安徽省2023中考数学题型8几何探究题习题

题型八几何探究题

高分帮

类型1与全等三角形有关的探究

1.⑴如图⑴，在四边形ABCD中,AB〃CD,点£是比'的中点,若45■是N为〃的平分线,试判断AB,AD,%之间的

数量关系.解决此问题可以用如下方法:延长45■交比1的延长线于点F,易证△/海△月心得到AB=FC,从而把

AB,AD,ZT转化在一个三角形中，即可判断出AB,AD,比'之间的数量关系为ADiAB⑴C;

⑵问题探究:如图(2),在四边形ABCD中，AB//CD,点产为ZT延长线上一点,连接加；点£是6。的中点,若AE

是N以/，的平分线,试探究AB,AF,。、之间的数量关系,并证明你的结论.

图⑴图⑵

(\)AD=AB+DC

解法提示：：71£是/胡〃的平分线,

.：/DAE=NBAE.

VAB//CD,

."DAE=/F,

・：AD=DF.

丁点£是比的中点，

.,.CE=BE.

又/F=/BAE、/AEB=/CEF,

.•.△CEP^4BEA,

•：AB=CF.

又VDF=CF+DC.

.：AD=AB+DC.

(2)AB=AF+CF.

证明：如图，延长AE交ZF的延长线于点G,

:AE平分4BAF,

；./BAG=/FAG.

•.,AB//DC,

.：4BAG=NG,

；.乙FAG=/.G.

；.FA=FG.

:,点E是火的中点,

:.CE=BE.

乂ZAEB=4GEC,

.：△4£屉△砥:；

.'.AB=GC.

又VCG=CF+FG,

.：AB=AF+CF.

2.如图,线段4?=8,射线BGA.AB,P为射线成■上一点，以4P为边作正方形APCD,且点C,。与点B在4尸两侧,连

接此在方＞上取一点£使NEAP=NBAR连接应并延长交AB于点广(点尸与点A,方不重合).

(1)求证:郎W△呼；

⑵判断CF与4?的位置关系,并说明理由；

(3)求■的周长.

(1)证明：丁四边形加YZ为正方形，

・：CP=AP,N仍。OYM50,

又PE=PE,

••.△AEP^ACEP.

⑵航L44.

理由：••,△AEP^ACEP,

・・・NEAP=/ECP.

•・・4EAP=/BAP,

，4BAP=NECP.

•・•乙ECP+/CMP0O°,NAW：；/CMP,

・・・NAMI・'+NBAP§G；

•:N4/部=90°,

ACE.LAB.

⑶如图,过点。作CNIPB,垂足为点A；则四边形勿3是矩形,

.*.CN=BFyBN=CF.

易知/CPN+/APB甘°,NPAB+NAPBW0°,

・•・—PAB.

又TAP=CP,/庐/CV290°,

二△QC—用，

.\CN=PB,PN=AB.

:△AEP^XCEP、

.'.AE=CEy

・：CA\F产AE+EF+AF

=CE+EF+AF

二册+A卜'

;PN+PB+AF

=ABKN+AF

=AB+BF+AF

口8=16.

3.[2021合肥38中二模]如图⑴，在正方形ABC。中,Ey夕分别为边仍雨的中点，连接AFya交于点G.

(1)求证:4」场；

⑵如图⑵,连接BG,求证:GB平分N£6F;

(3)设△?!"；的面积为S,求证:BrCS.

⑴证明：丁四边形4%刀是正方形，

.\AD=AB=BCy/DAE=/ABF=90°.

:Z/分别为边ARBC的中点，

・：力?如,；

二/△力分；

"ADE=/BAF.

•・・/DAG+/EAGW°,

・・・/DAG+/ADGAb°、

二/力必由0°,即AFA.DE.

(2)证明:如图,过点七作BM_LAF,垂足为点M则BM//GE.

A________E_______B

G

M

•・・AE=BE,

・：AG=GM.

设BF二&贝ljABA,AF=\f^a,BJ隹证&1层愿露

55

；.GM聋■HBM

/△b%；为等腰直角二角形，

"BGM45",.,.ZBGE^O°Y5°N5°,

.,.ZBG,if=ZBGE,

；.GB平分/EGF.

(3)证明：XM)G的面积为S则A6•DG心.

由AFLDE,GB平■分4EGF,可得N4的N阳)=135°.

连接BD,NABDA5°,易证△/如△及祝

/.BGf=AG-DG,

；.B4ts.

4.[2021重庆A卷]在△4函中,48=/，点〃是边比1上一动点,连接AD,将4〃绕点/逆时针旋转至/£的位置,

使得为。=180°.

⑴如图⑴,当乙皈>90°时，连接应;交4c于点F.若BE平一6NABC,BD2求力"的长；

(2)如图(2)，连接儆取鹿的中点G,连接AG.猜想4G与3存在的数量关系,并证明你的猜想；

⑶如图(3),在⑵的条件下,连接DG,CE,若N为。=120°,当BD>CD,N』£C=150°时,请直接写出--—的值.

(1)如图(D,连接CE,过点尸作FQ1.BC,垂足为点H.

A

图⑴

；BE平分4ABC,N9G900,

.\FA=FQ.

「AB=AC,ZBAC-QO°,

"ABC=/ACBa3：

/.FQ^-CF.

♦.♦/BAC+/DAEC80°,Z^f-90°,

/.ZDAE^°,

J4BAD二4CAE.

在△/初和△/〃中，

一,

Z=Z

・：△/力运△力俏

・・・CE=BD=2,/ACQ/A8DN50,

二•NBCE帮0.

;BE平分乙AB&

・：/ABF=/CBF,

"MBNBEC.

乂:/AFB=4EFC,

・•・4BEC=4EFG

・・・CF=CE2

；・AF=FQ*用近.

⑵力

证明：如图⑵，延长BA至点M,使AM=ABy连接EM.

M

图⑵

是四的中点，

."吟血

7/8AC+NDAEA80。，/物C+NQJ六180°,

，/DAE=/CAM、

"D心NEAM.

TAB二AC,.\AM=AC.

在△49。和△/£"中，

上：二:

・・・CD=ME、

⑶岑

解法提示：如图(3),延长创至点R使得AP=AB,连接CP,EP,DE.

图⑶

：*Zfi4C=120",N"l£*/ZMC=180°,

二/必入0°,.：△/加是等边三力形.

VAC=AB=AP,N。尸=180°°,

,△4^是等边三角形.

由(2)可知，△〃四△』以；

.：/4上£=NO=30°,

.："平分

.:咫垂直平分线段AC,

.：AE=CE、

ZZ£4C=Z£61--f-------=15°,

.：ZCAD=ZDAE-^EAC=&Q°-15°=45°,

；./ADB=/CAD+/ACDW5：

"BADW5°,

；.BA=BD.又AE=DE,

.:跖垂直平分44

设BE与4。交于点H,连接DH,则AH=DH,

.：△/!/〃是等腰直角三角形.

由⑵知AG^CD.

又DH^JD,

.\AH=DH=AG=DG.

又NAW=90°,

.：四边形1功//是正方形.

设AG=a,贝ljCD=2a,AH=DH=a,

.：CH《a,

.：Bl)=BAACAH+HC(i-V3)a.

易证是等腰直角三角形，

；.CE当C"Ma,

.-J1+V3)-_V6

*'V2

5.如图,在正六边形ABCDEF中,点。是中心,点M,“分别是AB,徵上的点,且AM=CN,连接OM,ON.

⑴如图⑴，求证：。聆觎

⑵如图(2),点G是比1上一点,且BG=AM.

(IM接MG,NG,求证:四边形。始V是菱形；

图⑴图⑵图⑶

②如图(3),点P,0分别是OM,的中点,连接PQ,PG,GQ判断△AG0的形状并说明理由.

⑴证明：如图⑴，连接OA,0C,易知OA=OC,2Mg60°.

图⑴

乂VAM=CN,

.：△4〃侬△他

.,.OM=ON.

⑵⑦ffi明：如图(2),连接OB,”,能易知OB=OC,4BOC40°,NOBG=/OCNq。；

图⑵

又,.,BG=AM=CN,

△(：()*

.：OG=ON、/BOG=/CQN,

:./GON=/CON+/COG=/BOG+/COG=/BOC$0”,

.：△aw是等边三角形.

同理易得△』/%是等边三角形，

.\G*()M=ON=GN,

四边形例/GV是菱形.

②图是等边三角形.

理由如下：如图(3),连接他用OG,由例知△〃的■和都是等边三角形.

p0

BG

图⑶

丁点P、0分别是OM,公的中点，

・・・PG=QG、/OGP:/OGQ°,

・：4PGQ=/OGP+4OGQ30°+30°=60°,

是等边三角形.

类型2与相似三角形有关的探究

6.[2020淮北•模]⑴如图⑴，在Rt△胸中，NO90°^在分别平分/口氏/烟，过点尸作

DE〃AB交"'于点〃交BC于点、E.

证:点尸是线段场的中点;

②^证:渺二BE・BA.

⑵如图(2),在Rt△力弦中，NG90。/户13,BCA2,BP平•分NAB&过点夕作DE〃AB交力。于点D,交比于点E,

若点q为线段龙的中点,求力〃的长度.

⑴证明：①：设平分N48C；

・•・4ABP二4CBP.

VDE//AB,

・・・/ABP二/EPB、

・・・NCBP=4EPB、

・：BE=PE.

同理可得ZF物.

VDE//AB,

又VCA=CBt

・・・CE;CD,

・・・BE=AD,

.\PE=PDy

•:点P是线段应的中点.

酬①信/ABP=/EBP二NEPB弋/CBA.

:F尸平分N。”

・・・/PAB=^/CAB.

VCA=CBt

・・・4CBA=/CAB,

・：ZABP=/EBP二/EPB=/PAB,

・・・BP:BE・BA.

⑵过点尸作〃•的平行线,交BC千点、F,交力3于点G如图.

在Rt△力⑦中，V132-122-5.

VFG//AC,PD〃AG,

・：/斤斤NCq0°,四边形4；如是平行四边形,

.\PG=AD,

；PE=PD、PF〃CD,

・：勿是△加9的中位线，

・・・EF=F&PF/D.

由（1）可知BE=EP.

设AD=PG=x、贝I］耍5r,•:则(5r).

:DE"AB、

"】2，

二位兰纱#(5x),

55

.：£湾(5-x),EP=BE=BC-CE斗x.

55

5(5-)e_

在Rt△痔中,sinNEPF二—九巴得

5

乂乙EPF=4EDC,sinN歌KinN创「考，

.5-」2

.65

/方

."碍

7.[2021合肥42中三模]如图，在RtZ\45C中，ZBAC-90°,ADLBC,AE=AC,连接EC交相于点£点，是胡延

长线上一点,连接HF交"'于点G,nNB=NH.

⑴求证:△笳；

(2)若点G是4c的中点,求证:小2";

(3)在(2)的条件下,求sinNZFC的值.

⑴证明：:仞1阳

.：/BAD+NB=QQ°.

乂：*Z//+ZJG¥=90°,NB=NH,

.：/BAD=NAGH.

乂；4AGH=ZFGC,

・：/BAD=/FGC.

VAE=AC,

.：/AEC=/ACE,

•••△AEFsAGCF.

⑵证明：丁点G是的中点,4代犯

・・・AECGC.

由(1)得△力£7SZ\G。；

・：---------2.

丁N协G90”,

••./BAD+/CAD轲.

乂：•/力〃/N8-90°,

"CAD=』B=/H.

又・・"4AFG=NHFA,

.:△AFGSXHFA、

•*--------N,.：HF^AF.

(3)易知/力£。=/力。2n5°.

如图,连接他

由⑵得△J/Qs/v〃讯

.：-----------2,.,.All2.他

又VAE=AC=^AG,

:・AH=AE.

又丁N8心90°,

垂直平分EH,

，CE二CH,

・・・/ECH"ACEW：

：XAEFsXGCF、

；.——二—4/GFC=/AFE=/CFD.

设FC=a,则EF%,

.,.HC=EC=EF+FC=Za,

.:在RSCHF中,HF"/2=VTOa,

.：sln/DFC=sin/HFC二--驾.

死10

8.如图,在菱形四龙中，点£在射线8c上，点、尸在线段力。上,连接DF、DE、NEDF二/BAC,射线〃£与射线4。交

于点〃

⑴如图⑴，当点£在线段a'上时,求证:XFDPsXFCD\

⑵如图(2),点£在线段BC上,连接EF、当即〃ABN求证:5=6P-CA;

(1)证明：丁四边形力比。是菱形,

/.AB//CD,BAC二4DCF.

•・・/EDF:/BAC,.'.^EDF=ZDCF.

又：2母氏/狈,：△田如入△也Z

⑵证明：：•四边形力砥9是菱形，

・・・AB=BC,/BAC=/DAC,/EDF:/BAC=/BCA.

又乙FPD=4EPC,••.△FPD^XEPC,

又乙FPE二Z.DPC,；.4FPESRDPC、/Z.PDC=/EFC.

VEF//AB,AEFC=Z.BAC=ADACy工/PDC=/DAC.

又:•4DCP二乙ACD,

.,.△DC24ACD、，——

；.5=CP・CA.

⑶如图，连接Z®交"'于点〃

:,四边形4发力是菱形，.：■/T.

丁。庐2遥，sxnZBAC^-.

.•.DO=OB=ABsinZA4r=2V6贮2

由勾股定理可得A0X》2底

在RtZX/M/中，DFA

.：0卜7~2-V32-22-V5,

•V3'2乃V5V5.

易得△短~■皿

----------------,

.•./■'I)/■(>/r,即3-V5-IT,

解得外竽，

0

；.CP=PF-FC呼孤空、

55

.：AP=AC+CP=/里..

□5

4.

易得△尸如△处以一一,即砺金，

解得。考.

9.[2021合肥瑶海区三模]如图(1),四边形4及力是正方形，力层2,4C是其对角线;△庞尸是等腰直角三角

形，NDEF今0。.若DF,施与然分别交于点也N,且分别与AB,a1交于点G,H,连接MH.

⑴当N"游2aw时，求证:4旧押；

(2)证明：△〃场是等腰直角三角形；

⑶如图(2),若DF,如分别交直线然于点4A；炉分别交48的延长线、BC干点、G,P,若点P是比的中点,求

M的长.

图(1)图⑵

(D证明：：•四边形月成〃是正方形，

二•AD=CD,ZDAM=ADCN=A^°.

又：•NAM4CDN,

.：△力〃侬△微Y

，AM=CN.

⑵证明：如图(1),连接BD、则4加5°,

・：/ADB/BDM2EDF/BD扎

，4ADM=/BDH.

丁四边形力筋是正方形，

二/DAM=/DBH43°,

・：△/〃―△助以

・J2

2

在RtZX。/%1中，易知——当、

—=—,即—=—.

又:NMDH=NEDF45°,

...△DMIM4DEF,

.：△〃物/是等腰直角三角形.

(3)如图(2),连接BD,飒NBDC-NCD*NED»NO)此即N应匕=/£»、：

•・・/ACD=/ABD43：

，/DCN=/DBGA33。、

••.△BDGsACDN,

易得M；〃仍；

・：△〃田是等腰直角三角形.

由题意易知一,即gk

・・・BG2,"小4,

.：DG=42=25/5,

10.[2021安庆四中二模]如图(1),已知乙阳A'=90°,"平分N极优点6是边和/上一点，册4,比LL在于点C,

交4V于点G,如于点D,连接劭交4户于点0,ARLBD于点、E,交DC于点连接CE.

(1)求证：N跳。=/胡6;

(2)请判断CF与分'的数量关系,并给出证明；

⑶若N物八平90。，如图(2),试证明CF=DF.

图(D图⑵

(1)方法一：

证明：VBCLAP,AEVHD,

.'.ZBCO=ZAEO=90°.

又；2AOE=NBOC,

，△曲£s△幽.：—

又・・・/AOB=/EOC,

.•.△OABSXOEC、

・：/BEC=NBAC.

方法二：

证明：如图(1),取47的中点//,连接HC,HE.

N

图⑴

•••BCLARAELBD,

・・・/ACB=/AEB=Qb",

.\HC=HE^AB=HA=HB,即力,B,C,少四点在以点//为圆心,月〃为直径的圆上,

・・・/BEC=/BAC.

⑦CF=DF.

证明：：7户平分/%1A；乙山290°,

/.Z.CAB=ADAC=^°.

VBC1.AP,CDLANy

"ACB=/ADC挈：

・"「二及当月叱夜，

「々然.仞孝心2.

：F£J_必/以〃斗0°,

・・・/DAF+/ADE=Q。。，/ABD+/ADBW00,

・•・/DAF=/ABD.

又「/ADF=NBAD50,

••.△ABMADAF,

二一,即产，

:・DFA,

/.CF=CD-DF=iy

.\CF=DF.

⑶证明：对于题图⑵，取"的中点Q连接CQ和闻如图⑵.

图⑵

二仍平分/场A；BC1AP,

:・/CAB=/DAC、BC=CG.

又・・・BQ=DQ、

,：的是△戚的中位线，

/.CQ//GD.

乂VCDLAN,

・・・NDCQ=/CDGW：

VAEIBD,

•••/FEQ^O。二N〃CQ

•:点CF、E、。到/W的中点的距离相等，

•:点C,F,E、。在以修为直径的圆上,

，/CFQ=4CEQ.

由（1）得N四0二/勿用

・•・ZCFQ=/CEQ=/CAB=/CAD.

：2%4-90°,4GIXW

・・・/CGA+/CAD剑、/CGA+/DCGW。，

・：/CAD=/DCG、

"CFQ=NDCG,

.•・FQ〃BG,・：—=—=1,

,\CF=DF.

一类型3与全等、相似三角形有关的探究

11.在RtZ\4%'中,246=90°,。是4?的中点，NEDFA5°,/切尸绕顶点〃旋转,角的两边分别与

AC,比的延长线相交于点£F,DF交于点M,应交比•于点N.

(1)如图(1),若CE=CF,求证:龙=Z阴

⑵如图(2),在/双A绕点〃旋转的过程中,求证:CF-,

⑶若CD2CH,求&V的长.

⑴证明：°,AC=BC,AD=BD,

，./BCD=/ACDa5°,NBCE=/ACF4Q0,

；.Z.DCE=NDCF=\35°.

在△阳•与△次力■中，

卜”/

•二△DC的△DCF、

・：DE=DF.

⑵证明：：2%尸=135°,

"CDF+/FA■°-135°N5°.

又：/CDF+/CDEM°,

•:N/"ZY比；

又NHAN〃四=135°,

••.△CDFs^CED,

••・Ca:CE・CF,

(3)过点〃作%_!_欧于点G,如图.

E

•・2DCB=A5：

，GC=GD*D=®

由⑵可知，CH=CE-a-,

：.CE二---2V2.

：ZECN=4DGX2ENO少G、

.：A£AiC^A£»A6；

,即J爷

则D\」2+J(曰7+净2手

12.[2021福建]如图,在正方形ABCD中,£户为边48上的两个三等分点，点/关于班'的对称点为4/'的延

长线交8c于点G.

(1)求证：/龙〃4'尸；

(2)求NOf'S的大小；

(3)求证:['024'〃

⑴证明：如图，设四'与4'相交于点T.

「点力与点/关于应对称，

.：/1垂直平分A4；即DEVAA',AT=TA'.

:广为边4夕上的两个二等分点，

,ME=EF,•:夕7是△44N的中位线，

；・ET〃A'F、即DE//A'F.

⑵如图，连接用丁四边形业如9是正方形，

.\AD=ABy/DAB=/ABG30°,/DAT+/BAG=9。°.

VDEA-AA\,\ADTA^°,

・：/ADT+/DAT由,・・・/ADT=/BAG,

.'.△DA恒AABO,

・・・AE=BG.

乂AE二EF二FB,

・・・FB=BG,

・：△/2好是等腰直角三角形，

"GFB聿°.

VDE//AfF,・"'RL44',

・："4'G900.

取AG的中点〃，连接见',必，

在和Rl△砒7中，

0A'二OF=0G却G、0B=OF=0G耳G,

・・・0A'二OF二0G=0B,

二点A\F、RG都在以为直径的。0上,

・・・/GA'B=/GFB=\30.

(3)i正明:设力则AD=BC^a,AF=2ayAE=BF=a.

由(2)得BG=AE=a.

在RtZXW中，tanNBAS一丁力,即LanZJ'/l^,

3,

，2

设//'/”,则AAYk,在双△，'",中，由勾股定理，得+，2-V10A,

.:屈"a,k—.AA'^k^-.

555

在RtZk4%;中，由勾股定理,得A(^l2+

•“/.?/77\3V1025/T0

..AG=AG-AM"10a---^―--,

：C(；=BC-GB盘a,：.一Y-44

由⑵知，NA'FB+NA'GB=180°.

；NA'GC+NA'GB=18Q°,

.：NA'FB=NA'GG

.'i

..—专

.：A'O2A'B.

13.[2021合肥蜀山区一模]如图，△/!比•与△/口?均为等边三角形,点E,产分别在AB,边上,且AE=BF,连接

AF,应交于点G,连接用并延长交48于点H.

(1)求N/8的度数；

(2)求证：G〃=&4C;

(3)若〃为跖的中点,求一的值.

⑴：'是等边三角形,

.,.CA=AB,NCAE=NB%0°.

在△勿£和44犷中，｛/=N

・・・/ACE=/BAF,

二NAGE=/ACE+ZCAG=NBAF+/CAGWQ°.

⑵证明：如图，延长CE至点、M使GM=GA.

由(1)知N4给60°,

•:△力CV为等边三角形，

・：4V=G4/劭护60°,

"CAGNMAE.

丁△力切为等边三角形，

・：N%C60°,加%,

・•・ZDAC+/CAG=4CAE+/MAE,

即N%G=N。业

在△加(；和△C4V中,{/='/

.：△的侬△<%%

.".GD=MC.

又:MC=GM+GC=GA+GC,

；.GD=GA+GC.

(3)由(2)易得N比於=60°,

；.NEGH=180°-NDGA-NAGE=60°=Z.B.

乂「N能7/=N

•：4EGtS4EBC、.：——二—,

即EG-EC=EB'Ell.

；NEAG=NECA,/AEG=NCEA,

，△必叱△/“，.：--.—，即i：，t-[■；(；•lie,

；.E#=EB,EH.

:•〃为BE的中m,.；E呻B,

.：EhEB,EH评,

2'

14.[2021合肥瑶海区二模]如图(D,在RtZ\/L%中，N4Q?=90°,/。=阳点〃是比'的中点,连接仞点£是49

上一点,连接淡、并延长交/C于点F.

(D若点尸是4c的中点,求证：N48AN区"：

⑵如图(2),若NDBE=4DEB.

(2^证:

朗想——的值并写出计算过程.

图⑴图⑵

(1)证明：:AC=BC,ZACB^Q°,

.；NCAB=NCBA=45".

:,点。是比的中点，点/*'是〃'的中点，

；.BD耶C,AF^AC,

•：BD=AF.

乂AB=AB,

.：△4孙/△胡〃，

："ABE=2BAE.

⑵①ffi明：如图,连接CE,过点A作■交立的延长线于点G.

CDB

•：/DBE=/DEB,/.DE=DB.

又CD二BD,

.:点£住以点〃为圆心,旗为直径的圆上,

・：/BEC以：

••./CBF+/BCE挈。.

VZACB=^O:・・・/ACG+/BCE=3)°,

・"ACG=4CBF.

乂・・・4GAC=/FCB=^0°,AC=BC\

•,.△ACgACBF,・：AG=CF.

：2&GN力附80°,，GA〃BC,

••.△CDES^GAE、

・・・I)C=DE,,・・AG=AE,・：AECF.

②W想:一年

由珈N颂三NICE

乂・・"DBE=/DEB=/AEF,

，4AEF=4ACE.

乂"EAF=/CAE,

•:△AEF^△ACEy•-——.

乂；・AE=CR・：—-—.

不妨设AF=m,。尸二1,则了、

整理得〃"〃T-0,

可得0号(不合题意的值已舍去),

15.[2021浙江宁波]【证明体验】

⑴如图⑴，49为△4比•的角平分线，ZADC^O。，点E在加上,AE=AC.求证:况■平分NA9A

【思考探究】

⑵如图(2),在⑴的条件下，尸为四上一点，连接FC交于点G.若FB=FC,〃G=2,CD2求BD的长.

【拓展延伸】

⑶如图(3),在四边形ABCD中,对角线芯平分N为以NBCA2NDCA,点、£在ACk,Z.EDC=Z.ABC.若

及7=5,CD^,y/5,AD=2A&求的长.

⑴证明：：平分N的，

"EAD=/CAD.

乂•.'AE=AC,AD=AD,

.：△必四△，为"

.：NW=NW=60",

.：NEDB=18Q°-NADE-NADC领；

.：ZBDE=LADE,即DE平分4ADB.

(2)'.'FB=FC,

；./EBD=2GCD.

又；4BDE=NGDC4Q°,

二△EBM△GCD、

:7\£4四

:.DE=DC率.

又DGN,

⑶如图,在48上取一点F,使得AF=AD,连接CF.

:FC平分N氏仞

."FAC=/DAC.

又VAC=ACf

；・XAF-DC、

，CF=CD、Z.ACF=Z.ACD,/AFC=4ADC.

•・•/ACF+/BCF:/ACB"ACD、

・•・/DCE=NBCF.

乂・；/EDC=/FBC,

・・・4DCES4BCE

・：-------，4CED二』CFB.

丁a'巧，CF=CD必用

・・・CEa.

VAAED=\^S°-NCED=W0-/Bg/AFC=/ADC、/EAD==/DAC

・：△必ZS△用C

.1

一?

.'.AC=AAEy

416

33

16.[2021淮北烈山区一模]在△/a'中，1年犯点D在〃1边上,△血应s△力阳连接BD,CE.

(1)如图(1),4D,£三点在同一条直线上.

"港AD=2,BC3,求加?的长；

证：出=46•CD.

⑵如图(2),若N阴060°,〃，也A'分别是AC,BD,您的中点,求——的值.

图⑴图⑵

⑴①；△ADES^ABC,

.：/ACB=/AED.

又:NBDC=NADE,

.：△/庞s△幽.：△妣、

设AB=AC=x,则CD=AC-AD=x」2,

.:工、二产1an(负值己舍去),

-2.3

."加1-VTU.

②i正明：：•△初8"△｛阳

.：2DAE2BAC,-----------.

:・AB=AC,

.：AD=A£.•.△ABg/XACE,

；.CE=BD,2ABD=』ECD.

又：2ADB=/CDE,

.,.△ABM4ECD,；.———,

.,.CS=AB'CD.

(2)如图,连接AN.

"AB=AC,N胡C=60°,

.：△4笈是等边三角形，

•：AC=BC.

丁点。是”的中点，

.•.AC=2AD,BDLAC,

"ADB书Q".

由（1）知，AJZ«^AJ6X；

"ABM=NACN,BD=CE.

：加N分别是BD,四的中点,

；邱如以C.\

；.BM=CN.

乂".'AB=AC,NABM=NAC\；

△力身陷［G；・".聆4A；/BAM=/CAN,

,△4邮是等边三角形，

/.MN=AM.

设ADa,fl!|AC=ABBC2“，(tMg,

・・・以印1)4,

.：4g/2当a,MN当a、

,—J7

4'

17.［2021辽宁大连］如图，已知AB=BD,AE=EF,AABD=AAEF.

(1)找出与/跋相等的角并证明；

⑵求证：/毋加N4S;

⑥)AF=kDF,NEDF+NMDF=\8Q°,求一的值.

(1)NBAE=NDBF.

证明：•.NDBF+NABFNABD,ZABD=NAEF,

/.NDBF+NABF=NAEF.

又；/AEF=NBAE+/ABF.

"BAE=NDBF.

⑵证明：如图（1）,连接/。交跖于点G.

图⑴

；AB=BD,AE=EF,

.：4BAD=4BDA,

又・../ABD=/AEF,

••.△ABMAAEF,

・・・/BDG=/AFB.

又：,/BGD=4AGF、

二△〃6Z^△力防

又：/AGB=/FGD,

••.△AGBS^FGD,・・・/BAD=/BFD.

又：/BAD=/BDG=/AFB、

・・・4BFD:/AFB.

⑶如图(2),作点〃关于直线分'的对称点D',则点〃'在力。上,且D'1；二DF.

图⑵

连接MD',DD\过点£作阴〃M'交〃'于点H,

则用7垂直平分DD',4EHF=/MD'RD'J仁DM.

又二.MF=MF,

.：△〃'.，榜△。明

・：/EHF=/MD'F=/MDF.

又・・・/EDF5/MDFA彼°,/EHA+NEHF工800,

・•・/EDF=/EHA.

乂7/EFD=/AFB=/EAH、EF=AEy

,：△£应匕△£：［〃

.\DF=AH.

：-----------------,D'F=DF,

.：——-------_-----1.

VAF=kDFy.：—二k,

•*----=k~\.

18.[2020四川成都]在矩形4及⑦的⑦边上取一点£将△旌•沿班•翻折，使点C恰好落在4〃边上点F处.

(1)如图(1),若BCCBA,求/颂的度数；

⑵如图(2),当4户5,且AF-FD=10时,求比的长；

⑶如图(3),延长硒与N49厂的平分线交于点M,9交A9于点N,当八日切论叨时,求——的值.

解：(D由折叠的性质得BC=BF、4EBF=2EBC.

；BCCBA,.：BF=BCWBA,

.：sinN«W—卷

.：N4冲，0°.

了四边形4次力是矩形，〃比；

"OBF=2AFBM3Q：

.：N碗冬斯=15

(2)由题意可知话=NC=90°.

:ZAFB+ND限里)°=/DEF+2DFE,

，NAFB=2DEF.

又；NBAF=NFDE畛Q°,

.,.△ABF-ADFE,

.：—--,.：AB・DE=AF>DF,即5。庐］0,

；.DEA；.EF=CE与aa.

在Rt△〃匹尸中，D&7-2^/32-22-V5,

吗之书、

V5

.\BC=AD=AF+DF=Q-^.

⑶如图,过点”作柘J_始于点G.

•：2AN+FD、

・・・哈3严飒.

：・BM平分乙ABF,4BAN二4BGN^O°,

・・・AN=GN.

•••/BAF=/NGFW°,

4AFB=4GFN,

•••△ABFs^GNF、

.：—二—§即AB=2NG=2AN.

设4V二a则/庐2a设BOBFCb、则NF=b,

・・.AF=a+b.

在RlZV仍产中，由力4切尸=8吃得4-，（4"产-4片

整理，得5a42HH3Z/R,

解得a穹力或刘二-b（舍去），

,—?_J

25

19.[2021合肥包河区三模]在正方形ABCD中,点£是对角线力C上一点,连接班'并延长交⑪于点、鼠过点£作

EF//BC,交切于点F,过点广作FGLBM,垂足为点H,交4〃于点G,连接EG,BF,CH.

⑴如图(1),若点E为然的中点,有EF=kHF,则k=_j2_.

⑵如图(2),若EF±yF,求——的值；

(3)求证:血协：

图⑴图⑵

⑴施

⑵如图，延长4交力4于点此

易得四边形ANFD,BM；(:为矩形,

，BN=CF.

丁在Rt△仔r中，ZECF450,

・・・EF=CK

，BN=EF.

••♦/BNE=/FHEW°,4NEB二NHEF,

；./NBE=/HFE、

，:cos/NBE=cosNHFEy

：・/HEF+/HFE冯Q°,NGFD+/HFE却｝°,

・•・4HEF=/GFD.

丁NBEFA8。°YHERZOT/-1800-4GFD、

"BEF:/CFH、

•••XHFCsRFEB、

4

⑶证明：由⑵可知，ZNEB二4HEF二4GFD,△力加为等腰直角三角形，

・・・AN;NE.

在矩形4Ai硬中，4g第

・・,NE=DF.

在△八胡和△加石中，

(N=Z=90°,

lz=Z,

•,・△田哙,心

，DG=BN=CF=EF,

又'."EF//DG,Z/>=90°,

.:四边形"3%为矩形,

.\GELEF.

20.[2021湖北宜昌]如图,在矩形ABCD中,£是边A?上一点,BE=BC,EF1CD,垂足为F.将四边形CBEF绕点、C顺

时针旋转＜?(0-)，得到四边形口?'£竽'.8'夕所在的直线分别交直线比1于点G,交直线4〃于点月交

⑦于点K.£'/，'所在的直线分别交直线仅7于点H,交直线4〃于点Q,连接6/'交⑦于点0.

(1)如图(1),求证：四边形班凡•是正方形.

(2)如图(2),当点0和点〃重合时.

觥证:*如

葬OKA,Cg,求线段"的长.

⑶如图(3),若BM〃F'B'交⑦于点M,tanNG],求一―的值.

2A,

图(1)图(2)图(3)

(1)证明：「四边形4?(力是矩形,

；.NB=NBCD冯0°.

；EFLCD,二/EFC的,

.:四边形的T是矩形.

乂;EB=BC,

.：矩形以7•。是正方形.

(2)①I正明：：2必"//=//〃=90",

"KGC+NH的/CDF'+NH的，

"KGC=/CDF\

又•:B，C=CF，,4GB'C=­0°,

.•.△CGB04CDF',

；*CG=CD.

②设正方形尸'的边长为a.

；B'E'"CF’,.♦.△B'KO^CO,

:♦在RtZXb'AT中，B'K+B'C=C七

.：(1)：有苔

,6V5

一〃—.

5

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・_________1