2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个诜项中，只有一项是特合题目要求的.1．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（14，0） C．（0，14） D．（0，2．（5分）直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，则a＝﹣2是l1∥l2的（）条件．A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要3．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a2+7a1，则公比q为（）A．2或﹣3 B．3 C．2 D．﹣34．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4+a7＝22，则S19＝（）A．380 B．200 C．190 D．1005．（5分）若双曲线y2a2-xA．y26-xC．y23-6．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的正方体的底面面积）为（）A．127 B．1272 C．143 7．（5分）已知椭圆C：x28+y22=1和点P（2，﹣1），直线l与椭圆C交于A．2x-y-52=0 B．2x+y-32=0 C．x﹣2y﹣2＝08．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，直线l过坐标原点并与双曲线交于P，Q两点（P在第一象限），过点P作l的垂线与双曲线交于另一个点A，直线A．1 B．22 C．2 D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，则下列命题正确的有（）A．S7是数列{Sn}中的最大项 B．a7是数列{an}中的最大项 C．S14＝0 D．满足Sn＞0的n的最大值为13（多选）10．（5分）设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（）A．|PA|的取值范围为[1，+∞） B．四边形PACB面积的最大值为3 C．满足∠APB＝60°的点P有两个 D．△CAB的面积最大值为3（多选）11．（5分）数列{an}满足an+2＝Aan+1+Ban（A，B为非零常数），则下列说法正确的有（）A．若A＝1，B＝﹣1，则数列{an}是周期为6的数列 B．对任意的非零常数A，B，数列{an}不可能为等差数列 C．若A＝3，B＝﹣2，则数列{an+1﹣an}是等比数列 D．若正数A，B满足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，则数列{a2n}为递增数列（多选）12．（5分）已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，直线AB，CD过焦点F分别交抛物线E于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中A，C位于x轴上方，且直线BC经过点(14，0)，记BC，AD的斜率分别为kBC，A．y1y2＝﹣1 B．y2C．y1y4＝﹣2 D．k三、填空题：本题共4小题，每小鿒5分，共20分.13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0与圆C2：x2+y2+2ky﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为．14．（5分）已知抛物线E：y2＝4x，直线l：y＝2（x﹣1）与E相交于A，B两点，若E的准线上一点M满足∠AMB＝90°，则M的坐标为．15．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|16．（5分）已知数列{an}满足a1=1，{1nan}为公差为1的等差数列，若不等式2n-λ(4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㶹.17．（10分）已知圆C的圆心坐标为（1，2），且圆C与直线l：x﹣2y﹣7＝0相切，过点A（3，0）的动直线m与圆C相交于M，N两点，点P为MN的中点．（1）求圆C的标准方程；（2）求|OP18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a4＝b1＝8，a2＝b3，S3＝6（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求Sn的最大值和最小值．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1．（1）求证：EC⊥平面ADF（2）在线段EC上是否存在点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为45°，若存在，指出G点的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1．（1）求证：数列{an+1}为等比数列；（2）若bn=an+1anan+121．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴，点Q（m，2）抛物线上，Q到抛物线的准线的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）动点P在抛物线的准线上，过点P作抛物线C的两条切线分别交y轴于A，B两点，当△PAB面积为2时，求点P的坐标．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为3（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C外一点P（2，2）任作一条直线与椭圆交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足2|PA||PB|＝|PQ||PA|+|PQ||PB|，证明：点Q必在某确定直线上．

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个诜项中，只有一项是特合题目要求的.1．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（14，0） C．（0，14） D．（0，【解答】解：整理抛物线方程得x2=1∴焦点在y轴，p=∴焦点坐标为（0，18故选：D．2．（5分）直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，则a＝﹣2是l1∥l2的（）条件．A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要【解答】解：直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，l1∥l2，则﹣a2＝a﹣2，即a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2或a＝1，当a＝﹣2时，直线l1，l2不重合，符合题意，当a＝1时，直线l1，l2重合，不符合题意，故a＝﹣2，所以a＝﹣2是l1∥l2的充要条件．故选：C．3．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a2+7a1，则公比q为（）A．2或﹣3 B．3 C．2 D．﹣3【解答】解：∵S3＝2a2+7a1，∴a1+a1q+a1q∵a1≠0，∴q2﹣q﹣6＝0，即（q﹣3）（q+2）＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），∴q＝3．故选：B．4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a4+a7＝22，则S19＝（）A．380 B．200 C．190 D．100【解答】解：a1＝2，则a1+a10＝a4+a7＝22，解得a10＝20，故S19故选：A．5．（5分）若双曲线y2a2-xA．y26-xC．y23-【解答】解：已知双曲线y2a2则a=3t，b＝2t，（又双曲线过点(2则93则t2＝1，则t＝1，则双曲线的标准方程为y2故选：C．6．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的正方体的底面面积）为（）A．127 B．1272 C．143 【解答】解：最底层正方体的棱长为4，则该正方体的表面积为6×42＝96；自下向上第二层正方体的棱长为22，它的侧面积为4×(22自下向上第三层正方体的棱长为2，它的侧面积为4×22＝16；自下向上第四层正方体的棱长为2，它的侧面积为4×(2自下向上第五层正方体的棱长为1，它的侧面积为4×12＝4；自下向上第五层正方体的棱长为22，它的侧面积为4×（22）最上层正方体的棱长为12，它的侧面积为4×（12）∴该塔形几何体的表面积为S＝96+32+16+8+4+2+1＝159．故选：D．7．（5分）已知椭圆C：x28+y22=1和点P（2，﹣1），直线l与椭圆C交于A．2x-y-52=0 B．2x+y-32=0 C．x﹣2y﹣2＝0【解答】解：由题意可得OP的中点（1，-1设A（x1，y1），B（x2，y2），由四边形OAPB为平行四边形可得AB的中点（1，-12），即x1将A，B的坐标代入椭圆的方程可得x128整理可得：y1-y2x即直线l的斜率为12示意图直线l的方程为y+12=12（x故选：C．8．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，直线l过坐标原点并与双曲线交于P，Q两点（P在第一象限），过点P作l的垂线与双曲线交于另一个点A，直线A．1 B．22 C．2 D．【解答】解：已知点B的横生标为点Q横坐标的两倍，则|QO|＝|QB|，即∠OBQ＝∠BOQ，则kPQ+kAQ＝0，设P（x，y），Q（﹣x，﹣y），A（m，n），则yx+又AP⊥PQ，则yx×由①②可得y2﹣n2＝x2﹣m2，又x2a2则x2则a2＝b2，则e2即双曲线的离心率为2，故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，则下列命题正确的有（）A．S7是数列{Sn}中的最大项 B．a7是数列{an}中的最大项 C．S14＝0 D．满足Sn＞0的n的最大值为13【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差d≠0，且S5＝S9，∴5a1+10d＝9a1+36d，整理得a1=-132∴an＝a1+（n﹣1）d=-132d+nd﹣d＝（n-∵d＜0，∴a7＞0，a8＜0，∴S7是数列{Sn}中的最大项，故A正确；∵d＜0，a7＞0，∴a1是数列{an}中的最大项，故B错误；S14＝14a1+14×132d=14×（-132d）∵S14＝0，d＜0，a7＞0，a8＜0，∴满足Sn＞0的n的最大值为13，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）设圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，直线l：3x+4y+3＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（）A．|PA|的取值范围为[1，+∞） B．四边形PACB面积的最大值为3 C．满足∠APB＝60°的点P有两个 D．△CAB的面积最大值为3【解答】解：圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3＝0的距离d=|3+4+3|所以|PC|≥d＝2，因为圆的半径为r=3根据切线长公式可得|PA|=|PC当PC⊥l时取得等号，所以|PA|的取值范围为[1，+∞），故A正确；因为PA⊥AC，所以四边形PACB的面积等于2×S△PAC＝|PA|×|AC|=3|PA|≥四边形PACB的最小值为3，故B错误；因为∠APB＝60°，所以∠APC＝30°，在直角三角形APC中，|AC||CP|=sin30°=12，所以|设P（a，-3a+34），因为|CP|=(a-1整理得25a2+10a﹣127＝0，则有Δ＝100+12700＞0，所以满足条件的点P有两个，故C正确；因为S△CAB=12|CA||CB|sin∠ACB=3所以当sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，面积有最大值为32此时四边形PACB为正方形，则|PC|=3+3=6故选：AC．（多选）11．（5分）数列{an}满足an+2＝Aan+1+Ban（A，B为非零常数），则下列说法正确的有（）A．若A＝1，B＝﹣1，则数列{an}是周期为6的数列 B．对任意的非零常数A，B，数列{an}不可能为等差数列 C．若A＝3，B＝﹣2，则数列{an+1﹣an}是等比数列 D．若正数A，B满足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，则数列{a2n}为递增数列【解答】解：对于A，因为A＝1，B＝﹣1，所以an+2＝an+1﹣an，n∈N*，所以an+3＝an+2﹣an+1＝an+1﹣an﹣an+1，n∈N*，所以an+6＝a（n+3）+3＝﹣an+3＝an，n∈N*，所以数列{an}是周期为6的数列，故正确；对于B，当A＝2，B＝﹣1时，则有an+2＝2an+1﹣an，n∈N*，即有an+1=an+2+an由等差中项的性质可知{an}为等差数列，故错误；对于C，当A＝3，B＝﹣2时，an+2＝3an+1﹣2an，n∈N*，即有an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），n∈N*，当an+1﹣an≠0时，数列{an+1﹣an}是以2为公比的等比数列，故错误；对于D，因为正数A，B满足A+1＝B，a1＝0，a2＝B，所以A＝B﹣1＞0，则B＞1，所以an+2＝Aan+1+Ban＝（B﹣1）an+1+Ban，n∈N*，所以an+2+an+1＝B（an+1+an），n∈N*，设数列前n项和为Sn，则有S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝（a1+a2）[1+B2+B4+…+B2（n﹣1）]＝B•1-B2n1-B2所以S2n﹣1＝B•1-B2n-11-B2所以a2n＝S2n﹣S2n﹣1=B2n-B2n+1所以a2（n+1）=B2(n+1)(1-B)1-B所以a2（n+1）﹣a2n=B2(n+1)(1-B)1-B2-B2n(1-B)1-B2=B2n(1-B)1-故选：AD．（多选）12．（5分）已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，直线AB，CD过焦点F分别交抛物线E于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中A，C位于x轴上方，且直线BC经过点(14，0)，记BC，AD的斜率分别为kBC，A．y1y2＝﹣1 B．y2C．y1y4＝﹣2 D．k【解答】解：由抛物线E：y2＝2x可得，抛物线的焦点F(1设直线AB的方程为x=ty+1联立x=ty+12y2=2x，整理可得：所以y1y2＝﹣1，故选项A正确；同理可得：y3y4＝﹣1，由直线BC经过点(14，0)则NC→而NC→=(x则(y整理可得：y2也即(y因为y2≠y3，所以y2又y1y2＝﹣1，y3y4＝﹣1，所以y1y4＝﹣2，故选项C正确；y2y4因为kBC=y则kBCkAD故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小鿒5分，共20分.13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0与圆C2：x2+y2+2ky﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（2，﹣1）．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣kx+2y+1＝0与圆C2：x2+y2+2ky﹣1＝0，联立两圆方程可得：2ky﹣1+kx﹣2y﹣1＝0，变形可得k（2y+x）﹣2（y+1）＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为k（2y+x）﹣2（y+1）＝0，则有2y+x=0y+1=0，即x=2y=-1，故两圆的公共弦所在直线恒过点故答案为：（2，﹣1）．14．（5分）已知抛物线E：y2＝4x，直线l：y＝2（x﹣1）与E相交于A，B两点，若E的准线上一点M满足∠AMB＝90°，则M的坐标为（﹣1，1）．【解答】解：由抛物线E：y2＝4x的方程可知，准线方程为x＝﹣1，因为M在准线上，设M（﹣1，y），则MA→由∠AMB＝90°，则MA→所以xA联立y2=4xy=2(x-1)，消去y整理得x2则xA+xB＝3，xAxB＝1，所以yA+yB＝2（xA+xB﹣2）＝2，yAyB＝4（xAxB﹣xA﹣xB+1）＝﹣4，综上，y2﹣2y+1＝0，则y＝1，故M（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．15．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，离心率为e，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若|MF||【解答】解：已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为设双曲线C：x2a2由双曲线的性质可得：四边形MF1NF为平行四边形，又∠MFN＝60°，则∠F1MF＝120°，在△MFF1中，由余弦定理可得4c又||MF1|﹣|MF||＝2a，|MF||MF1|＝4，则4c2＝4a2+12，即c2＝a2+3，则e2当且仅当3a则e2+a故答案为：1+316．（5分）已知数列{an}满足a1=1，{1nan}为公差为1的等差数列，若不等式2n-λ(4an【解答】解：由题意，可知11⋅则1nan=1+1•（故an=1n2，n∴对任意的n∈N*，不等式2n-λ(4an-1)≥0即为2化简，得2n﹣λ（4n﹣1）≥0，整理，得λ≤2n4n-1，n构造数列{bn}：令bn=2n4n-1，则bn∵bn+1﹣bn=2∴当n∈N*时，4n﹣1≥4×1﹣1＝3＞0，4n+3＞0，2n＞0，则当4n﹣5＜0，即n＜54时，bn+1＜b当4n﹣5＞0，即n＞54时，bn+1＞b∴b1＞b2＜b3＜b4＜•••∴当n＝2时，数列{bn}取得最小值b2=2∴λ≤{bn}min＝b2=4故实数λ的取值范围为：（﹣∞，47故答案为：（﹣∞，47四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㶹.17．（10分）已知圆C的圆心坐标为（1，2），且圆C与直线l：x﹣2y﹣7＝0相切，过点A（3，0）的动直线m与圆C相交于M，N两点，点P为MN的中点．（1）求圆C的标准方程；（2）求|OP【解答】解：（1）由题意知点C到直线l的距离为d=|1×1-2×2-7|12+(-2)∴圆C的半径为25，则圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝20；（2）依题意作出图形如图所示，∵P为弦MN的中点，由垂径定理知：CP⊥MN，又MN过定点A，∴点P的轨迹为以CA为直径的圆，圆心为A，C的中点（2，1），半径为12|CA|=∴|OP→||OP→|18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a4＝b1＝8，a2＝b3，S3＝6（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求Sn的最大值和最小值．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1+3d=ban＝﹣1+3（n﹣1）＝3n﹣4，bn＝8•(-1（2）Sn当n＝1时，Sn有最大值为8，当n＝2时，Sn有最小值为4．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1．（1）求证：EC⊥平面ADF（2）在线段EC上是否存在点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为45°，若存在，指出G点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1），F（1，1，1），∴EC→=（0，1，﹣1），DA→∵EC→⋅DA→=0，EC→⋅DF→∵DA∩DF＝D，∴EC⊥平面ADF．（2）设EG→=λEC→（0＜λ＜1），则G（0，λ，1﹣λ），DG设平面GBD的法向量为n→=（m，n，则n→⋅DG→=nλ+t(1-λ)=0n→⋅DB→=m+n=0，令n∵平面GBD与平面ADF的夹角为45°，且平面ADF的法向量为EC→∴cos45°=|∵0＜λ＜1，∴解得λ=1∴存在点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为45°，G为线段EC上靠近E的三等分点．20．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1．（1）求证：数列{an+1}为等比数列；（2）若bn=an+1anan+1【解答】解：（1）证明：由a1＝1，3an﹣2Sn＝2n﹣1，可得n≥2时，3an﹣1﹣2Sn﹣1＝2n﹣3，上面两式相减可得3an﹣3an﹣1﹣2Sn+2Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n+3，化为an﹣3an﹣1＝2，可得an+1＝3（an﹣1+1），则数列{an+1}首项为2，公比为3的等比数列；（2）bn=a所以Tn=12（1-15+1