高三数学二轮复习 专题突破 专题五 立体几何 第2讲 点、直线、平面之间的位置关系限时训练 文科试题

第2讲点、直线、平面之间的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系证明1,4空间线面关系证明2,3空间面面关系证明2立体几何中的折叠问题41.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD.由余弦定理得BD=3AD,所以BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.又AD∩PD=D,所以BD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以PA⊥BD.(2)解:作DE⊥PB,垂足为E.已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD,又BC∥AD,所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,则DE⊥平面PBC,由题设知PD=1,则BD=3,PB=2.由DE·PB=PD·BD得DE=32即棱锥D-PBC的高为322.(2016·贵州省遵义航天高中一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1(3)求三棱锥C-BC1D的体积.(1)证明:连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1因为D为AC中点,得DO为△AB1C所以AB1∥OD.因为OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,所以直线AB1∥平面BC1D.(2)证明:因为AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BD.因为△ABC为正三角形,D是AC的中点,所以BD⊥AC.因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1因为BD⊂平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面ACC1A1(3)解:由(2)知△ABC中,BD⊥AC,BD=ABsin60°=33,所以S△BCD=12×3×33=9又CC1是底面BCD上的高,所以VCBC1D=VC1BCD3.(2016·山东菏泽模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1AA1=4,AC⊥BC,点M在线段AB上.(1)若M是AB中点,证明AC1∥平面B1CM(2)当BM长是多少时,三棱锥B1-BCM的体积是三棱柱ABC-A1B1C1的体积的1(1)证明:连接BC1,交B1C因为直三棱柱ABC-A1B1C1所以侧面BB1CME为△ABC1的中位线,所以ME∥AC1.因为ME⊂平面B1CM,AC1⊄平面B1所以AC1∥平面B1CM(2)解:因为S△ABC=12BA·BCsin∠S△MBC=12BM·BCsin∠所以V三棱锥B1-BCM=13·12BM·V三棱柱ABC-A1B1C1=1由V三棱锥B1得BM=13因为AC⊥BC,所以在Rt△ACB中,BA=AC2+当BM长是53时,三棱锥B1-BCM的体积是三棱柱ABC-A1B1C1的体积的4.(2016·东北三省三校一模)如图,在平行四边形ABCD中,AD⊥BD,AD=2,BD=4,点M,N分别为BD,BC的中点,将其沿对角线BD折起成四面体QBCD,使平面QBD⊥平面BCD,P为QC的中点.(1)求证:PM⊥BD;(2)求点D到平面QMN的距离.(1)证明:因为平面QBD⊥平面BCD,QD⊥BD,平面QBD∩平面BCD=BD,所以QD⊥平面BCD,所以QD⊥DC,同理QB⊥BC.因为P是QC的中点,所以DP=BP=12所以PM⊥BD.(2)解:因为QD⊥平面BCD,QD=BC=2,BD=4,M,N,P分别是DB,BC,QC的中点,所以QM=22,MN=5,QN=21,所以S△QMN=6.又S△MND=1,设点D到平面QMN的距离为h,因为VQMND=所以13×1×2=13×6×h,得h=所以点D到平面QMN的距离为63(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线线关系1空间线面关系2,3,4空间面面关系3立体几何中的折叠问题41.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°(1)证明:AB⊥A1C(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.又A1C=6,则A1C2=OC2+O故OA1⊥OC.因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1又△ABC的面积S△ABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA12.(2016·贵州省贵阳市适应性检测)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,∠DAB=60°,AA1⊥平面ABCD,且AD=AA1=1,F为棱AA1的中点,M为线段BD1(1)求证:FM⊥平面BDD1B1;(2)求三棱锥D1-BDF的体积.(1)证明:连接AC,设与BD交于O点,连接OM,因为A1F=AF,AB=A1D1,∠D1A1F=所以D1F=BF,又M为线段BD1的中点,所以FM⊥BD1因为OM∥AF且OM=AF,所以四边形FAOM为平行四边形,所以FM∥AO,因为底面ABCD是菱形,所以AO⊥BD,则FM⊥BD,又因为BD∩BD1=B,所以FM⊥平面BDD1B1.(2)解:由(1)知FM⊥平面BDD1B1,因为S△BDD1=12BD·DD1=12FM=AO=32所以VD1BDF=VF=13×12=3123.(2016·安徽“皖南八校”联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1AC=BC,AA1=3,AB=3,D是AB的中点,点E在BB1上,B1E=16BB1(1)AC1∥平面B1CD;(2)平面A1C1E⊥平面B1证明:(1)连接BC1交B1C于点F,连接DF,则F是BC1因为D是AB的中点,所以DF∥AC1,因为AC1⊄平面B1CD,DF⊂平面B1CD.所以AC1∥平面B1CD.(2)因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB,因为在直三棱柱中,侧面ABB1A1⊥所以CD⊥平面ABB1A1又A1E⊂平面ABB1A1所以A1E⊥CD,因为矩形ABB1A1中,A1B1=AB=3,BB1=AA1=3,B1E=16BB1=12,BD=1所以A1B1B1B=因为∠A1B1E=∠B1BD=90°,所以△A1B1E∽△B1BD,所以∠B1A1E=∠BB1所以∠B1A1E+∠A1B1D=∠BB1D+∠A1B1D=∠A1B1B=90°所以A1E⊥B1D,因为CD∩B1D=D,CD,B1D⊂平面B1CD,所以A1E⊥平面B1CD.因为A1E⊂平面A1C1所以平面A1C1E⊥平面B14.(2016·湖北荆门高三调考)如图1,在直角梯形EFBC中,FB∥EC,BF⊥EF,且EF=12FB=13EC=1,A为线段FB的中点,AD图2.(1)求证:BC⊥平面EDB;(2)求点M到平面BEF的距离.(1)证明:由题意,平面ADEF与平面ABCD垂直,而平面ADEF与平面ABCD相交于AD,ED⊂平面ADEF,ED⊥AD,所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以BC⊥ED.由于AB=AD=1,在直角三角形BAD中,BD=2.在直角梯形ABCD中,由条件AB=AD=1,CD=2,得BC=2.所以BD2+BC2=DC2,所以BC⊥BD,又BD∩ED=D