北京市大兴区名校2023学年数学九年级上学期期末经典试题含解析

2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

3.如图，A、D是。O上的两个点，BC是直径，若ND=35。，则NOAC的度数是（）

5.如图，在△45C中，点。在43上、点E在AC上，若NA=60。，/%68。，AD•AB^AE•AC,则NAOE等于

A.52°B.62°C.68°D.72°

6.抛物线y=-2（x+1）2-3的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=TC.直线x=3D.直线x=-3

7.如图，在△ABC中，AD±BC,垂足为点O,若AC=6应，NC=45。，tanNABC=3,则BZ）等于（）

A.2B.3C.3亚D.26

8.如图，PA、PB是。O的切线，切点分别为A、B,若OA=2,ZP=60°,则4台的长为（）

A.-nB.nC.—nD.—n

333

9.抛物线y=3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（）

A.y=3x2+lB.y=3x2-1C.y=3（x+1）2D.y=3（x-1）2

10.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点在格点上，若点E是8C的中点，则的

值为（）

A.2B.-C.—D.J5

25

11.如图，在A6c中，AC=BC,NACB=90。，折叠A6c使得点。落在A3边上的点E处，折痕为AO.连

BEBD

接DE、CE,下列结论：①△OBE是等腰直角三角形；②AB=AC+CD；③］；=—:@S=S.其

ACABSCDESBDE

中正确的个数是（）

12.一个菱形的边长是方程V—8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为（）

C.24或40D.48或80

二、填空题（每题4分，共24分）

13.在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同.小明发现，摸

到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是.

14.抛物线y=2（x-1）2-5的顶点坐标是.

15.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21,则

每个支干长出____.

.b1.a+b

已知一=一，则n——

a3b

17.用一个圆心角90。，半径为8cm的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为.

18.如图，直线A8与。。相切于点C,点。是。。上的一点，且NEOC=30。，则NEC4的度数为

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知y与x成反比例，则其函数图象与直线尸丘（左。0）相交于一点A（—3,—1）.

⑴求反比例函数的表达式；

（2）直接写出反比例函数图象与直线y=kx的另一个交点坐标；

（3）写出反比例函数值不小于正比例函数值时的x的取值范围.

20.（8分）“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人。某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三

保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房

建设.

(1)求该市这两年投入资金的年平均增长率.

(2)2020年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元,

则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2)

(1)画出AABC关于点B成中心对称的图形AAiBG；

(2)以原点O为位似中心，位似比为1：2,在y轴的左侧画出AABC放大后的图形AAzB2c2,并直接写出C2的坐标.

22.(10分)如图，在ABC中，ZACB=90°,CD是A3边上的中线，过点A作AE，CD，垂足为M，交BC

于点E，AM=2CM.

(1)求sinB的值:

(2)若CD=布,求的长.

23.(10分)如图，半圆。的直径AB=2,将半圆。绕点8顺时针旋转45。得到半圆。'，半圆。与A3交于点尸.

A'

(1)求AP的长；

(2)求图中阴影部分的面积.(结果保留万)

24.(10分)某商场一种商品的进价为每件3()元，售价为每件5()元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定

降价促销.

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；

(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少？

25.(12分)如图1,直线y=2x+2分别交x轴、y轴于点A、B,点C为x轴正半轴上的点，点D从点C处出发，

沿线段CB匀速运动至点B处停止，过点D作DELBC,交x轴于点E,点。是点C关于直线DE的对称点，连接ECS

若4口£。与4BOC的重叠部分面积为S,点D的运动时间为t(秒)，S与t的函数图象如图2所示.

(1)VD=____,C坐标为；

(2)图2中，m=,n=,k=.

(3)求出S与t之间的函数关系式(不必写自变量t的取值范围).

26.将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115。(如图D,侧面示意图为图2；使用时为了

散热，在底板下面垫入散热架O'AC后，电脑转到AO，B，的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=OB=20cm,

B，(T_LOA,垂足为C.

(1)求点。的高度。C；(精确到0.1cm)

(2)显示屏的顶部B，比原来升高了多少？(精确到0.1cm)

(3)如图4,要使显示屏(TB，与原来的位置OB平行，显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度？

参考数据：(sin65°=0.906,cos650=0.423,tan65°=2.1.cot65°=0.446)

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【解析】分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可.

详解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选D.

点睛：考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键.

2、C

【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案.

【详解】解：由图得：红色扇形圆心角为120,白色扇形的圆心角为240。，

红色扇形的面积：白色扇形的面积=’,

2

画出树状图如图，共有9个等可能的结果，让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的结果有

4个，

4

工让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率为大；

故选：C.

开始

红白白

ZT\ZKZK

红白白红白白红白白

【点睛】

本题考查了树状图和概率计算公式，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握树状图的画法步骤.

3、B

【解析】解：•；ND=35。，

.".ZAOC=2ZD=70°,

/.ZOAC=(180°-ZAOC)+2=U0°+2=55°.

故选B.

4、A

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原

点O的对称点是P'(-x,-y),可以直接选出答案.

【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点可得：点P(6,-8)关于原点过对称的点的坐标是(-6,8).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特点：它们的坐标符号相反.

5、A

【分析】先证明△ADESAACB,根据对应角相等即可求解.

【详解】,：ADAB=AEAC,

.AD

»•----------，又NA=NA,

AEAB

.*.AADESAACB,

二ZADE=ZC=180°-ZA-ZB=52°,

故选A.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

6、B

【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以写出该抛物线的对称轴.

【详解】解：•••抛物线y=-2(*+1)2-3,

...该抛物线的对称轴为直线x=-1,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，对称轴为x=h,顶点

坐标为(h,k).

7、A

【解析】根据三角函数定义可得AD=AC・sin45。，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长.

【详解】；AC=6&,ZC=45°

万

.*.AD=AGsin45°=6^2x——=6

VtanZAJ?C=3,

AD

---=3,

BD

AD

:.BD=---=2,

3

故选A.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，三角函数的知识，熟记知识点是解题的关键.

8、C

【解析】试题解析：・・・山、是。。的切线，

，ZOBP=ZOAP=90°,

在四边形APBO中，ZP=60°,

:.ZAOB=120°,

VOA=2,

*/1207rx24

'AB的长/=F-=§-

故选C.

9、D

【解析】先确定抛物线y=3xi的顶点坐标为（0,0）,再利用点平移的坐标变换规律得到点（0,0）平移后对应点的

坐标为（1,0）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式.

【详解】y=3xI的顶点坐标为（0,0）,把点（0,0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1,0）,所以平移后的抛

物线解析式为y=3（x-1）».

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常

可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶

点坐标，即可求出解析式.

10、C

【分析】利用勾股定理求出aABC的三边长，然后根据勾股定理的逆定理可以得出aABC为直角三角形，再利用直

角三角形斜边中点的性质，得出AE=CE,从而得到NCAE=NACB,然后利用三角函数的定义即可求解.

【详解】解：依题意得，

AB=V1T4=V5,AC=j4+16=2BBC=j9+16=5,

.,.AB2+AC2=BC2,

...△ABC是直角三角形，

又为BC的中点，

；.AE=CE,

/.ZCAE=ZACB,

AsinZCAE=sinZACB=—=—.

BC5

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形利用勾股定理求出三角形的三边长，

然后利用勾股定理的逆定理和三角函数即可解决问题.

11、C

【分析】根据折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质、三角形的面积公式逐个判断即可

得.

【详解】由折叠的性质得：AC=AE,CD=DE,ZAED=ZACD=90°

又AC=BC,ZACB=90°

：.ZB=ZCAB=45°

在M)BE中，/BED=180°-ZAED=90°,NBDE=90°—NB=45°

即NBDE=NB=45°,则AD8E是等腰直角三角形，结论①正确

由结论①可得：DE=BE

AC=AE,CD=DE

:.AB^AE+BE^AC+DE^AC+CD,则结论②正确

NBED=NBCA=90。

NB=NB

:ZED〜MCA

BEBD

AC=BC

则结论③正确

ACAB

如图，过点E作叮，BC

SACDE=^CD-EF=^DE-EF

SbBDE=/BD-EF

由结论①可得：ADBE是等腰直角三角形，DE=BE

由勾股定理得：BD=41DE

1R

则结论④错误

.­.S&BDE=-BD.EF=-DE.EF=^CDE，

综上，正确的结论有①②③这3个

故选：C.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟记并灵活运用各定理与

性质是解题关键.

12>B

【解析】利用因式分解法解方程得到xl=5,x2=3,利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边

长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6,然后计算菱形的面积.

【详解】解：（X-5）（X-3）=O,

所以玉=5,乙=3,

•••菱形一条对角线长为8,

•••菱形的边长为5,

.•.菱形的另一条对角线为2底-42=6，

二菱形的面积=,x6x8=24.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是

解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角形三边的关系.也考查了三角形三边的关系和菱形的性质.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、20

【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可.

【详解】设黄球的个数为X个，

•.•共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%,

.,.—=60%,

50

解得x=30,

...布袋中白色球的个数很可能是50-30=20(个).

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

14、(1,-5)

【分析】根据二次函数的顶点式即可求解.

【详解】解：抛物线y=2(x-1)2-5的顶点坐标是(1,-5).

故答案为(1,-5).

【点睛】

本题考查了顶点式对应的顶点坐标，顶点式的理解是解题的关键

15、4个小支干.

【分析】设每个支干长出x个小支干，根据主干、支干和小分支的总数是21,即可得出关于x的一元二次方程，解之

取其正值即可得出结论.

【详解】解：设每个支干长出x个小支干，

根据题意得：l+x+x=Zl，

解得：x,=一5(舍去)，x2=4.

故答案为4个小支干.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

16、1

【分析】由2b=上1，得a=3b,进而即可求解.

a3

【详解】•••b匕=：1,

a3

.\a=3b,

.a+b3b+b,

----二-----=4；

bb

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键.

17、1.

907CxX

【解析】试题分析：扇形的弧长是：-——=4^,设底面半径是乙则2万r=4»，解得r=2.故答案是：1.

180

考点：圆锥的计算.

18、30°

【分析】连接OE、OC,根据圆周角定理求出NEOC=60。，从而证得△EOC为等边三角形，再根据切线及等边三角

形的性质即可求出答案.

【详解】解：如图所示，连接OE、OC,

ACB

VZEDC=30°,

.•.ZEOC=2ZEDC=60°,

XVOE=OC,

△EOC为等边三角形，

.,.ZECO=60°,

•.•直线AB与圆O相切于点C,

.,.ZACO=90°,

:.ZECA=ZACO-ZECO=90°-60°=30°.

故答案为：30。.

【点睛】

本题考查了圆的基本性质、圆周角定理及切线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各性质判定定理是解题的

关键.

三、解答题（共78分）

3

19、（1）y=—；见详解；（2）另一个交点的坐标是（3,1）；见详解；（1）OvxWl或烂一L

X

【分析】（1）根据题意可直接求出反比例函数表达式；

（2）由（1）及一次函数表达式联立方程组求解即可；

（1）根据反比例函数与一次函数的不等关系可直接求得.

【详解】解：（1）设反比例函数表达式为y=A,由题意得：把A（—3,—1）代入得k=L

X

3

・••反比例函数的表达式为：y=—；

x

⑵由（1）得：把A（—3,—1）代入得k=l,，

13

-x=—,解得尤=±3，

3x

，另一个交点的坐标是（3,1）；

（1）因为反比例函数值不小于正比例函数值，

所以OvxWl或x<—1.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到两个函数表达式.

20、（1）年平均增长率为20%；（2）28800户

【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量x（1+增长率），今年年要投入资金是5（1+x）亿元，在今年的基础上再

增长x,就是明年的资金投入5（1+x）（1+x）,由此可列出方程5（1+x）2=7.2,求解即可；

（2）计算出2020年投入资金即可得解.

【详解】（1）解：设年平均增长率为x

5（1+x）2=7.2

解得xi=-2.2（舍去）,X2=0.2

.\x=0.2=20%

答：年平均增长率为20%；

（2）7.2x（1+20%）=8.64（亿元）=86400（万元），

86400+3=28800（户），

答：2020年能帮助28800户建设保障性住房.

【点睛】

本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量x（1+年平均增长率）年三增长后的量.

21、（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（-6,4）.

【解析】试题分析：（1）利用关于点对称的性质得出A，G的坐标进而得出答案；

（2）利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.

试题解析：（l）AAibG如图所示.

（2）A4232c2如图所示，点C2的坐标为（一6,4）.

22、（1）亚；（2）4

5

【分析】（D根据NACB=90。，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD,则NB=NBCD,再由AE_LCD,可证明

NB=NCAM,由AM=2CM,可得出CM：AC=1：6，即可得出sinB的值;

(2)根据sinB的值，可得出AC：AB=1：石，再由AB=2不，得AC=2,根据勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)•••NACB=90。，CO是斜边45的中线，

：.CD=BD,

:./B=4DCB,

,：AE1CD,

：.ZACD+ZCAM=90°.

■:NDCB+ZACD=90°,

：.NDCB=NCAM.

:.ZB=NC4M.

在Rt_ACM中，VAM=2CM,

:.AC=y/AM2+CM2=42cMy+CM。=亚CM.

..D_.7r,A,,CM_CM_1_V5

••sinB=sinNCAA/=------=-产----=-=—.

AC45cMV55

(2),:CD<,

二AB=2CD=2#).

由（1）知sinB=正，

5

2V5xy^=2.

AC=ABxsinB

•••BC=JAB?-AC?=Jo灼2_2?=4.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键.

兀]

23、(1)AP=2—\/2♦(2)S阴影二1+耳.

【分析】(1)先根据题意判断出AO'PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP

的长；

(2)由题意根据S阴影=5扇形OWP+S&O，PB，直接进行分析计算即可.

【详解】解:⑴连接o'p,

•.NOW=45°,O'P=O'B,

.•.AOT^是等腰直角三角形，

PB=丘BO，

：.AP=AB-BP=2-42•

阴影部分的面积为阴影扇形心+乃

(2)S=S0S&O,PB=；Xxa+lxlx；=?+；.

【点睛】

本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答.

24、(1)该商品连续两次下降的百分率为10%；(2)售价为43元时，可获最大利润1352元

【分析】(1)设每次降价的百分率为x,(l-x)2为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可;

(2)设每天要想获得S元的利润，则每件商品应降价m元，由销售问题的数量关系建立函数解析式，由二次函数性

质求出其解即可.

【详解】解：(1)设每次降价的百分率为x.

50x(1)2=40.5

X,=0.1,X2=1.9(不符合题意，舍去)

答：该商品连续两次下降的百分率为10%；

(2)设降价加元，利润为S元.

贝”=(50—30—加)(48+?16]

--8m2+112m+960

=—8(m—7)2+1352

=即售价为43元时，可获最大利润1352元

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解(D关键是根据题意找到等量关系，解(2)的关键是解决销量

与价格变化关系，列出函数解析式，解答即可.

25、(1)点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为(4,0).(2)随；-；275.(3)①当点C'在线段BC

55

上时，S=^t2；②当点c'在CB的延长线上，S=-Ut2+生叵t—型；③当点E在x轴负半轴，S=t2-4逐t+1.

41233

【分析】(D根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当1=石时，点C'与点B重合，通过三角形的面

积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC=OE+EC可得出OC的长度，即得出C点的坐

标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD=/BC,结合速度=路程小时间即可得出结论；

(2)结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t=k时，点D与点B重合，当t=m

时，点E和点O重合”，结合NC的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得

出n的值；

(3)随着D点的运动，按与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面

积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积=SACDE-SABC，F,通过解直角三角形得出两

个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的

值，结合三角形的面积公式即可得出结论.

【详解】(1)令x=0,则y=2,即点B坐标为(0,2),

/.OB=2.

当1=6时，B和C'点重合，如图1所示,

5

.\CE=-

2

石+逐=1（单位长度/秒）,

...点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4,0）.

故答案为：1单位长度/秒；（4,0）；

（2）根据图象可知：

当t=k时，点D与点B重合，

此时k=----=2^/5;

当t=m时，点E和点O重合，如图2所示.

CD_875n—1RD.cn—1x(2氏8右4石_4

1522〜555

故答案为：;2石.

53

(3)随着D点的运动，按△»£(：'与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑:

①当点C'在线段BC上时，如图3所示.

此时CD=t,CC'=2t,0（CC'WBC,

.♦.OVW君.

OB1

VtanZC=—=一

OC2

.,.DE=CD«tanZC=—t,

2

此时S=—CD・DE=-12

24

②当点O在CB的延长线上，点E在线段OC上时，如图4所示.

ZCD亚亚

此时CD=t,BC=2t-2y/5,DE=CD»tanZC=^t,CE=---------=*t,OE=OC-CE=4-2L£

cosZ.C22

2t>245

COBC

,即《&4

CE<OC

[2

解得：