4.2.1等差数列的概念（七大考点）（原卷版）

等差数列的概念1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义；2.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算；3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.一、等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为二、等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1） （2）.（3）,且.2.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有考点01等差数列的判断1．在数列中，，，，则的值为（

）A．23 B．17 C．19 D．212．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（

）A．若，则数列是递减数列B．若，则数列是递增数列C．若，则数列是公差为d的等差数列D．若，则数列是公差为的等差数列3．判断下列数列是否为等差数列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．4．已知等差数列的首项为，公差为d，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，其中为数列的第几项？5．已知数列的通项公式为，其中p，q为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？6．数列满足，是常数．(1)当时，求及的值；(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；考点02等差数列基本量运算7．已知等差数列中，，，则公差（

）A． B．2 C．3 D．8．若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．等差数列中，若，则的值为（

）A．36 B．24 C．18 D．910．在等差数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.11．（多选）若正项数列是等差数列，且，则（

）A．当时， B．的取值范围是C．当为整数时，的最大值为29 D．公差的取值范围是考点03等差中项及应用12．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（

）A．0 B． C．1 D．213．一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是.14．任意，有，若，则．15．在等差数列中，若，，则数列的通项公式为．16．分别求下题中两数的等差中项：(1)与；(2)与．17．有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是.考点04等差数列中的对称设元18．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（

）A． B． C．1 D．219．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（

）A．14 B．13 C．或14 D．或1320．（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.21．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．22．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．考点05等差数列的性质23．在等差数列中，若，则（

）A．12 B．18 C．6 D．924．已知数列为等差数列，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件25．斐波那契数列以如下递归的方法定义:，若斐波那契数列对任意，存在常数，使得成等差数列，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．26．已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（

）A． B． C． D．27．在等差数列中，，，，则．28．已知函数，设数列的通项公式为，则.考点06等差数列的证明29．已知各项均不为0的数列满足，且，则．30．数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.31．已知满足，且.(1)求；(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.32．已知数列满足，且.(1)求；(2)证明：数列是等差数列，并求.33．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．求证：为等差数列；34．已知数列的前项和为．证明：数列是等差数列；考点07等差数列与数学文化35．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，小寒、雨水、清明日影长之和为尺，则谷雨日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺36．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（

）A． B．20 C． D．37．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤38．诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为．39．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，...，设第层有个球，则.40．诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.基础过关练1．若数列是等差数列，且，则（

）A． B． C． D．2．已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．3．已知是等差数列，数列是递增数列，则（

）A． B．C． D．4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（

）A．戊戌年 B．辛丑年 C．己亥年 D．庚子年5．（多选）已知数列的首项，则（

）A．为等差数列 B．C．为递增数列 D．的前20项和为106．（多选）若，，（，，均不为0）是等差数列，则下列说法正确的是（

）A．，，一定成等差数列B．，，可能成等差数列C．，，一定成等差数列D．，，可能成等差数列7．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为．8．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如数表．该数表的第一行是数列，第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为，各行的第一个数依次构成数列，则该数列的通项公式为．9．已知等差数列满足，则.10．已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.11．已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.12．某城市环境噪声平均值见下表：年份2014201520162017噪声/dB如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？能力提升练1．若数列满足则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且则（

）A．是等差数列 B．是等差数列C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列”2．在数列中，，，则（

）A． B． C． D．3．（多选）设是无穷数列，，则下列给出的四个判断中，正确的有（

）A．若是等差数列，则是等差数列B．若是等差数列，则是等差数列C．若是等差数