3.1.2单调性的定义与证明第1课时课件-高一上学期数学人教B版

第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.2函数的单调性第1课时

单调性的定义与证明基础知识情境与问题我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律。如果我们以x

表示时间间隔(单位:h)，y

表示记忆保持量，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y=f(x)。这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?情境与问题中的函数y=f(x)反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小。给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过。

尝试与发现如图所示的函数y=f(x)，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是__________函数，在[1，3]上是__________函数，在[3，6]上是__________函数。增增减由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性。但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性。这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法。思考1：若把增、减函数定义中的“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”可以吗？提示：不可以，如图：思考2：“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同？提示：不相同。函数f(x)的单调增(减)区间是D，这一说法意味着除D之外，函数f(x)再无其他单调增(减)区间。函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间，即除区间D外，函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间。典例精析求证：函数f(x)=-2x

在R上是减函数。证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)=(-2x1)－(-2x2)=2(x2－x1)>0，从而f(x1)＞f(x2)。因此，函数f(x)=－2x

在R上是减函数。一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D，如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。

不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值。判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值。典例精析解：任取x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，则x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)=(3x1+5)－(3x2+5)=3(x1-x2)＜0，所以这个函数是_________函数。因此，当-1≤x≤6时，有f(-1)≤f(x)≤f(6)，从而这个函数的最小值为f(-1)=_______，最大值为f(6)=_______。结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以-3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即f(-1)≤f(x)≤f(6)，其余同上。增223基础自测1．函数f(x)＝2在[－2，4]上的单调性为(

)A．减函数 B．增函数C．先减后增 D．不具有单调性解析：当x∈[－2,4]时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)＝2在[－2，4]上不具有单调性．D

2．对于函数y＝f(x)，在给定区间内有两个值x1、x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，则y＝f(x)(

)A．一定是增函数 B．一定是减函数C．可能是常数函数 D．单调性不能确定解析：由函数单调性的定义可知，判断单调性时不能用特殊值代替任意值，故选D。D

3．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是___________.4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是______________.解析：f(x)＝－(x＋1)2＋1，函数f(x)的对称轴为x＝－1，故函数的递增区间为(－∞，－1]．[－3，1]

(－∞，－1]

5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为_________，b的取值范围为____.R

典例剖析求函数的单调区间已知x∈R，函数f(x)＝x|x－2|，试画出y＝f(x)的图像，并结合图像写出函数的单调区间。思路探究：首先分类讨论，去掉绝对值号，将函数化为分段函数，然后画出图像求解即可。归纳提升：1.作出函数的图像，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图像一定要画准确。2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域。3．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接。对点训练(1)如图是定义在区间[－2，2]的函数y＝f(x)，则f(x)的单调递减区间是___________.(2)函数f(x)＝x|x|－2x的单调递增区间为_________________________.解析：(1)由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[－1,1]．(2)x≥0时，f(x)＝x2－2x，对称轴为x＝1，开口向上，在(1，＋∞)单调递增，x＜0时f(x)＝－x2－2x，对称轴x＝－1，开口向下，在(－∞，－1)单调递增，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．[－1，1]

(－∞，－1)和(1，＋∞)

典例剖析用定义证明函数的单调性思路探究：函数解析式和区间已给出，要证明函数的单调性，只需用定义证明即可。归纳提升：利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2。(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子。(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号。(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性。对点训练典例剖析证明含参数的函数的单调性归纳提升：判断含参数的函数的单调性时，利用定义边证明边讨论，从而确定单调性。对点训练∴当a>0时，f(x2)－f(x1)<0，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a<0时，f(x2)－f(x1)>0，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数。综上所述，当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数。典例剖析函数单调性的简单应用1．利用单调性解函数不等式已知f(t)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为________.思路探究：典例剖析利用函数的单调性求参数的取值范围(0，3]

解析：因为函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，故a＞0，设y＝ax－1，x∈(－∞，1)，因为a＞0，所以y＜a－1.而当x≥1时，f(x)＝x2＋1单调递增，且此时f(x)min＝12＋1＝2，故只需a－1≤2，即a≤3即可．所以a的取值范围是(0,3]．归纳提升：1.利用函数的单调性比较大小或解不等式利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。利用函数的单调性比较大小、解不等式时有如下结论：一是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间M上单调递增，则x1＜x2且x1，x2∈M时，f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2且x1，x2∈M时，f(x1)＞f(x2)。二是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间M上单调递增且x1，x2∈M，则当f(x