3.1离散型随机变量的均值+课件-【知识精讲精研】高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.1离散型随机变量的均值1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，达到逻辑推理和数学抽象核心素养水平一的层次；2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值，达到数学运算核心素养水平一的层次；3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，达到数学建模核心素养水平一的层次；

环节一离散型随机变量的均值我们回顾一下本章§2中的例1：已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数.我们可求得X的分布列如表：现在我们关心，取3件该产品时,平均会取到几件不合格品？那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢?1、离散型随机变量的均值k012P(X=k)分析由平均数的意义,西瓜的平均质量应为12个瓜的总质量除以西瓜的总个数，即问题1设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg,3个质量是6kg,5个质量是7kg,求这12个西瓜的平均质量.①式也可写成如下形式:①②1、离散型随机变量的均值思考1：上面的红圈里面的式子的意义是什么？分别为质量是5kg，6kg和7kg的西瓜个数在总个数中所占的比例思考2：从上面的例子中，你知道可以怎么求数据的平均值？1、离散型随机变量的均值平均值=数值乘以对应的占比k012P(X=k)思考3：那你能求出下面的分布列的平均值？平均数0.6就代表“取次品问题”中随机变量X的平均取值。设离散型随机变量X的分布列如下表：xix1x2…xi…xnP(X=xi)p1p2…pi…pn则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.

1、离散型随机变量的均值1.理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.2.求出X取每个值的概率P（X＝k）.3.写出X的分布列.4.利用均值的定义求EX.思考4：你能归纳出随机变量X的均值的求解步骤吗？1、离散型随机变量的均值思考4：两个分布列的均值（期望）能一样吗？1、离散型随机变量的均值可以一样，所以均值（期望）只能表示数据的“中心位置”，不能反映出数据的所有特点思考5：前面我们学过两点分布，你能求出两点分布的均值（期望）吗？解

依题意知EX=0·P(X=0)+l·P(X=1)=0·(1-p)）+1·p=p.因此，当X服从参数为p的两点分布时，其均值EX=p.例1设X表示抛掷一枚均匀骰子掷岀的点数，求EX.解

依题意知X的分布列为i123456P(X=xi)根据均值的定义，可知1、离散型随机变量的均值2、离散型随机变量均值的性质例2设随机变量X的分布列如下表，且EX＝1.6，则a－b等于（）X0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.－0.2D.－0.4解析：由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.C例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个,则取出的红球个数的均值是多少？解设X表示取出红球的个数，则X的取值为0,1,21、离散型随机变量的均值故X的分布列如表X012P根据均值的定义，可知例4袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.解答：取出4只球颜色及得分的分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8，

2、离散型随机变量均值的性质X5678P

故X的分布列为例5根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案:方案1：运走设备，搬运费为3800元.方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.方案3：不釆取措施，希望不发生洪水.此时遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.你会选择哪一种方案呢？1、离散型随机变量的均值解

用X1,X2和X3分别表示以上3种方案的损失.采用方案1,无论有无洪水，都损失3800元，即X1=3800,故EX1=3800（元）.采用方案2,遇到大洪水时，损失2000+60000=62000（元）；没有大洪水时，损失2000元.因此，EX2

=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600（元）.采用方案3,遇到大洪水时，损失60000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时,损失为0元.因此，EX3=60000×0.01+10000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3100（元）由此可见，平均而言方案2的损失最小，可供选择.1、离散型随机变量的均值

1、离散型随机变量的均值

X－4136P

环节二离散型随机变量均值的性质【证明】若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.所以，Y的分布列为··················2、离散型随机变量均值的性质思考1：若Y=ax+b，如何求出EY呢？

例1

已知随机变量X的分布列为X－2－1012P

m

解答：由随机变量分布列的性质，得

由Y＝－2X，得EY＝－2EX，

2、离散型随机变量均值的性质例2已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，求m的值。ξ1234P

mn

2、离散型随机变量均值的性质

例3：某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元1000200030002、离散型随机变量均值的性质解

分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.1922、离散型随机变量均值的性质环节三均值的应用例1随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为X.（1）求1件产品的平均利润（即X的均值）；（1）EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34（万元）.3、均值的应用例1随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为X.3、均值的应用（2）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？（2）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX＝6×0.7＋2×（1－0.7－0.01－x）＋1×x＋（－2）×0.01＝4.76－x（0≤x≤0.29），依题意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3％.例2某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x（年）0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量（辆）2345545每辆利润（万元）1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：3、均值的应用（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；

例2某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x（年）0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量（辆）2345545每辆利润（万元）1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：3、均值的应用（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；解析

（2）依题意得，X1的分布列为X1123P

X2的分布列为X21.82.9P

例2某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x（年）0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量（辆）2345545每辆利润（万元）1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：3、均值的应用（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只