场论课件完整

场论《场论》教材及主要参考书教材：

《矢量分析与场论》

谢树艺

高等教育出版社主要参考书:

《矢量分析与场论--学习辅导与习题全解》

谢树艺

高等教育出版社第一节场与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.1.场:如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，该物理量的一个场.如果该物理量是数量，称它为数量场；如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场.分别用表示.及则称在该空间定义了关于温度场和密度场：数量场,重力场和速度场：矢量场.

数量场的等值面在数量场

中，称曲面为该数量场的等值面.在平面场中，称曲线为它的等值线,如等温线、等高线等.一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间，而且互不相交.由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有等值面等值线3.矢量场的矢量线设C为矢量场中的曲线，如果C矢量线:上每一点对应的矢量都与C相切,则称之为矢量线.设为曲线上一点，因为,所以矢量线满足解：矢量线所满足的微分方程为由得又由合比定理例1.求矢量场的矢量线方程.过点可得有将点代入得所以所求矢量线方程为：第二节数量场的方向导数与梯度定义1：1.方向导数设是数量场中的一点，存在，则称此极限为在点处沿l方向的方向导数，记作若沿方向l定理1:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:且有得若函数在点处可微，故在点可微,由函数定义2：设是数量场中的一点，存在，则称此极限为在点处沿曲线C(正向)的记作若沿曲线C之正向方向导数，定理2:曲线C光滑，若在点处函数可微、l为C在处的切线方向（正向），则例1.在点是曲面设处指向下侧的法向量，求函数在点M处沿的方向导数.解:

方向余弦为而法向量为所以所以例2.

朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用矢量形式表示为它在点P

的切向量为在点P(2,3)沿曲线求函数梯度记作gradu,即定义：称向量为数量场u(M)在设有数量场在点处,点M处的梯度,引入哈密顿算子：有性质：方向：u变化率最大的方向模:

u的最大变化率之值1)2)3)为等值面在点M处的法向量，u(M)增大的一方.指向数量场注：称为由数量场u产生的梯度场.矢量场运算公式例3.证:试证处矢径r的模,例4.作出数量场所产生的梯度场的矢量线.解:数量场所产生其矢量线满足微分方程所以矢量线方程为：的梯度场为第三节矢量场的通量与散度定义：1.通量简单曲线:没有重点的连续曲线；简单曲面:没有重点的连续曲面；设有矢量场，中有向曲面S某一侧的曲面积分向积分所沿一侧叫做矢量场穿过曲面S的通量.沿其设又所以通量为当

>0时,当

<0时,当

=0时,不能判定S内有无源.表明S

内有正源;表明S

内有负源

;通量的物理意义通量的表示例1.解:设由矢径构成的矢量场中，有一由圆锥面及平面所围成的封闭曲面S,试求从S内穿出S的通量.由奥-高公式（奥氏公式、高斯公式）2.散度定义：存在，则称此极限为在点处的散度，记作若设有矢量场，表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

处处有,则称A

为无源场.说明:散度是通量对体积的变化率,且定理:在任一点M(x,y,z)的散度为在直角坐标系中，矢量场证明：由奥-高公式又由中值定理得所以其中为中的某一点,推论1：奥-高公式的矢量形式推论2：若在封闭曲面S内处处有，则推论3：或这些点的任一封闭曲面的通量都相等.若在矢量场内某些点上有，不存在，而在其他点上，则穿出包围例2.解:

求矢量场所产生的散度场,并求此散度场通过点M(2,-1,1)的梯度。令散度的运算公式例3.解:

已知求由基本公式得由于故第四节矢量场的环量及旋度定义：1.环量设有矢量场，封闭有向曲线l按积分所取方向沿曲线

l的环量.叫做矢量场沿其中环量表示的曲线积分例1.解:设有平面矢量场l为场中的星形线求沿l正向的环量2.环量面密度定义：存在，中的设M为矢量场记作,一点，若沿方向则称此极限为在点处沿方向的环量面密度，即定理:在直角坐标系中，矢量场证明：由斯托克斯公式在任一点M(x,y,z)的处沿方向的环量面密度为其中为的方向角.又由中值定理得所以其中为中的某一点,例2.解:

求矢量场在点M(2,-1,1)沿方向环量面密度.的方向余弦为所以在点M沿环量面密度为3.旋度定义：称向量设矢量场在点处,为矢量场在点M处的旋度,记作，即性质：方向：模:1)2)的最大环量面密度的方向的最大环量面密度之值斯托克斯公式的矢量形式设某刚体绕定轴l

转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为

,点M

的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:旋度的运算公式A的雅可比矩阵例3.解:

已知求由于又及所以故第五节几种重要的矢量场线单连域:如果空间区域G内的任何一条简单闭曲线l，都存在一个以l为边界且全部位于G的曲面S，否则称G为线复连域.则称区域G为线单连域，面单连域:如果空间区域G内的任何一个简单闭曲面S所包围的点皆在G内(即S没有洞),否则称G为面复连域.则称区域G为面单连域，1.有势场定义:若存在单值函数使得则称为有势场.称为该矢量场的势函数,即设矢量场势函数的全体可表示为定理:在线单连域内，为有势场证明：设为有势场,则存在单值函数使得那么由于场所在区域为线单连域，所以l为区域内任一闭曲线；与路径无关()；“”“”场保守存在函数u即为有势场.注：1)场有势场保守场无旋2)势函数例1.解:则存在函数u(M),使因是保守场，则曲线积分与路径无关，于是其中为场中任一点.若是保守场，令则注：称为的原函数.例2.解:证明矢量场为保守场，并计算曲线积分其中l是从A(1,4,1)到B(2,3,1)为保守场.故取于是的任一路径.例3.解:是有势场，并求其势函数v.证明矢量场由的雅可比矩阵得为有势场,故那么存在函数使得取于是得势函数势函数的全体为那么有第一个方程对x积分，得上式对y求导，得所以有于是也就有不定积分法求势函数存在函数使得即有于是所以有从而势函数上式对z求导，得若2.管形场定义：设矢量场，称为管形场(无源场).定理2:是矢量管上的任意两个横断面，法矢都指向所指方向一侧，定理3:在面单连域内，为管形场充要条件是存在一个矢量场,使得.此时称为的势矢量.为面单连域，任取一矢量管.其则设管形场所在空间区域若3.调和场定义：设矢量场，则称为调和场.(1)调和函数定义：如果函数u满足拉普拉斯方程则称函数u为调和函数.其中