线性代数总复习及典型例题

线性代数总复习

1整理ppt第一章行列式2整理ppt二阶行列式的计算方法第一节n阶行列式的定义三阶行列式的计算方法——沙路法3整理ppt一些常用的行列式结果：1.2.3.4整理ppt4.kkkkmmmmbbbb**aaaaDLMMLLMMLLMML111111110=**1111mmmmaaaaLMML=.1111kkkkbbbbLMML5整理ppt行列式与它的转置行列式相等.

性质1.1行列式的某一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质1.2式为零。推论1行列式的某一行〔列〕中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论2如果行列式中有一行(列)为零，那么行列第二节行列式的性质6整理ppt对换行列式的两行〔列〕,行列式变号.

性质1.3那么此行列式为零.推论如果行列式有两行〔列〕完全相同，比例，那么行列式为零．

性质1.4如果行列式中有两行〔列〕对应成7整理ppt如果行列式的某一行〔列〕的元素都是那么D等于以下两个行列式之和：例如第i行的元素都是两数之和

性质1.5两数之和，8整理ppt

同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列把行列式的某一行〔列〕的各元素乘以

性质1.6式不变．(倍加运算)计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．9整理ppt第三节行列式按行(列)展开数余子式的乘积，即引理一个n阶行列式，如果第i行所有元素除外都为零，与它的代那么这个行列式等于定理1.3式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子行列式的某行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。行列10整理ppt行列式按行〔列〕展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.11整理ppt第二章矩阵及其运算12整理ppt一、矩阵的概念

由个数称为m行n列矩阵,简称矩阵.定义2.1排成的m行n列的数表其中个数称为矩阵A的元素，数称为矩阵A的第i行第j列的元素.1.矩阵的根本概念13整理ppt

加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘方阵的幂转置矩阵对称及反对陈矩阵方阵的行列式1.矩阵的根本运算：

二、矩阵的运算14整理ppt2.矩阵的运算规律：加法：数乘：15整理ppt（其中为数）;乘法：方阵的幂运算：（2）（1）

注意：16整理ppt转置运算：17整理ppt由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成定义2.1称为方阵A的行列式，记作的行列式，3.方阵的行列式及其性质方阵的行列式满足以下规律：〔2〕〔3〕（设A、B为n阶方阵，为数）〔1〕18整理ppt.列标三、逆矩阵1.根本概念定义2.8对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得那么称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩矩阵，或非奇异矩阵,记为说明假设A是可逆矩阵，那么A的逆矩阵是唯一的.注意19整理ppt各元素aij的代数余子式Aij

构成如下n阶方阵称为矩阵A的伴随矩阵.定义2.9设有n阶方阵由行列式中

注意:伴随阵与原矩阵A元素位置的对应关系.20整理ppt定理2.1设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，那么2.根本定理定理2.2设A为n阶方阵，那么A可逆推论设A、B都是n阶方阵，21整理ppt3.可逆矩阵的性质22整理ppt利用定义〔一般适用于证明题〕(3)待定系数法(4)初等变换法:步骤如下4.逆矩阵的计算方法23整理ppt设方阵分块对角矩阵的性质那么1.2.

四、分块矩阵24整理ppt特殊地，如果是对角矩阵当且仅当都不为零时，是可逆矩阵，且25整理ppt矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换.

.列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵定理2.3

设A是一个非零矩阵，那么A一定可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为如下标准形：其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.26整理ppt注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。

对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.27整理pptA的右边乘以相应的n阶初等矩阵.定理2.4设A是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限定理2.5个初等矩阵28整理ppt六、矩阵的秩求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩29整理ppt对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，那么称A为满秩矩阵，否那么称为降秩矩阵.A为可逆矩阵.对于n阶方阵A，以下命题等价：(1)A为满秩矩阵；(2)(3)(4)30整理ppt第三章线性方程组

31整理ppt()nAR=()nAR<有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组(1)无解(2)并且通解中有n-r个自由未知量.其中()()BRAR=有解:32整理ppt非齐次线性方程组的具体解法：(1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较以及n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。(2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。33整理ppt当m=n时，n元非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式推论34整理ppt()nAR=()nAR<齐次线性方程组一定有解：(1)(2)并且通解中有n-r个自由未知量.只有零解有非零解35整理ppt齐次线性方程组的具体解法：(1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较与n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：唯一解〔零解〕，无穷解〔非零解〕。(2)继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。36整理ppt推论1当m=n时，(1)齐次线性方程组(3.2)只有零解(2)齐次线性方程组(3.2)有非零解推论2当m<n时，即方程个数小于未知量个数时，齐次线性方程组(3.2)必有非零解.37整理ppt第四章向量组的线性

相关性38整理ppt定义4.5设n维向量如果存在一组数使得那么称向量是向量组的线性组合或称向可由向量组线性表示.量第二节向量组的线性相关性一、线性表示39整理ppt定理4.1向量可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即

说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决.40整理ppt定义4.7对于n维向量组如果存在一组不全为零的数则称向量组线性相关.如果上式只有当时才成立,那么称向量组线性无关.二、线性相关与线性无关41整理ppt定理4.2

于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决.42整理ppt的充分必要条件是它所构成的矩阵的行列式等于零，即向量组线性无关的充分必推论1若则n个n维向量线性相关要条件是推论2即向量组中向量个数大于向量维数时，若向量组必线性相关.43整理ppt(1)向量组线性相关(A)中至少有一个向量能由其余线性相关，那么向量定理4.3的充分必要条件是：线性无关，而向量组(2)设向量组向量线性表示.一定可由向量组(A)线性表示，且表示式是惟一的.三、相关定理44整理ppt定义4.8设有向量组是(A)的局部向量组,如果(1)线性无关；(2)对于向量组(A)中的任何一个向量都有线性相关，则称为向量组(A)的一个极大线性无关组，简称极大无关组.注意：在条件(1)下，(2)和下述条件等价：对于向量组(A)中的任何一个向量都可由线性表出.第三节极大线性无关组45整理ppt定义4.9向量组的极大性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记为推论n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行(列)向量组线性无关.向量组秩的求法：通过求向量组构成的矩阵的秩来求该向量组的秩及其极大线性无关组.46整理ppt第四节线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构(4.1)定理4.7如果n元齐次线性方程组〔4.1〕的系数矩阵A的秩那么方程组〔4.1〕的根底(证明略)解系一定存在，且根底解系含的解向量的个数为47整理ppt齐次线性方程组根底解系的求法（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形48整理ppt由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．49整理ppt故为齐次线性方程组的一个根底解系.齐次线性方程组的通解为50整理ppt二、非齐次线性方程组解的结构〔4.5〕

性质4.4导出组(4.1)的解.为(4.5)的解，则是其

性质4.5的解，那么设为(4.5)的解，是其导出组(4.1)也是(4.5)的解.51整理ppt定理4.8设是非齐次方程组(4.5)的一个取定的解(称为特解)，是其导出组（4.1）的通解，则方程组(4.5)的通解为说明：此定理说明非齐次方程组的通解=齐次方程组的通解

+非齐次方程组的特解52整理ppt第五章

特征值、特征向量

及矩阵的对角化

53整理ppt一、向量的内积定义5.1设有n维向量内积令长度范数定义5.2正交54整理ppt定义5.4定理5.2向量都是单位向量且两两正交．矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的列(行)55整理ppt求矩阵特征值与特征向量的步骤：二、特征值与特征向量56整理ppt定理5.3注意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的．矩阵特征值与特征向量的性质：特征