T=C7-C-(-L)-1=—2O；

xx

所以展开项中的常数项为7=1+30-20=11,故选B.

【点睛】

本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6加兀

【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S="”计算公式可得.

【详解】

解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，

在△A6C中，AB=2石，AC=亚,ZBAC=90°,如下图所示，

_275-75

底面圆的半径为'一(⑸’

则所形成的几何体的表面积为5=7厂(4+4)=万x2x(2j^+灼=6石乃.

故答案为：6亚兀.

【点睛】

本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.

14.①®④.

【解析】

补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计

算截面面积的最值.

【详解】

根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为仇C,

c2+/?2=41

<c2+a2=34,解得a=3,/?=4,c=5

〃+/=25

补成长，宽，高分别为3,4,5的长方体，在长方体中：

①四面体ABCD的体积为V=3x4x5-4x』x3x4x5=20,故正确

3

②异面直线AC,3。所成角的正弦值等价于边长为5,3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为指，故错；

③四面体ABC。外接球就是长方体的外接球，半径/?=好亘亘=画，其表面积为50»，故正确；

22

④由于所_La,故截面为平行四边形MNKL,可得KL+KN=5,

24

设异面直线与AO所成的角为氏则si毋=si〃/HFB=si〃/LKN,算得s%行不，

(K11KNV94

SMNKL=NK•KL•sinZNKL<―--Jx—=6.故正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的

处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.

15.1

【解析】

设/3)=(£-2)6,令X=1,/⑴的值即为所有项的系数之和。

X

【详解】

设-2)6,令％=1,

X

所有项的系数的和为/(1)=(1-2)6=1。

【点睛】

本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法一赋值法。一般地，

对于/(x)=(ax+与"，展开式各项系数之和为/(I),注意与“二项式系数之和”区分。

16.乙、丁

【解析】

本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行

分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.

【详解】

从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测

无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确

的，从而得出乙，丁获奖.

所以本题答案为乙、丁.

【点睛】

本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并

通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/：2/?cos(9-/?sin(9+4=0,C：(x+1)2+/=4；(2)-3

【解析】

(1)根据点斜式写出直线/的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用sin2e+cos2e=l,将曲线。的参数方程

转化为普通方程.

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得丽•丽的值.

【详解】

(1)/的直角坐标方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0,

则/的极坐标方程为2。cos6一夕sin6+4=0.

曲线C的普通方程为(x+l)2+y2=4.

x=-2+Zcos。

(2)直线/的参数方程为｛(，为参数，。为/的倾斜角),

y-tsina

代入曲线C的普通方程，得产—2，cosa—3=0.

设M,N对应的参数分别为**所以％4=-3,加”在。(—2,())的两侧.则

PM-PN=^PM\-\PN\-cos7i=-\ttt2\=-3.

【点睛】

本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义,

属于中档题.

18.(1)|(2)V2

【解析】

(1)求曲线y=f和曲线y=4围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求在区间［05

上的定积分.

(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出cos20°=JiK^j-(coslO°+sinlO),

335。=乌

cos10+sin10

21

然后再整体代入可得;

【详解】

解:

=/和曲线y=&围成的图形面积

5=£(«_*2m=(尹一#)%次卜**=m，

(2)cos20。=Vl-sin220°=1-sin20。)(1+sin20)

cos35°=cos(45°-1())=cos45°cos1()4-sin45°sin1()

(cos100+sin10

cos200_J(l-sin20)(cos100+sin10°)—近

-cos35^1-Sin20^f触10。+sinl(T)Jl—sin20。

【点睛】

本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

19.(1)证明见解析；(2)-占叵

61

【解析】

(1)要证明面及3_1面48。。，只需证明24_1面488即可；

U

(2)以A为坐标原点，以AB,AD,AP分别为X,y,z轴建系，分别计算出面ANE法向量勺，面PBC的法

UU

向量〃2,再利用公式计算即可.

【详解】

证明：(1)因为底面ABC。为正方形，所以A£>=43=8

又因为B4=6,P£>=10,满足「&+4》=p02,

所以Q4LAO

又9_LAB，ADu面ABC。，ABIffiABCD,

ABcAD=A,

所以~4_1面43。£).

又因为QAu面％尸，所以，面HF,面ABCO.

(2)由(1)知AB，AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD,AP分别为x,J,z轴建系如图所示,

则A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,£）（0,8,0）则N（4,4,3）,F（8,4,0）.

所以赤=（8,4,0）,而=（4,4,3）,前=（0,8,0）,1=（8,8,-6）,

—.、n,-AF=08X]+4y,=0

设面河尸法向量为片式冷乂乌》则由已,c得，；rc,

v-AN=0[4X[+4x+3Z]=0

人»33叫一「33八

令4=1得玉=7，即〃।=|『—5,1〉

同理，设面PBC的法向量为后=（X2，%，Z2），

兀屈=08X+8y2-6Z=0

则由，得22

«2-BC=08%=。

令z?=4得工=3,必=0,即0=（3,0,4）,

3

-x3+0+lx4

——H,•tVy45屈

所以cos<%〃2>=dn=

61，

设二面角A-Nr一C的大小为。，则

5761

COS^=-COS<>=-

61

所以二面角A—八下一。余弦值为-2叵

61

【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标,

是一道中档题.

kakkkak—k-Ak

20.解：设特征向量为a=对应的特征值为3则=X即《

-101-1-12=1

因为k#0,所以a=2.5分

,,31132kI_3

因为A"=，所以A=即

11110111

所以2+k=3,解得k=2.综上，a=2,k=2.20分

【解析】

试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k

考点：特征向量，逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵.

21.(1)y=x-\(2)[0,Ve-l]

【解析】

分析：(1)先断定(1,0)在曲线y=/(2x-l)上，从而需要求/'(2x-D,令x=l,求得结果，注意复合函数求导法则,

接着应用点斜式写出直线的方程;

(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.

详解：([)当x=l,y=/(2-l)=/(l)=0.y'=/'(2x-l)=1

{2.X—1)

当X=l,y，=/1l)=l,所以切线方程为y=x-l.

lrtr=hu:一里,

(D)