2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AD1→ B．AC1→2．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）直线x+y＝0的倾斜角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°4．（5分）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+3＝0 D．x+y+3＝0或2x+y＝05．（5分）双曲线3x2﹣y2＝9的焦距为（）A．6 B．26 C．23 D．436．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2-yA．12 B．32 C．1 7．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a3＝4，a4+a5＝6，则a9+a10＝（）A．9 B．10 C．11 D．128．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1且a1a2a3＝﹣8，则S5A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）若直线l的方向向量为a→=（1，0，2），平面α的法向量为A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交10．（5分）把圆x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的半径减小一个单位长度正好与直线3x﹣4y﹣4＝0相切，则正实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1（多选）11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1（m，n∈R），则（）A．当mn＞0时，方程表示椭圆 B．当mn＜0时，方程表示双曲线 C．当m＝0时，方程表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线（多选）12．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an﹣1，数列{2nan⋅an+1}的前n项和为A．数列{an﹣1}是等比数列 B．数列{an}是等比数列 C．数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1+1 D．Tn≥2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为．14．（5分）已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为15．（5分）以双曲线x24-16．（5分）已知数列an=n-1，n为奇数，n，n为偶数，其前n项和为Sn，则S四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a→=AB→，b→=AD→，c→=AM→18．（12分）已知正方形的中心为直线x﹣y+1＝0和2x+y+2＝0的交点，正方形一条边所在直线的方程为x+3y﹣2＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．19．（12分）已知P是直线l：3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A、B是切点．（1）求四边形PACB面积的最小值；（2）直线l上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．21．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且a2，a7，a22成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=4(an-1)(an+3)，且数列{bn}的前n22．（12分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2为左、右焦点，（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x＝4相交于点N．试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．

2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AD1→ B．AC1→【解答】解：AB→故选：B．2．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线∵|AD|=(3-2故选：B．3．（5分）直线x+y＝0的倾斜角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°【解答】解：∵直线x+y＝0的斜率为﹣1，设直线x+y＝0的倾斜角为α，又0≤α＜180°，∴α＝135°．故选：D．4．（5分）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+3＝0 D．x+y+3＝0或2x+y＝0【解答】解：当直线过原点时，方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k＝﹣3，故直线方程是x+y+3＝0．综上，所求的直线方程为x+y+3＝0或2x+y＝0，故选：D．5．（5分）双曲线3x2﹣y2＝9的焦距为（）A．6 B．26 C．23 D．43【解答】解：双曲线3x2﹣y2＝9的实半轴a=3，虚半轴b则c=9+3=2双曲线x2﹣3y2＝9的焦距为：43．故选：D．6．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2-yA．12 B．32 C．1 【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x∴2p＝4，可得p2=1，抛物线的焦点又∵双曲线的方程为x∴a2＝1且b2＝3，可得a＝1且b=3双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3化成一般式得：3x±y=0因此，抛物线y2＝4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=故选：B．7．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a3＝4，a4+a5＝6，则a9+a10＝（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a3＝（a1+d）+（a1+2d）＝2a1+3d＝4①，a4+a5＝（a1+3d）+（a1+4d）＝2a1+7d＝6②，∴②﹣①得：4d＝2，解得：d=1把d=12代入①，解得：a1则a9+a10＝（a1+8d）+（a1+9d）＝2a1+17d＝2×54+故选：C．8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1且a1a2a3＝﹣8，则S5A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11【解答】解：因为等比数列{an}中，a1＝1且a1a2a3=a所以a2＝﹣2，q＝﹣2，则S5故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）若直线l的方向向量为a→=（1，0，2），平面α的法向量为A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交【解答】解：由于直线l的方向向量为a→=（1，0，2），平面α的法向量为所以n→故n→∥a→，即由于直线n是平面α的法向量，所以n⊥α，由于n∥l，所以l⊥α，所以l与平面α相交．故选：BD．10．（5分）把圆x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的半径减小一个单位长度正好与直线3x﹣4y﹣4＝0相切，则正实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的圆心（﹣1，2），半径r=1圆心（﹣1，2）到直线3x﹣4y﹣4＝0距离为：d=|-3-8-4|∵圆x2+y2+2x﹣4y﹣a2﹣2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x﹣4y﹣4＝0相切，∴7+a解得a＝±3，又a＞0，∴a＝3．故选：B．（多选）11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1（m，n∈R），则（）A．当mn＞0时，方程表示椭圆 B．当mn＜0时，方程表示双曲线 C．当m＝0时，方程表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线【解答】解：对于A，mn＞0时，若m＞0且n＞0，则方程mx2+ny2＝1表示圆或椭圆；若m＜0且n＜0，则方程mx2+ny2＝1不表示任何图形；所以A错误．对于B，mn＜0时，若m＞0且n＜0，则方程mx2+ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线；若m＜0且n＞0，则方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的双曲线；所以B正确．对于C，m＝0时，若n＞0，则方程mx2+ny2＝1表示两条曲线；若n≤0，则方程mx2+ny2＝1不表示任何图形；所以C错误．对于D，无论m、n取何值时，方程mx2+ny2＝1都不可能为x或y的一次解析式，所以方程mx2+ny2＝1不可能表示抛物线；所以D正确．故选：BD．（多选）12．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an﹣1，数列{2nan⋅an+1}的前n项和为A．数列{an﹣1}是等比数列 B．数列{an}是等比数列 C．数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1+1 D．Tn≥2【解答】解：因为Sn+1＝Sn+2an﹣1，所以当n＝1时，S2＝S1+2a1﹣1，所以a2＝1，Sn+1﹣Sn＝2an﹣1，即an+1＝2an﹣1，即an+1﹣1＝2（an﹣1），因为a1＝1，所以a1﹣1＝0，所以an＝1，所以数列{an}是等比数列也是等差数列，所以数列{an﹣1}是等差数列，故A不正确，B正确，C不正确；于是2nanan+1故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55【解答】解：不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2．可得O（0，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，1），∴BC1→∴cos＜BC1∴BC1→与AB1→的夹角即为直线∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为5514．（5分）已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为x﹣6y+6＝0或x﹣6y﹣6＝0【解答】解：根据题意，设直线l的方程为xa所以12|ab|＝3，且-ba=1所以直线l的方程为x-6+y＝1或x6-y＝1，即x﹣6y+6＝0或故答案为：x﹣6y+6＝0或x﹣6y﹣6＝0．15．（5分）以双曲线x24-y2【解答】解：双曲线x2∴椭圆的焦点坐标是（2，0）和（﹣2，0），顶点为（﹣4，0）和（4，0）．∴椭圆方程为x2故答案为：x216．（5分）已知数列an=n-1，n为奇数，n，n为偶数，其前n项和为Sn，则S【解答】解：因为an=所以S100＝a1+a2+a3+…+a99+a100＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a98+a100）＝（0+2+4+…+98）+（2+4+6+…+100）＝5000．故答案为：5000．四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a→=AB→，b→=AD→，c→=AM→【解答】解：∵N是CM的中点，设a→=AB→，b→底面ABCD是边长为2的正方形，∴BN=1=-1∵在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，∴|a→|＝|b→|＝2，|c→a→⋅c∴BN→2=（＝1+1+9∴|BN→|=172，即BN18．（12分）已知正方形的中心为直线x﹣y+1＝0和2x+y+2＝0的交点，正方形一条边所在直线的方程为x+3y﹣2＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．【解答】解：联立x-y+1=02x+y+2=0，解得x=-1y=0，可得正方形的中心为设正方形相邻两边的方程为：x+3y+m＝0（m≠﹣2），3x﹣y+n＝0，由正方形的性质可得：|-1+m|10=|-1-2|10=∴正方形其他三边所在直线的方程为：x+3y+4＝0，3x﹣y＝0，3x﹣y+6＝0．19．（12分）已知P是直线l：3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A、B是切点．（1）求四边形PACB面积的最小值；（2）直线l上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆．由于四边形PACB面积等于2×12PA×AC＝PA，而PA故当PC最小时，四边形PACB面积最小．又PC的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+8＝0的距离d，而d=|3+4+8|故四边形PACB面积的最小的最小值为9-1=22（2）假设存在一点使∠BPA＝60°，此时∠CPA＝30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，因此该点不存在．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得VA设A到平面A1BC的距离为d，由VA∴13S△A1BC•d=43，∴13（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×2AB×12=22，又12AB×BC×AA1＝4，解得AB＝则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则BA→=（0，2，0），BD→设平面ABD的一个法向量为n→=（x，y，则n→⋅BA→=2y=0n→∴平面ABD的一个法向量为n→设平面BCD的一个法向量为m→=（a，b，m→⋅BC→=2a=0m→平面BCD的一个法向量为m→cos＜n→，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为1-(121．（12分）已知公差不为