2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．（5分）如图，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→-C．23a→2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣83．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD=52A．30° B．45° C．90° D．150°4．（5分）已知方程x25-m+y2A．4 B．5 C．7 D．85．（5分）若数列{2an+1}是等差数列，a1＝l，a3=-1A．-79 B．79 C．36．（5分）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．107．（5分）已知f(x)=exx，若f'(xA．12 B．2 C．1e 8．（5分）设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1＝a，（19＜a＜217），an+1=aA．0＜S5＜12 B．12＜S5＜1 C．1＜S5＜32二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（3，1），直线l经过点C（1，3）且与线段AB相交，则直线l与圆（x﹣6）2+y2＝2的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不好确定（多选）10．（5分）已知动点P在左、右焦点分别为F1、F2的双曲线C：xA．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，|PF1|C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为y=±（多选）11．（5分）已知函数f（x）=13x3﹣4A．f（x）在（0，+∞）上单调递增 B．x＝﹣2是f（x）的极大值点 C．f（x）有三个零点 D．f（x）在[0，3]上的最大值是4（多选）12．（5分）等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（）A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列 B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立 C．数列{an}是递增数列 D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知空间向量a→=（λ+1，1，λ），b→=（6，μ﹣1，4），若a→∥b14．（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=34，a5+a6＝12，则S4＝15．（5分）若曲线y＝lnx在点P（e，1）处的切线也是曲线y＝eax的一条切线，则a＝．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点P为底面ABCD上一点则PA→•PC1四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．18．（12分）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，BC=2，M为BC（Ⅰ）求证：PB⊥AM；（Ⅱ）求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．20．（12分）已知等差数列{an}的公差d＝2，且a1+a3＝8，数列{bn}是首项为12的等比数列，且满足b1，2b2，4b3（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn=12anbn21．（12分）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点，若存在实数λ，使得OP→=122．（12分）已知函数f（x）＝lnx-12mx﹣1，m∈（1）若该函数在x＝1处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，求m的值；（2）若函数g（x）＝xf（x）在其定义域上有两个极值点x1，x2．①求m的取值范围；②证明：x1x2＞e2．

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题(本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．（5分）如图，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→-C．23a→【解答】解：∵M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，且OA→∴MA→=1∴MN→故选：D．2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0即（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣a，故弦心距d=|-1+1+2|再由弦长公式可得2﹣a＝2+4，∴a＝﹣4，故选：B．3．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD=52A．30° B．45° C．90° D．150°【解答】解：设这个二面角的度数为α，由题意得CD→∴CD→2=CA→2+AB→∴（52）2＝25+9+16﹣2×3×4×cosα，解得cosα＝0，∴α＝90°．∴这个二面角的度数为90°．故选：C．4．（5分）已知方程x25-m+y2A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：方程x25-m+∴m﹣2＞5﹣m＞0并且m﹣2﹣5+m＝1，解得m＝4，故选：A．5．（5分）若数列{2an+1}是等差数列，a1＝l，a3=-1A．-79 B．79 C．3【解答】解：数列{2a设其公差为d，则2d=2∴2a5+1=2a3故选：D．6．（5分）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上，则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：圆：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4的圆心为C（6，2），半径为2，过点C作抛物线y2＝16x准线x＝﹣4的垂线，垂足为N，如图所示：由抛物线的定义可知：|PF|＝|PN|，当P、A、N经过圆C的圆心时，|PA|+|PF|取得最小值，圆心（6，2），半径为2，∴|PA|+|PF|最小值为：10﹣2＝8．故选：C．7．（5分）已知f(x)=exx，若f'(xA．12 B．2 C．1e 【解答】解：f'(x)=e∴f'(x∴x0＝2．故选：B．8．（5分）设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1＝a，（19＜a＜217），an+1=aA．0＜S5＜12 B．12＜S5＜1 C．1＜S5＜32【解答】解：∵an+1=a∴1an+1=an2-∴1a2-1a1=a1﹣1，1a3-1a2=a将以上各式相加得1a6-∵a6=15，a1＝a（∴S5=1a6∴﹣9＜-1∴1＜S5＜3故选：C．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（3，1），直线l经过点C（1，3）且与线段AB相交，则直线l与圆（x﹣6）2+y2＝2的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不好确定【解答】解：直线AC的斜率为kAC=3-11-(-1)=1，k∴直线l经过点C（1，3）且与线段AB相交，∴直线l的斜率的范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），直线BC的方程为y﹣3＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣4＝0，由圆（x﹣6）2+y2＝2，可得圆心D（6，0），r=2圆心D的直线BC的方程的距离为d=|6-4|2故直线l与圆相切或相离．故选：BC．（多选）10．（5分）已知动点P在左、右焦点分别为F1、F2的双曲线C：xA．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，|PF1|C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为y=±【解答】解：由双曲线x2-y23=1，得a2∴双曲线C的离心率为e=ca=当P在双曲线左支时，|PF1|≥c﹣a＝1，|PF2|＝2a+|PF1|＝|PF1|+2，|PF当且仅当|PF1|＝2时等号成立，∴|PF1||PF设P（x0，y0），则x02-y0则点P到两条渐近线的距离乘积为|x0-双曲线的渐近线方程为y=±3x，故故选：AC．（多选）11．（5分）已知函数f（x）=13x3﹣4A．f（x）在（0，+∞）上单调递增 B．x＝﹣2是f（x）的极大值点 C．f（x）有三个零点 D．f（x）在[0，3]上的最大值是4【解答】解：f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝2，f′（x）与f（x）随x的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗因此函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，故A错误；x＝﹣2是f（x）的极大值点，故B正确；因为f（﹣6）＝﹣44＜0，f（﹣2）=283＞0，f（2）=-由函数的单调性及零点存在性定理可知f（x）有三个零点，故C正确；当f（x）的定义域为[0，3]时，f（x）在[0，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增，又f（0）＝4，f（3）＝1，所以f（x）在[0，3]上的最大值是4，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（）A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列 B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立 C．数列{an}是递增数列 D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列【解答】解：由a2(m+1)a2m=q由a1＜0，公比0＜q＜1，可知an＜0，∴当n＞2，n∈N*时，Sn＝a1+a2+•••+an＜an+a1恒成立，∴B对；由a1＜0，公比0＜q＜1，可知数列{an}是递增数列，∴C对；∵﹣an与1无法比较大小，∴数列{lg（﹣an）}是首项无法和0比较，∴D错．故选：ABC．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知空间向量a→=（λ+1，1，λ），b→=（6，μ﹣1，4），若a→∥b【解答】解：空间向量a→=（λ+1，1，λ），b→=（6，则a→=xb→，x即λ+1=6x1=x(μ-1)λ=4x，解得λ＝2，所以λ+μ＝5．故答案：5．14．（5分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2=34，a5+a6＝12，则S4＝15【解答】解：因为各项均为正数的等比数列{an}中，S2＝a1+a2=34，a5+a6＝（a1+a2）q所以q4＝16，所以q＝2，a1=1则S4=a故答案为：15415．（5分）若曲线y＝lnx在点P（e，1）处的切线也是曲线y＝eax的一条切线，则a＝e﹣2．【解答】解：由y＝lnx，得y′=1x，∴∴曲线y＝lnx在点P（e，1）处的切线方程为y=1e(x-e)+1，即设y=1ex与y＝eax相切于点（由y＝eax，得y′＝aeax，∴aeax0=1解得x0=e2，∴a故答案为：e﹣2．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点P为底面ABCD上一点则PA→•PC1【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点P为底面ABCD上一点，则PA→•PC1→=PA≥﹣|PA→||PC→|当且仅当PA→与PC→反向，且|PA→|＝|PC故答案为：﹣2．四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k=3-1∴所求直线的方程为y﹣1=12（即直线l的方程为x﹣2y＝0．（5分）（2）由（1）知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），（6分）∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x＝2上，∴a＝1，（9分）∴圆心坐标为（2，1），半径r＝1，（11分）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．（12分）18．（12分）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？【解答】解：（1）由题意，2(m-3)(m+2)-2m(得(m-3)(m-2)(m+1)=0(m-2)2≠0，解得故当m＝3或m＝﹣1时，直线l1和l2平行．（2）由题意，2(m-3)(m+2)-2m(得(m-3)(m-2)(m+1)=0(m-2)2当m＝2时，直线l1和l2重合．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，BC=2，M为BC（Ⅰ）求证：PB⊥AM；（Ⅱ）求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AM交BD于点O，BD→∴BD→∴BD⊥AM，又PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又BD∩PD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，∴AM⊥PB；（Ⅱ）依题意，S△PCD=12×1×1=∴在△PAM中，由余弦定理可得，cos∠PMA=P∴sin∠PMA=1-(∴S△PAM设平面PAM与平面PDC所成的锐二面角为θ，则cosθ=S故平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值为14720．（12分）已知等差数列{an}的公差d＝2，且a1+a3＝8，数列{bn}是首项为12的等比数列，且满足b1，2b2，4b3（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn=12anbn【解答】解：（1）因为d＝2，a1+a3＝8，所以2a1+4＝8，解得a1＝2，所以an＝2+2（n﹣1）＝2n，因为{bn}为等比数列，b1=12，且b1，2b2所以4b2＝b1+4b3，设公比为q，则4q2﹣4q+1＝0，所以q=1所以bn所以an＝2n，bn证明：（2）由（1）得cn所以Tn=1×12T①﹣②得：12所以Tn21．（12分）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A、B两个不同的点，若存在实数λ，使得OP→=1【解答】解：（1）由题意可得F1（0，c），则c2a2+x∴△MNF2的面积S=12×2b2∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴a＝2b，②，∵a2＝b2+c2，③，由①②③解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程x2+y（2）当m＝0时，则P（0，0），由椭圆的对称