投资学（第五版）教学课件 LectureCH06

第六章因素模

型

与

套

利

定

价

理论.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社1/30本讲主

要

内

容在前

面介

绍马科维茨资产选择模型时

,

我们曾

经说过计算量过大的问题

是该模型在现实应用中的一个巨大障碍。对于一个包含

n

个股票的投资

组合来说

,

我们

要计

算它的方差-协方差矩阵

就

要估计

n

个期望收益率、

n

个方

差

和

(

n

−

n

)/2

个协方差

。当

n

取值为

100

的时候

,

总的估计量

就达到

5150

个

;

当

n

取值为1500

的时候

,

总的

估计量将超过

100

万个。因

此

,

我们需要找到一种方

法对这一模型进行简化

,

从而减

少实际应用过程中的数据加工量

,

减轻计

算负担。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社2/302内容概

要123因素模

型套利与

套

利组合套利定

价

理论及其检验.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社3/30因素模

型

的

起因在前

面介绍马科维茨资

产选择模型时

,

曾经说

过计算量过大的问题是该模型

在现实应用中的一个巨大障碍。对于一个包含

n

个股票的投资组合来说

,

我们

要计算

它的方

差一协方差矩阵就要估计

n

个期望收益、

n

个方差

和

个协

方差。2当

n

取值

为

100

的时候

,

总的估计

量就达到

5

150

个。当

n

取值

为

1500

的时候,

总的

估计量

将

超

过

100

万个。因此

,

我们需

要找到一种方法对这一模型进行简化

,

从而减少实际应用过

程中

的数据加工量

,

减轻计

算负担。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社4/302n

−

n单因素

模

型假定

公司

收益的不确定性只有

2

个来源

：对所有公司都有影响的宏观经

济因

素和单个公司特有的因素，则可将公

司持有期收益率写为：若将

非预

期的宏观经济因素记为

F

,

并假设

不同公司对该因素有不同的

敏感

度

β

i

，则公司

收益

率的方差：公司收益率的波动来源于

宏观经济因素的波动和公

司特

有因素的波动。两个

公司

收益率的相关性唯一来源是它们共同

依赖的宏观经济因素。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社5/30单因素

模

型

（续）我们

在计算

n

个公

司收益率的方差一协方差矩阵时，就只需要估计下

述(3

n

+

1)

指标，远远

小

于.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社6/302n

−

n2单指数

模

型单指

数模型在单

因素模型中

,

没有

给

出具体的测度宏观经济因素的指标。夏普用股票指

数的

收

益率代替了单因素模型中的宏观影响因素

,

从而给出了与单因素

模型类似的方程

,

称

为单指数

模型股票

i

收益

率的不

确定

性来自两个方面：一是，

市场

指数的不确定性

,

即市场

风险或系统性风险

,

反映在

RM上。

不同

公司受该风险的影响程度不同

,

β

i

衡量

了这种敏感程度。二是

，公司

自身特有的风险

,

也可以

看成非系统性风险

,

反映在

e

i上。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社7/30单指数

模

型

中参数的经济含义β

i

：单

指数

模

型中的

β

系数与资

本资产定价模

型

中的

β

值有着相同的经

济含

义。α

i

：当

市场中

所有

股票的

α

值都等于

零的时候

,

单指数模型与CAPM

是等

价的。由于

CAPM

描述的

是市场达到

均

衡

、

所

有资

产的

价

格都处

在

“

公

平

定价”状态时

收

益率与风险的关系

,

因此

,

这就意

味

着单指

数模

型描

述的收益率与

风险的

关

系

并

不

一

定

是均衡状态。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社8/30多因素

模

型在单

因素模型中，公司

股票价格的波动分解为宏观经济因素风险和公司特有

风险两部分。然而

,

这里的宏观经济因素与其说是一个单一的因素

,不如

说是一系列因素的综合。经济

周期

、利率、通货膨胀率、能源价格等因

素正是宏观经济因素的具

体表

现。以两

因素

模型为例，宏观经济风险主要来源于

经济周期和利率的变化。r

i=

E

(

r

i

)

+

β

i,

GDP

GDP

+

β

i,

IR

IR

+

e

i宏观

因素

包含了经济中的系统性风险

,

其中每个因

素的系数用来衡量该

股票

对这个风险因素的敏感度

,

或者称

为因子载荷

(FactorLoading)

。

e

i仍是

对公司

特有风险的衡量。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社9/30内容概

要123因素模

型套利与

套

利组合套利定

价

理论及其检验.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社10/30套利的

原

则套利

：指

投资

者以零投资

,

在不承担

任何风险的情

况

下

,

获取正收益

的投资行为。

套利过程中所

构造的投资组合称为套利组合。

具体来说

,

套利可

以分为两类

:第一

类套

利称为强套利

(Strong

Arbitrage),

是

指投资组合在期初有严格

负的

价格

,

却能

在

未

来提供非负的收益。第⼆

类套

利是指投资组合在期初的价格为零

,

在未来却能

获得非负且不

等于

零的收益。第一

类套利和第⼆类套

利统称套利。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社11/30两类套

利

：

一个例子假设

经济中有

A

、

B

、

C

、

D

四只股票

,

每只股

票在一期的收益受到一期的通

货膨胀率和利率水平的影响。下面给出了各股

票在不同经济形势下的收

益率。股票高通货

膨胀率高利率

低利率低通货膨胀率高利率

低利率ABCD-20090154030-10152070-202360-207036假设

每种经济形势发生

的概率都等于

25%,

而且每

只股票在零期的价格都等

于

1

元

,

那么

在这

种价格水平下

,

市场是

否存在套利组合

?.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社12/30例子：

第

一

类套利假设

在一个由上述四只

股票构成的投资组合中

,

各

股票的投资额分别为ω

1

、

ω

2、

ω

3、

ω

4。如

果该组

合是套利组合

,

那么它

有可能是第一类套利组合

,

即初

始价格

小于零

,

且未来每

种状态下的收益

不

为负。股票权重满足如

下不

等

式

:若按

照

(

ω

1

,

ω

2

,

ω

3,

ω

4

)

=

(0

.

99

,

1

,

1

,

−

3)

的投资比重

进行投资

,

初始成本

为

-0.01,

而且

在

未来四种经济状态下的收

益率分别为

25.2%

、14.6%

、

0.8%

和

1.4%

。此时

,

上式中的

每个条

件都能得到满足，因而存

在第一

类套利

机

会。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社13/30例子：

第

二

类套利若按

照

(

ω

1

,

ω

2

,

ω

3,

ω

4)

=

(1

,

1

,

1

,

−

3)

的投资比

重进行投资

,

初始成本为

0,

而且

在未来

四

种经济状态下的收益率分别为

25%

、

15%

、1%

和

2%

。此

时

,

上式中的

每个条件都能得到

满

足，因而存在第二类套

利机

会

。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社14/30套利的

几

何

意义：两只证券投资组合价值的正负区域.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社15/30套利的

几

何

意义：两只证券投资组合价值为正的区域.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社16/30套利的

几

何

意义：不存在套利机会的市场.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社17/30套利的

几

何

意义：存在第⼆类套利机会的市场.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社18/30套利的

几

何

意义：存在第一类套利机会的市场.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社19/30无套利

的

两

个条件一价

定律

：指对于任意两个投资组合

,

如果它

们在未来每种状态下的收

益都

是相同的

,

那么这两个

投资组合在当前的价格也应该相等。一价

定律意

味着零

收益的证券其价格也必定等于零。价格

严格

正定：所有在未来每种状态下都有正

收益的投资组合

,

其价格

都要

大于零。

如果我们将价格函数

q

(

•

)

定义在资产的未来收益z

上

,

那么这

一性质意味着价格函数是严格正定的

(Strictly

Positive),即任

给一

个严格大于零的收益

z

,

该收益对

应的

证

券组合的价格

q

(

z

)都大

于零

。定理当价

格函数同时满足一

价定律和严格正定性的时候

,

市场是无套利的

,

反之亦

然。.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社20/30内容概

要123因素模

型套利与

套

利组合套利定

价

理论及其检验.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社21/30APT

的推导：

假设

条

件.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社22/30APT

的推导零投

资.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社23/30APT

的推导投资

组合收益可写成：.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社24/30APT

的推导由于

该投资组合的初始

投资为零

,

按照无套

利的假

设

条件

,

该投资组合的收益

必须等于零.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社25/30APT

的推导根据

前述

3

个

红色

的方

程，由线性代数的知识可知，下列方程有解：.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社26/30APT

的推导将

(3)

代⼊

(2)

得到

套利定

价模型

的基本形

式：.

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.《投资学》第五版第六章因素模

型与套

利定价理论中国人民大

学出版社27/30APT

与

CAPM

的比较相同

点（1）两者在理念上很相似,两者在理念上很相似，都认为当市场满足某种条件时，个别证券的预期收益率可由无风险收益率加上风险溢价来决定；（2）两者都说明了风险与收益之间的理性原则：更多的系统性风险，更高的预期收益；（3）当只有一个共同因素能影响证券的收益时，这两个理论是一致的。（1）APT

对资

产收益

率的分布不需要进

行

任

何

假

设

。（2）APT

对投

资者效

用函数的假设更为

简

单

,

它只

需要

投资者

满足

餍足

和风险规避

两个基

本

特

性

。（3）CAPM