2020年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)

2020年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）试题参考答案及评分标准〔A卷〕讲明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1．函数在上的最小值是〔C〕A．0B．1C．2D．3[解]当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．2．设，，假设，那么实数的取值范畴为〔D〕A．B．C．D．[解]因有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数的期望为〔B〕A.B.C.D.[解法一]依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为．假设该轮终止时竞赛还将连续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，现在，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有阻碍．从而有，，，故．[解法二]依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局竞赛中获胜，那么表示乙在第局竞赛中获胜．由独立性与互不相容性得，，，故．4．假设三个棱长均为整数〔单位：cm〕的正方体的表面积之和为564cm2，那么这三个正方体的体积之和为〔A〕A.764cm3或586cm3B.764cm3C.586cm3或564cm3D.586cm3[解]设这三个正方体的棱长分不为，那么有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．假设，那么，易知，，得一组解．假设，那么，．但，，从而或5．假设，那么无解，假设，那么无解．现在无解．假设，那么，有唯独解，．假设，那么，现在，．故，但，故，现在无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．5．方程组的有理数解的个数为〔B〕A.1B.2C.3[解]假设，那么解得或假设，那么由得．①由得．②将②代入得．③由①得，代入③化简得.易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或6．设的内角所对的边成等比数列，那么的取值范畴是〔C〕A.B.C.D.[解]设的公比为，那么，而．因此，只需求的取值范畴．因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范畴是．二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕7．设，其中为实数，，，，假设，那么5.[解]由题意知，由得，，因此，，．8．设的最小值为，那么．[解]，(1)时，当时取最小值；(2)时，当时取最小值1；(3)时，当时取最小值．又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)．9．将24个理想者名额分配给3个学校，那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222种．[解法一]用4条棍子间的间隙代表3个学校，而用表示名额．如表示第一、二、三个学校分不有4，18，2个名额．假设把每个〝〞与每个〝〞都视为一个位置，由于左右两端必须是〝｜〞，故不同的分配方法相当于个位置〔两端不在内〕被2个〝｜〞占据的一种〝占位法〞．〝每校至少有一个名额的分法〞相当于在24个〝〞之间的23个间隙中选出2个间隙插入〝｜〞，故有种．又在〝每校至少有一个名额的分法〞中〝至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二]设分配给3个学校的名额数分不为，那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程．的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：．又在〝每校至少有一个名额的分法〞中〝至少有两个学校的名额数相同〞的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．10．设数列的前项和满足：，，那么通项=．[解]，即2=，由此得2．令，()，有，故，因此．11．设是定义在上的函数，假设，且对任意，满足，，那么=．[解法一]由题设条件知，因此有，故．[解法二]令，那么，，即，故，得是周期为2的周期函数，因此．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，那么该小球永久不可能接触到的容器内壁的面积是．[解]如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情形，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，那么小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因答12图1答12图1，故，从而．记现在小球与面的切点为，连接，那么．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情形，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．答12图2因，有，故小三角形的边长．答12图2小球与面不能接触到的部分的面积为〔如答12图2中阴影部分〕．又，，因此．由对称性，且正四面体共4个面，因此小球不能接触到的容器内壁的面积共为．三、解答题〔此题总分值60分，每题20分〕13．函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：答13图．答13图[证]的图象与直线的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，．…5分由于，，因此，即．…10分因此…15分．…20分14．解不等式．[解法一]由，且在上为增函数，故原不等式等价于．即．…5分分组分解，，…10分因此，．…15分因此，即．故原不等式解集为．…20分[解法二]由，且在上为增函数，故原不等式等价于．…5分即，，…10分令，那么不等式为，明显在上为增函数，由此上面不等式等价于，…15分即，解得，故原不等式解集为．…20分题15图15．如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．题15图[解]设，不妨设．直线的方程:，化简得．又圆心到的距离为1，，