2022年贵州省铜仁地区统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2022年贵州省铜仁地区统招专升本数学自

考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

微分方程=满足初始条件y|x=o=O的特解为（）

A.ex（x+C）B.ex（x+l）C.ex-lD.XQX

2.

函数=arcsi,(l—二)的定义域是()

■Jx-1

A.[0.2]B.(1.+©o)C.(1.2]D.[1.2]

3.

微分方程胃-y=e”的一个特解形式（a,b为常数）为（）

A.aex+bB.axe1C.ax2exD.（a+bx）ex

4.

下列等式中，成立的是)

A.dj-)da,=./(a-)B.(I|/(w)d、r=fix)di

C.Wjf(j)d.r=/(J-)+CD.9j/Q)d、z=|

clrj

x2-4

对于函数天二以下结论中正确的是（

x(x-2)

A.x=0是第一类间断点,x=2是第二类间断点

B.x=0是第二类间断点,x=2是第一类间断点

C.x=0是第一类间断点,x=2也是第一类间断点

5尸.x=0是第二类间断点,x=2也是第二类间断点

6.

「+2/—sini

、巴2x2+sin/()

A.B.2C.OD.不存在

微分方程虫;+3二。的通解是

()

y工

A.x24-y=25B.3vf+4,y=C

C.x2+yz=CD.y2-xz=7

8.

小瓜丁也=()

J—X

A.KB.-7tC.1D.0

导数「arcsin.rd.r=()

A.arcsineB.O

C.arcsin6-arcsinaD.1

一合

10.

设fix)在(0,+8)上连续.且1:=./・则/(2016)=()

A.0B.1C.2D.无法求出

11.

.直线M=宁=丰与平面2.r+y=0的位置关系是（）

-1L6

A.直线在平面内B.平行

C.垂直D.相交但不垂直

12.

求函数=1+尸的拐点()

A.(0.0)B.(1.0)C.(0.1)D.(1.1)

13.

曲线y=（x+2y+2的拐点是（)

A.(0,-2)B.(2-2)C.(-2,2)D.(0,10)

14.

.用待定系数法求微分方程/一6“+9》=Z3,的特解时.应设为（）

A.y9=ue3zB.=<ue3x

C.y9=(ar+b)x2e3jD.y"=(ar+6)e3j

15.

8

.正项级数2收敛的充分必要条件是()

M-I

A.lim〃.=0B.lim〃“=0且〃用&u・〃=1.2…

n»oon-coM

C.lim=pV1D.部分和数列有界

n・8UH

16.

在下列级数中，收敛的是（）

X1«1

AB

-£Q(PNI)-cD

n»\〃In-Si,岩

17.

设y=4才-->0).其反函数.r=*(_y)在y=0处导数是()

C

A-fB-T--TD]

18.

设./(J)在［“./>［上连续,则由曲线=/(H)与直线.r=a,x=h,y=0所围成平面

图形的面积为()

A.J/(j?)clrB.1/Q.)d.r

C.f|/(.r)|d.rD.|/(6)-/(a)|(6-a)

19.

下列广义积分收敛的是()

Cf

、产dxDInhdi

-Ji①

20.

设之=ln/1+二).则dj=

()

\y)Ici.o

A.dr+d.yB.2dx+2dy

C・-ydj*--^-dyD.-ydx+十d.y

21.

,设1+则J/(2j*)dx=()

A.宁B.一c/_!D__+l

,22

22.

当才f0时.tan.r与.r比较是()

A.非等价的同阶无穷小B.高阶无穷小

C.等价无穷小D.低阶无穷小

23.

卜.列极限存在的是)

A.lim-------B.limsin」

LOe—1x-ox

C.lim.rsin—【).Iim2+

Jt--OXj-♦0

24.

已知极限limr三一=2,则a的值是()

j-osinar

A.1B.-1C.2D.y

25.

设V=/(x)是由方程号+lny=。确定的函数，则型=()

dx

A.-上B.-/C,一皿D.—山

xy+1xxy

26.

8

级数2广三■的和是(

M-14〃—1

X.1B.2C.-J-D.4-

L4

27.

,设矩阵45为〃阶方阵，AB=O（。为零矩阵），则下列说法正确的是（

A.4,B均不可逆B.A+B=0

C.行列式网=0或|却=0D.4=0或B=。

28.

设函数y=/（.r）在区间（0.2）内具有二阶导数.若.r6（0,1）时./“（公＜0；

ke(1,2)时./"(.r)>0,则()

A.八1)是函数/(x)的极大值

B.点是曲线>=/(.r)的拐点

C./(1)是函数/(a)的极小值

D.点不是曲线y=/(_r)的拐点

29.

点①=o是函数/皂)=匕」的()

A.连续点B.可去间断点

C.跳趺间断点D.无穷间断点

30.

函数.y=log,2+log4的反函数是()

A.y=2iB.y=22i

C.y=42J-1D.y=4T—1

二、填空题(20题)

■T40♦

函数=J是连续函数，则

acos2z+.r，x>0

函数丁=[ln(1—i)了的微分dy=

33.

已知函数/(/)的定义域为(0・1)・则函数/(2，)的定义域为

34若函数3=1•则炉"'=.

35.

已知函数/(1)=ln.r为可导函数.则/Q)在点x=1.01处的近似值为

积分fe4dx=

36.

f),则r⑺=

若/(f)=lim(1+

37.

•Q函数/(、")=ln(1+J-2)的极值为__________

Jo.

39.

设向量a=(1,1,—l},b={1,—1,-1},则aX6=,

»2

I1—jrIdjr=

41.”。

若f（0）=1,则lim/（工）_〃一幻=

43.

（2x-y+1=0♦

一直线经过点（2.-2.0）且与直线J平行,此直线方程为

[3^—2T+1=0

44.已知函数y=.rarctani,贝ljy=

45设函数/（X）满足等式J：''Nck=gx2（x+i）,那么/⑴二

X函数/(?)=ln(1+J2)的极值为

46.

oo

若limmj=A(£>0),则正项级数的敛散性为

47.…

48.

设积分区域D为：x2+y(4)、则did.y=

x1+x2+再=0,

若齐次线性方程组(再+(1+A)X2+2X3=0,有非零解，则a=

(1+%)司+x2+x3=0

50微分方程7-2)，'+y=0的通解为

三、计算题(15题)

计算定积分「万

51.J0

2111

计算四阶行列式;;;;的值.

求微分方程y—4^'+4、=(7+l)e’的通解.

T+ln(l-.r)

计算不定积分I=dj

jr-

54.

“(1一2E)12/，

j_44，

设函数/(x)=<当〃为何值时J(z)连续?

e*，

55.

+x2+x3=2-3,

己知线性方程组，X1+AX2+X3=-2,

56x1+x2+Ar3=-2.

(1)问4为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？

(2)当方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解.

57.

将/1)=3展开成(z+i)的募级数.并求级数y)n的和.

求定积分Isinj—cos"dx.

58.“。

59.

(CJ-2+i.O<I40.5.

设X为随机变量.其密度函数为P(x)=)

)0,其他.

试求：(1)常数门

(2)P(X&4).

•J

60.

-r

已知=e',y2=e是微分方程十py'十qy=0(p,q为常数)的解.

(1)求p，q\

(2)求满足条件)(0)=1,/(0)=2的特解.

求:*一心.

61.'177

62.

设.y=/(.r)是由方程e，>+»ln.r=sin2］确定的隐函数.求学.

CiT

63.

233、

已知三阶矩阵4=1—10,8=21,其中/为单位矩阵，AX=B,求矩阵

—12b

X.

求定积分J-ln.idj'.

64.v1

计算，iVdy—jr'dr,其中L为了。+y?=</顺时针方向.

65.

四、证明题(10题)

66.

证明：当7>0时,ln(7+\/1+T2)>-

67.

证明：当i〉0,0VaV1H'J«.ra—arW1—a.

68.

已知方程才"-x7-.r3+.r=0有一正根.r=1.证明方程11八°一7/—3/+1=0

必有一个小于1的正根.

证明函数f(x)=1D(J--Hy/.r-+1)为奇函数.

69.

70已知/O)=—3.r—1,求：

(1)函数/Q)的凹凸区间；

(2)证明方程/(1)=0在(1・2)内至少有一个实根.

71.

设/(.r)在［0,1］上连续.在(0.1)内可导,且2,/(r)d.r=/(0).证明：存在《6(0.1).

使小)=0.

72.

求由抛物线》=1一工2及其在点(1,0)的切线和.y轴所围成的平面图形的面积.

73.

设平面图形D由曲线工=2y/y,y=，一z与直线y=1围成，试求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕工轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

74.

证明：当1>0时，一、'>ln（1+JC）.

75.

设函数/⑴在口,3］上连续，在（1,3）内可导，且/⑶=0,证明:至少存在一点

fG（l，3），使J'（alnf+/⑷=0.

五、应用题（10题）

76.

求曲线y=ln.r在区间（2,6）内的一点，使该点的切线与直线z=2,x=6以及

y=ln.r所围成的平面图形面积最小.

77.

要求设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的圆柱体,上部的形状是母线长为3m

的圆锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点。到底面中心6的距离为多少时•帐篷的体积最大?

78.

某公司主营业务是生产自行车•而且产销平衡，公司的成本函数CQ）=40000+200.Z-

0.002/.收入函数RQ）=35O.r-0.004.?，则生产多少辆自行车时,公司的利润最大?

已知二元的数二=必人其中“〃）为可导函数、

证明：!I=fl+**_11生P*=.~.

xcrvcr.r"

79.•'

80.

4印•象限内.求曲线2片+『=1上•点，使。该点处的切线।州线及两个

坐轴所附成的面积最小，并求最小值.

81.

设两抛物线y==3—/及1轴所围成的平面图形为D.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕了轴旋转一周得到旋转体的体积.

82.

靠一堵充分长的墙边•增加三面墙围成一矩形场地•在限定场地面积为64m2的条件

下•问增加的三面墙长各多少时,其总长最小.

83.

建筑一个容积为8000nf,深为6m的长方体形无盖蓄水池,池壁的造价为a元/n?,

池底的造价为2a元/mZ,问蓄水池底面的边长各为多少时,总造价最低？

84.

设平面图形Q由曲线1y=Y和直线.y==2及工轴围成.求：

（1）平面图形Q的面积；

（2）这图形绕1轴旋转一周所得旋转体的体积.

85.

平面图形由抛物线=21与该曲线在点(：，])处的法线围成.试求:

(1)该平面图形的面积；

(2)该平面图形绕/轴旋转一周形成的旋转体体积.

六、综合题(2题)

86.

设函数/(z),g(z)在闭区间[-a,a]Q>0)上连续.g1)为偶函数，息函数/(1)满

足条件/<x)I/(-X)=A.(A为常数)

(1)证明：/f(x)g(jc)dj'=A[

J-aJ0

(2)利用(D的结论i卜算Isirrr|arctane^dx.

87.

设/(x)在二a,瓦|上连续且/(z)>o./(x)=f7(?)dr+［熹.

J0JbJyL)

证明：(Df'Cr))2;

(2)方程f(x)=0在(a,ZO内有且仅有一个根.

参考答案

1.D

D

【评注】|exe=ea(x+C),由此闻=0得C=0,二^=依".

2.C

r—1<1—彳41・

为使函数有意义,须有」即12.故函数的定义域为

五一1>09

(1,2,故选C.

3.B

B

【评注】非齐次线性微分方程的特解形式，特征方程产-1=0,得1是其一阶特征根.

4.B

L答案」B

【精析】由求导、积分、微分关系可知，只有B项正确•故选B.

5.B

B

X2-4

【评注】函数y在x=0,x=2处无定义，1皿1——=oox=0为函数的第二类

10寺一2)v

间断点；11m交±=2,x=2为函数的第一类间断点.

12虫—2)

6.A

.।2siru?

2|Q•1'2"

1*JC十/①一SITIN'JTX

【精析】lim——---~~■——；-----=lvim---------；------—故应选A.

一“ZJT+sini-x2_i_sin.T

，JC2

7.C

【精析】由生十口=0,得虫=一匕，分离变量得一xdx=>dy,

yxyx

两边积分.得J/+G=Jy2,即/+J=C为原微分方程的通解，故应选C.

8.D

【精析】由于y=/siiu•为［-n.兀］上的奇函数.故■rZsiiwclr=0,故应选D.

J-X

9.B

因为定积分Jarcsirudr的值为常数,而常数的导数等于0，所以《「arcsiucb=

cLrJ<i

0,故应选B.

10.B

【精析】两边对立求导得/(/).2JT=2?.所以/(.?)=1,从而/(2016)=1,故选B.

ll.B

［答案1B

【精析】直线的方向向量为s=〈一1.2.3}.平面的法向量n={2.1.0）.由于

s.〃=0,直线上的点（0.1.-2）不在平面上.故直线与平面平行.应选B.

12.C

L答案」c

【精析】y3.J-2.y6.r.令。得了0.当0时..y"•<0:当］〉。时.，>0.

所以函数在.r=0处凹凸性改变.所以函数的拐点为（。.1）•故选（'.

13.C

C

【评注】y=3（x+2）2,/=6（x+2）,令y"=0得：x=-2.当x<-2时,/<0,

X>-2时，y">Q.

14.C

【精析】因为1=3是特征方程的二重根,1是一次多项式.

所以应设为/=、,（5+〃*"故应选《.

15.D

【精析】由正项级数收敛的基本准则知.正项级数收敛的充要条件是部分和数列有

界.故应选D.

16.B

B

【评注】考查P级数，对于级数£白，当p>i时收敛，当o<p<i时发散，当p=i

“1n

时为调和级数，发散，故选B.

17.A

【精析】y'=4+3,且》=0时，得才=［或7=—春（舍）._/（［）=8.

xL乙乙

x=<p（y）在、=0处的导数为\—=看,故应选A.

由定积分的几何意义可知本题选C.

18.C

19.C

?T=injir=+8发散/生=24广=+8发散.（学=

-YI7=1收敛•『"：心=j^ln\rd（lru-）=如一厂=+8发散，故选C.

20.C

L答案」（,

【精析】du——）——•（—CLJ--A-dv）.所以（k——一4"dV.故选C.

!.Z.'）N"/（i.i>22"

V

21.A

［答案］A

【精析】令Irw=f，则彳=e，.从而f（z）=1H-er.f\2x）=1+e2z,

故，八2—心=1（1+瞪）业=（工十尹）|'=彳」.故选A.

22.C

L答案」（,

【精析】lim上空=lim・—=1.故应选（,.

l。j'LOJCcos.r

23.C

［答案］C

【精析】lim/—r=oo.limsin—不存在.lim.zsin—=0.1im2十不存在.故选C.

X—0e-1L。XX-0XJ—0

lim-r2--=lim—•上=1=2.故

24D'''°s】naxJ--osinaraa

A

【评注】本题考查的是隐函数的求导.

25.A

26.C

oo

1

s(2〃+1)

1

27+T)

十］(1一+)+后-4)+"，+(壮1一壮1)+

T(1-J+T-f+，，，+2^I-2^TT+，J-

c

27c【评注】此题考查的是行列式和矩阵的性质•

28.B

函数/Q）在（0,1）上为凸，在（1・2）上为凹，故（1./（D）应为函数/⑺的

拐点，故应选B.

29.C

［答案1C

【精析】/(x)在丁=0处没1定义，是间断点.lim〃1)=lim"'=lim—=1.

*_o+一。+了…+.r

lim/(^)=—lim—=—1.lim/(.r)/lim/(1).故.r=0是/(.r)的跳跃间断点.故

i-*。-1-*0一i-*。+1-0-

应选C

30.C

【精析】一y=log$2+log4G=log《277,277=4，，

两边平方•得4］=42、所以I=42T.

互换x与了得反函数为,y=42j_,(―oo<j-V+8).故应选C.

31.

J_

~2

,［答案］1

【精析】lim/(ar)=litn(eU4—a)=1—lirn/(.r)=lim(acos2ar+x)=a•由八工)的

.r«U.r.r•1»'»u'

连续性•知1—a=〃.即a=-y.

32.

21n（1丁）心

1一1

【精析】因，二21n（1—I）•・（-1）=幽铲,故力=胆一也

1-T.r—1T-1

33.

（—8.0）

【精析】函数的定义域指的是自变精的取值范围.则o<2yl.即工<0.

所以函数/（2D的定义域为（一.0）.

34.

优Ink

【精析】y=a"lna..y"=a'lrwln”=="'InZlrw=优In%,…，严-a'Irf'a.

35.

0.01

【精析】由/(4)+/'(才0)»、故/(1+0.01)%/(1)+/(1)-0.01=

Ini+(:|0.01=0.01.

36.

2

【评注】令”=五,则*=1?,*=2“(1«,于是£e"dx=j；e"Zd”=2(u-l)e[；=2.

37.

2c2/

.2JfZt

因为/(，)=lim(I+—j=lim[(1+—j)=e*,所以/(/)=2c2/.

38.

/(0)=0

【精析】/（.r）=••令/（］）=0得i=（）.当才Vo时，/'（才）V0：当i>0时,

1+X

/（J-）>（）,所以.r=（）为/（a）的极小值点,极小值为/（0）=0.

39.

-2i-2k

iJk

【精析】a/b=11-1

1-1-1

1—11-111

•i+(—1)•j+

—1—1］一］1—1

［答案］4

【精析】|'|x-2|d.r=Jj.r-2|dr+［'|.r-2|dr

=J(2—.r)dr十］(J,一2)dr

41.1

【精析】fI1—JTdx=f1—I1—zId^r=f(1—x)dx+f(x—l)dx

JoJCJ1JOJ1

_111_1

2十2

42.

2

［精析】隔八划一/L域=lim△公一八。)乂(。)一八一工)=|加八口一

L。JCLOXLO1—0

+lim二八二才)=/(o)+/(O)=2/(0)=2.

1。0一1—X)

43.

7—2_1y+2_g

2=4=¥

【精析】因为所求直线与直线°；平行.

|3v—42+1=0

故所求直线的方向向量为S=(2,-1,0)X(0,3.-2)=(2.4.6).

又直线过点(2.—2,0).故所求直线的方程为三匚="==

Z46

44.

2

(1+

/'ll1.+―①：2.r=2_

v=arctan.r+­：~：—r.V

1+az1+J-2(1+/)2(1+)2

45.

2

2

【评注】因为:/3（X）=g*2（X+1）即/3（］）=4.］.2故有/⑴=2.

46.

/(O)=0

【精析】/（X）=丁沁•令/'（1）=0得I=0.当1V。时./'（I）V0：当①>0时.

1+、厂

/'（*）>（）.所以工=（）为/（a）的极小值点.极小值为/（0）=0.

47.

发散

oo

因为=lim牛=&（£>0）.故与£工具有相同的敛散性.所

”…«-°°n-I“■】

n

oo

以m"发散•

1

48.

4n

［答案］4n

【精析】由二重积分的几何意义知I|ch4y即为积分区域的面积.

P

所以Jdwdy=所=4K.

D

49.

0或1

50.

J

y=(Ci+C'2J)e

【精析】特征方程为产―2「+1=0,解得特征根为小=々=1，

所以所求通解为'=（Ci+1,件）1,其中6（2为任意常数.

51.

“"d/r?仁=-'te'dt

00

/de'=te1e'山

oo

e-(e-1)=1.

52.

解：原式=

53.

t精析】对应齐次方程的特征方程为r2-4r-4=0,

求解得特征根为门=2,h=2.

所以对应齐次方程的通解为V=（G+37）』二

设原方程特解形式为*=（az卜力eJ

代人原方程得a=1,6=3,

所以可得原方程的一个特解为V=（x十3）e"

故原方程的通解为y=（G十C"）产十（/十3成.

54.

【精析】/=jydjr+

ln(I-jr)d(—-)

=p-jln(l—x)

55.

【精析】lim/(JT)=lime"=e

.，、一！、•9

a(1—2x)a1

limf(x)=lim~，=limr

/,Jl-4k.尹(1-2T)(1+2z)=$1+2^=1

由于/《工）连续•则有=e』Ua=2e.

56.

解:

（2）当4=1时，有无穷多解.BT

通解为：X=kg+&$+"（占他为任意常数）•

57.

【精析】由于

1——1

X1—(X-F1)

8C13

=­Z(z+1)。=2(-1)(1+1)".工€(-2,0),

B=0n=0

所以

i二

f(f)=+="仃尸一［苧-1)(小D］

8

=-Sc(-1)(x4-D-J'=-£(一1)”(1+I)-

n-Cn-1

03

=2(〃T-l)(x+l)\xe(-2,0).

ir~O

IX»ct»

又X(〃+i)(-2(〃+1)(----1-+1)"=/(----1")♦

”一04ir-0

81.、

所以X(”+DLy)"=/(-y、一1_4

/_3\291

H-04Z(T)

58.

siaz-cosj'IcLr=(cos.z—sin.z)d.r+(sinj'

JoJ0JT

:

=(sin、r+cosr)斗(—cos、r-sirur),=2(\/2-1).

0T

59.

【精析】(1)1=p(/)di

--oo,.

00.5Joo

p(.r)d.r+/?(.r)d.r4/>(/)dr

--oo0仇5

0.51

(cr2F.r)d,r=(c—.r2土)」

o\o

_1.1

…观一.

则c=21；

±

.14"03

(2)P(X<k)=/?(.r)dr—p(.r)dip(.r)d.r

1O1-8—no0

T1。

=(21.r21.r)心=e［乎):T

0

60.

【精析】（D由于M=e，与方=e」线性无关,故可得特征根n==1，

则特征方程为（r-D（r+1）=0,即/-1=0.故微分方程为_/一》=0,因此p=

0,q=-1x

y

（2）显然通解为）=G1十C2e-，"=G1—。2片，

,（G+G=l.

将已知条件y（0）=Uy（0）=2代入卜.面两式得、

C,-Ct=2.

故G="1"C=^"，

则特解为>=的一十

61.

【评注】解：令t=Jl+x,则x=『-i，女=2,df,

f8~^=dx=f-2rdf=zl--z3-/1=—.

h

y/mhtL3J23

62.

【精析】两边同时对］求导.得

ery（»+内，）+—+j^ln.r=2COS2JT,

则，=2-rco」2①一.心e0一一

*.r2er*+alnT

63.

解：|4|=2,故幺可逆，由4Y=B=2/,可得X=2%T,利用初等变换求X，

3-23-25-2

-一一

=

y1

3-25-27-2dr

)d

15-22x

1-21-21-2

217-2)+

、(y

ou^

6=r(

Jo01-2I

ooOT(.—

力d/=

oo故、2r

,a+L

o3)-2c

ooooT-'

4-y

a-

oooM=