二次函数的应用

第16讲┃

二次函数的应用第16讲二次函数的应用第16讲┃归类示例归类示例►类型之一利用二次函数解决抛物线形问题命题角度：1.利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2.利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．例1

[2012·安徽]

如图16－1，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.第16讲┃归类示例

(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．图16－1第16讲┃归类示例[解析](1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定系数法确定二次函数的关系式；(2)要判断球是否过球网，就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是求抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x＝18时对应的函数值，并与0相比较．(3)先根据函数图象过点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围．第16讲┃归类示例第16讲┃归类示例第16讲┃归类示例第16讲┃归类示例

利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．►类型之二二次函数在营销问题方面的应用命题角度：二次函数在销售问题方面的应用．第16讲┃归类示例例2

[2011·盐城]

利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：图16－2第16讲┃归类示例请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？第16讲┃归类示例[解析](1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；按零售价买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．(2)利润＝(售价－进价)×件数．第16讲┃归类示例第16讲┃回归教材如何定价利润最大回归教材

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

第16讲┃回归教材解：(1)设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x变化的关系式为y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自变量x的取值范围是0≤x≤30.∴y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，因此当x＝5时，y取得最大值为6250元．(2)设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x变化的关系式为y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量x的取值范围是0≤x≤20，∴y＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125，因此当x＝2.5时，y取得最大值为6125元．第16讲┃回归教材

(3)每件售价60元(即不涨不降)时，每星期可卖出300件，其利润y＝(60－40)×300＝6000(元)．综上所述，当商品售价定为65元时，一周能获得最大利润6250元．

[点析]

本题是一道较复杂的市场营销问题，需要分情况讨论，建立函数关系式，在每种不同情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，利用函数最值解决问题．第16讲┃回归教材中考变式[2012·嘉兴]

某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为__________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不亏？(1400－50x)第16讲┃回归教材解：(1)(1400－50x)(2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.∴当每日租出14辆时，租