2023-2024学年江西省南昌市立德朝阳中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江西省南昌市立德朝阳中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每小题3分，共18分）.1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形（）A．2 B．3 C．5 D．62．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙3．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．54．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°（）A．60° B．65° C．75° D．80°5．如图，已知AB＝AC，AB＝5，以A，B两点为圆心AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．136．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是．9．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝．10．点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CGE＝．11．如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝8，AB＝8，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．12．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，用t（s）表示移动的时间时，△POQ是等腰三角形．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．14．（6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，画出BC边的垂直平分线n．15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．16．（6分）如图：在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，并证明你的结论．17．（6分）如图，四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝30°，∠B＝90°，求CD的长．四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点D作AC的垂线，垂足为F，连接CE．（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．19．（8分）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，设点P的运动时间t（s），当t为何值时20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，垂足分别为E，F．（1）若P为BC边中点，则PE，PF（写出推理过程）？（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），并证明．22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”）智慧三角形；（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．六、（本大题共12分）23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°（1）如图1，求证：△BCD为等腰三角形；（2）如图2，若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，在AC上截取AH＝AB，求证：BD+AD＝BE+AB；（3）如图3，若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由．

2023-2024学年江西省南昌市立德朝阳中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C解：图中三角形的个数是5个，故选：C．2．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙【答案】C解：由图形可知，甲有一边一角，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．故选：C．3．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．5【答案】B解：当2为腰时，三边为2，4，5，由三角形三边关系定理可知，当5为腰时，三边为4，5，2，周长为：8+5+2＝12，故选：B．4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°（）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】D解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．5．如图，已知AB＝AC，AB＝5，以A，B两点为圆心AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】A解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝2．故选：A．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称7．【答案】见试题解答内容解：∵点A（x，﹣4）与点B（3，∴x＝4，y＝4，∴x+y＝7，故答案为：4．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是3．【答案】见试题解答内容解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∴CD＝DE＝1，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴BD＝2DE＝5，∴BC＝BD+CD＝1+2＝2，故答案为：3．9．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝2a﹣2b．【答案】见试题解答内容解：∵a，b，c是三角形的三边长，∴a+c＞b，b+c＞a，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）＝a﹣b+c﹣b﹣c+a＝8a﹣2b，故答案为：2a﹣6b．10．点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CGE＝80°．【答案】见试题解答内容解：由翻折可得∠B1＝∠B＝60°，∴∠A＝∠B1＝60°，∵∠AFD＝∠GFB6，∴△ADF∽△B1GF，∴∠ADF＝∠B1GF，∵∠CGE＝∠FGB7，∴∠CGE＝∠ADF＝80°．故答案为：80°11．如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝8，AB＝8，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是14．【答案】见试题解答内容解：如图，作点A关于CM的对称点A′，连接CA'、MB'、B'D，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．12．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，用t（s）表示移动的时间或10时，△POQ是等腰三角形．【答案】见试题解答内容解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即10﹣2t＝t，解得，t＝s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣5）＝t，解得，t＝10s故填或10．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．【答案】（1）见解析；（2）图见解析．A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）．解：（1）A1（0，6），B1（2，6），C1（1，4），；（2）A2（6，7），B2（4，7），C2（5，8），．14．（6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，画出BC边的垂直平分线n．【答案】（1）图形见解答；（2）图形见解答．解：（1）如图，对称轴m即为所求；（2）BC边的垂直平分线n即为所求．15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．16．（6分）如图：在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，并证明你的结论．【答案】见试题解答内容解：△ABC是等边三角形．∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°．∵BE⊥CE，AE＝CE，∴AB＝BC．∴△ABC是等边三角形．17．（6分）如图，四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝30°，∠B＝90°，求CD的长．【答案】见试题解答内容解：延长AD、BC交于E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，∵AD＝4，BC＝1，∴8（1+x）＝x+4，解得；x＝4，∴CD＝2．四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点D作AC的垂线，垂足为F，连接CE．（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．【答案】见试题解答内容解：（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE．（2）连接PA，PB．∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PB+PC＝PB+PA，∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，B，A共线时最小，∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小．19．（8分）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，设点P的运动时间t（s），当t为何值时【答案】见试题解答内容解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，△ABC中，AB＝BC＝3cm，∴BP＝（3﹣t）cm，△PBQ中，BP＝8﹣t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，当∠BQP＝90°时，BQ＝，即t＝（3﹣t），当∠BPQ＝90°时，BP＝，∴3﹣t＝t，∴t＝2（秒），答：当t＝3秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，垂足分别为E，F．（1）若P为BC边中点，则PE，PF（写出推理过程）？（2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？【答案】（1）CD＝PE+PF，理由见解答；（2）（1）中关系还成立，理由见解答．【解答】解（1）CD＝PE+PF，理由：如图1，连接PA，∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC∴AB×CD＝AC×PF，∵AB＝AC∴CD＝PE+PF；（2）（1）中关系还成立，理由：连接PA，∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，又∵S△ABC＝S△PAB+S△PA∴AB×CD＝AC×PF，∵AB＝AC∴CD＝PE+PF．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），并证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝45°，∴∠CAE＝∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF＝90°，又∵∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE＝CG，（2）解：BE＝CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC，又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE＝CM．22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为30°，△AOB是（填“是”或“不是”）智慧三角形；（2）若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】见试题解答内容解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，∵∠OAB＝3∠ABO，∴△AOB为“智慧三角形”，故答案为：30；是；（2）∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，∴∠AOC＝3∠OAC，∴△AOC为“智慧三角形”；（3）∵△ABC为“智慧三角形”，①当点C在线段OB上时，∵∠ABO＝30°，∴∠BAC+∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，Ⅰ、当∠ABC＝4∠BAC时，∴∠OAC＝80°，Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，∴∠ACB＝10°∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，∴∠BAC+2∠BAC＝150°，∴∠BAC＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA＝5∠ABC时，∴∠BCA＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝90°﹣60°＝30°，Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，∴∠BAC＝90°，∴∠OAC＝0°，Ⅵ、当∠BAC＝5∠ACB时，∴3∠ACB+∠ACB＝150°，∴∠ACB＝37.5°，∴此种情况不存在，②当点C在线段OB的延长线上时，∵∠ACO＝30°，∴∠ABC＝150°，∴∠ACB+∠BAC＝30°，Ⅰ、当∠ACB＝4∠BAC时，∴3∠BAC+∠BAC＝30°，∴∠BAC＝7.3°，∴∠OAC＝90°+∠BAC＝97.5°，Ⅱ、当∠