2023年新教材高中数学人教A版必修第二册

6.4.2向量在物理中的应用举例（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•全国•高一专题练习）人骑自行车的速度为匕，风速为匕，则逆风行驶的速度为（）

A.v,-v2B.v2-v,C.v,+v2D.MTT

【答案】C

【分析】利用向量的加法运算求解.

【详解】解：由题得W和V2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为甘+%.

2.（2022春・湖北荆州•高一公安县车胤中学校考阶段练习）某人先向东走3切?，位移记为“，

接着再向北走3切z,位移记为6,贝~表示（）

A.向东南走6k"B.向东北走

C.向东南走3/加D.向东北走3近切？

【答案】D

【分析】根据向量方向和模长可得结果.

【详解】由题意知：,+〃卜后历=3a,位移方向为东北方向，.Ia+b表示向东北走3直5?.

3.（2022春•江苏无锡•高一辅仁高中校考阶段练习）一物体在力F-的作用下，由点44,-2）

移动到点8（5,4）.已知尸=（3,2）,则J对该物体所做的功为（）

A.-15B.15C.28D.-28

【答案】B

【分析】利用数量积的坐标公式进行计算.

【详解】由题意得：A8=（l,6）,设FT对该物体所做的功为：1X3+6X2=15

4.（2022春・山东临沂•高一校考阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组

成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每

只胳膊的拉力大小均为2OOV5N,则该学生的体重（单位：kg）约为（参考数据：取重力加

速度大小为g=10m/s?）（）

A.60GB.61C.75D.60

【答案】D

【分析】用向量OAOB表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出

\OA+OB\,再化为千克即可得.

【详解】如图，|俐=|。4=2008，ZAOB=60°,

作平行四边形。4C8,则。ACB是菱形，OC=OA+OB,

|oc|=2|（9A|sin60o=600,

所以忖=|OC|=600,

因此该学生体重为则=粤=60（kg）.

gio

二、多选题

5.（2022.高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行

李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为耳，玛，且|耳|=|耳，K

与后的夹角为夕下列结论中正确的是（）

A.。越大越费力，。越小越省力B.B的取值范围为［0,可

C.当6=1时，闵=向D.当，=与时，忻卜忖

【答案】AD

【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.

【详解】对于A,根据题意，得恂=|耳+用，所以

忖、同2+图+2忻卜国Xcos0=2同（1+cos0）,

解得|五『一忖，因为。e（0,;r）时，y=cos6单调递减，所以6越大越费力，，越小越

I'I2（1+cos6＞）

省力，故A正确；

对于B,由题意知，的取值范围是（0,万），故B错误；

对于C,因为同2=2（JG|所以当0=］时，吊=4,所以闾=等忖，故C错误;

对于D,因为同2=_K_,所以当"与时，卜卜同，所以忻卜忖，故D正确.

6.（2022.高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设

水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（）

A.船受到的拉力不断增大B.船受到的拉力不断变小

C.船受到的浮力不断变小D.船受到的浮力保持不变

【答案】AC

【分析】根据物体在匀速运动时力的平衡原理作力的分解即可求解.

【详解】设水的阻力为》,船受到的拉力为F,F与水平方向的夹角为，

则同cose=pj,故网=_|/\,因为e不断增大，所以cos。不断减小，

故网不断增大.因为卜卜而。不断增大，所以船受到的浮力不断减小；

三、填空题

7.(2023・高一单元测试)一质点在力。£=(-3,5),。6=(2,-3)的共同作用下，由点A(10,-5)

移动到矶-4,0),则。片、OF2的合力OF对该质点所做的功为.

【答案】24

【分析】利用向量运算法则得到OF=。耳+。玛=(-1,2),A8=(-14.5),从而利用向量数量积

公式计算答案.

【详解】由题意得：OF=OFt+OF2=(-3,5)+(2,-3)=(-1,2),

AB=(-4,0)-(10,-5)=(-14,5),

则合力OF对该质点所做的功为A8=(T,2)・(T4,5)=14+10=24.

8.(2022春・山东东营•高一统考期中)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平

衡状态，已知两条绳上的拉力分别是耳，死，且耳，用与水平夹角均为45。，|耳|=|6|=10N,

则物体的重力大小为N.

【答案】iog

【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.

【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力IGHS+gI，

因为月，死与水平夹角均为45"，|£|=|6|=10N,

由向量加法的平行四边形法则可知耳+£的方向是竖直向上的，且

|耳+鸟|=2|《|sin45°=2xl0x等=10底，所以物体的重力大小为1O0N.

9.(2022•高一课时练习)己知力耳=(2,-1),月=(1,5),且耳，鸟和居三个力的合力为

F=(O,l),则名=.

【答案】(-3,-3)

【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.

f2+l+x=0fx=-3

【详解】解：设玛=(x,y),则£+月+6=/，即_]+5+),=]，解得

所以片=(-3,-3).

10.(2022.高一课时练习)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的,运

动的叠加亦用到向量的合成.

【答案】加减法

【分析】略

【详解】略

11.（2022春•高一课时练习）如图，一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,

产的大小为50牛，且与小车的位移方向。的方向）的夹角为60。，则力尸做的功为

牛•米.

F

【答案】1000

【分析】根据平面向量数量积的几何意义，求出小车位移方向力的大小，即可求出力产做的

功.

【详解】解：小车位移方向力的大小为50・cos6（）o=25牛，

所以力F做的功为25x40=1000牛•米.

四、双空题

12.（2022春・北京丰台•高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为240五米，一个人从

岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟120米，水流速度大小为每分钟

12米.

①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟米；

②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要分钟.

【答案】24；20.

【分析】（1）求出而而诉即得解；

（2）求出他游到河对岸的速度即得解.

【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为

7（12>/3）2+122=24，他实际前进速度的大小每分钟24米.

（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为血26）2-122=120,所

240应

以他游到河对岸的需要=20分钟.

12&

13.(2022・全国•高一专题练习)若〃表示“向东走8km”，人表示“向北走8km”，则k+b|=

，a+6的方向是.

【答案】80km东北方向

【分析】画出图形，利用向量加法公式得到a+b=OA+A3=OB，进而求出模长及方向.

【详解】如图所示，作OA=a,48=A,

则a+Z>=OA+AB=OB.

所以卜+q=\OB\=VS2+82=80(km),

因为乙4。8=45。，

所以a+b的方向是东北方向.

故答案为：8^km,东北方向

14.(2022•高一课时练习)在水流速度为10km/h的河中，要使船以1()6km/h的速度与河

岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为km/h,与水流方向所成的角为.

【答案】20120

【分析】OA表示水流方向，OB表示垂直于对岸横渡的方向，OC表示船实际航行的方向，

则OB=OC+OA,由，。卜口可可得答案.

【详解】如图，。4表示水流方向，OB表示垂直于对岸横渡的方向，OC表示船实际航行的

方向，则OB=OC+OA,由题意知|7=囱=10,画=106,所以|OC|=20,且

ZAOC=120°.所以船行驶速度的大小为20km/h,与水流方向所成的角为120.

故答案为：①20②120.

五、解答题

15.(2022・高一课前预习)在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果

船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过3小时，该船的实际航程是多少km?

【答案】券(km)

【分析】如图，设水流的速度为0A，船航行的速度为0B，则这2个速度的和为0C，则由

题意可得IOA1=10,|0例=20,解直角三角形OBC求出合速度的大小，然后求解即可.

【详解】解：如图：设水流的速度为0A,船航行的速度为0B，则这2个速度的和速度为0C，

则由题意可得1=10,I051=20.

直角三角形08c中，由OB=20,BC=OA=W,可得6=30。，

所以船的合速度的大小为10Gm/min=之/(km/h),

故船行驶的方向与水流的方向成120。(即408=120。).

所以经过3小时，该船的实际航程是3x,=¥千米.

16.(2023・全国•高三专题练习)平面上三个力耳、丹、鸟作用于一点且处于平衡状态,

WI=1N,|下|=布丁?4,耳与鸟的夹角为45。，求：

(1)名的大小；

(2)后与月夹角的大小.

【答案】(1)若+1(2)150°.

【分析】(1)三个力平衡则三个力的和为0；移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出

向量的大小.

(2)利用三角函数的余弦定理求出两个向量的夹角大小.

(1)

解：三个力平衡，.,•丹+鸟+居=0,

B鸟|=|耳+g|=y/F；+2F「F2+F；

=卜+2x1x片也一$45。+(远学辱=再丽=6+1，

(2)

解：鼻与片的夹角可由余弦定理求得，

r+(6+i)、(纥的由

cos<F,,F.>=----------=——----=——，

2xlx(V3+l)2

E与耳的夹角为30。

则F,与F,的夹角为180。-30°=150°.

17.(2022・高一课时练习)已知某人在静水中游泳的速度为km/h,河水的流速度为

4km/h,现此人在河中游泳.

(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？

(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

参考数据：tan35.26°«—.

2

【答案】(1)方向为与水流方向成60。，速度为8km/h

⑵方向与水流方向成125.26。，速度为4&km/h

【分析】(1)用OA表示河水的流速，。8表示该人在静水中游泳的速度.以。4，。8为邻

边作平行四边形OACB,用OC为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得；

(2)同(1)用0/表示河水的流速，密法表示此人自身游泳的速度，以0'4,OB'为邻边

作平行四边形OAC'9，3a表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解.

(1)

如图①，用表示河水的流速，0B表示该人在静水中游泳的速度.以。4,0B为邻边作平

行四边形04。，用0C为此人游泳的实际速度.

,一,uuuiurnL1UUDr-tftr----tftM—

在mAOC中，|。4|=4，|AC|=|O3|=4百，所以|OC|="|OA『+1AC/=8.

uum

所以tanNAOC=l^=6,所以ZAOC=60。.

\OA\

故此人实际前进速度为8km/h,方向为与水流方向成60。.

(2)

-LIUUU

如图②，用o'A'表示河水的流速，O'9表示此人自身游泳的速度，以。发，O'B'为邻边作平

LIL1UII

行四边形CM'Cb,O'C表示此人实际游泳的速度.

.uuuiii/|Uuui|2~|Uuir,2「

所以有[o'c]=Jo'8]-|0'川=4夜，

uuun

B'C收

所以tanNB'O'C'uFHtfb：丁，所以NBVC=35.26°.

O'C2

故此人实际前进速度为4忘km/h,方向与水流方向成125.26。.

图①图②

18.(2022•全国•高一专题练习)三个大小相同的力〃、b、c作用在同一物体尸上，使物体尸

沿〃方向做匀速运动，设PA=a，PB=b，PC=c，判断一ABC的形状.

【答案】等边三角形

【分析】作PO=4可知平行四边形APC。为菱形，求出

NPAB=NPBA=NPAC=NPCA=NPBC=NPCB,可求出，A8C三个内角的大小，由此可判

断出ABC的形状.

【详解】由题意可得M=W=H，由于合力作用后做匀速运动，则”+/；+c=0,所以，a+c=-b,

A

作尸0=4,则平行四边形APCD为菱形，因为卜4卜卜耳=,4，

故..小£）为等边三角形，则NAP£）=60",

因为|月4卜则NPAB=N尸54=30,同理可得N尸AC=N尸C4=/尸8C=N尸CB=30,

所以，NABC=NAC8=NBAC=60，因此，ABC为等边三角形.

19.（2022・高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被

3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放

入质量为1kg的祛码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为耳，F2,

"），若3根细绳两两之间的夹角均为?，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则耳，心，得

的大小分别是多少？

【答案】牛.

6

【分析】由题可得忻卜帕卜闾，且耳，F2,瑞两两之间的夹角均为归+巴+川=g,

然后利用数量积的运算律及数量积的定义即得.

【详解】由题可知闾=|巴卜闾，且耳，F2,八两两之间的夹角均为?，

又归+豆+E卜g，（g为重力加速度）

.222-

••4+B+玛+24•巴+2£•6++2居,4=g~，

6闵-=g2>

,咽T月卜图4g（牛），

即耳，F2,尺的大小都是如g牛.

6

20.（2022・高一课时练习）如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速

直线运动，若物体的质量为加，斜面的倾角为a,位移大小为s,求物体与斜面之间的摩擦

力所做的功.

W

【答案】帆gssinacosa

【分析】利用物理知识和向量知识得到摩擦力和在/方向上的位移，再利用功的公式进行求

解.

【详解】设物体与斜面之间的摩擦力为了，

则f=mgsina,

又因为在/方向上的位移为scosa,

所以物体与斜面之间的摩擦力所做的功

为W=于？s、机gsina?scosamgssinacosa.

故答案为：mgssinacosa.

【能力提升】

一、单选题

I.（2022春•江西南昌•高一统考期末）某学生体重为"?kg,处于如图所示的平衡状态，假设

他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g）,如果要使胳膊得到充分

的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（）

c-?

【答案】B

【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为aee（o,兀），根据力的平衡可得।耳+名|=，咫，结

合向量的数量积的运算，即可求得答案.

【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，

他两只胳膊的夹角最大为仇。€（0,兀），

设此时两只胳膊的拉力为，则I£1=1尸2|=?"gN,

FVF2

则|耳+鸟|=mg,即有|耳+1『=（一）2,

2.*>

所以G一++24•鸟二（mg）2,

即一("吆)2+—〃咫)2+2X—'(mg)?XCOs8=(Wg)2,

I兀

故cos"：,故。=三，

23

2.（2022・高一单元测试）如图，在重100N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别

为30。，60°,物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）

A.50A/3N,50后NB.50N,100N

C.506N,50ND.100N,5073N

【答案】C

【分析】设两根绳子的拉力分别为。4，OB，作；。AC8,根据题意得到其为矩形求解.

【详解】解：如图所示：

设两根绳子的拉力分别为OA,OB.

作：。ACB,使ZAOC=30°,ZBOC=60°.

在IOACB中，ZACO=/BOC=60。,

所以N。4c=90°,

所以|。4卜|OC|•cos300=50x/3N,|Ac|=|oc|sin30°=50N,

所以|OB卜卜C|=5ON,

故两根绳子拉力的大小分别为5（）6N,50N.

3.（2022春.北京通州.高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为200m,一艘船从河岸

边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度W的大小为间=10km/h,水流速度匕的大小为

上|=6旧/11.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为行驶完全程需要的时间为f（min）,若

船的航程最短，则（）

【答案】B

【分析】作出图形，由题意可得sina,可分析a的范围，再由同角三角函数基本关系求出

cosa,据此可求出速度v,再由f=£求解.

【详解】如图,

由图可知，sina=?=■!，所以LvsinavXZ,故二＜a＜二,

1052264

所以2今兀〈”3多兀又因为sina==3,所以cosa=：4

所以v=Wcosa=10x—=

4.（2022春・浙江•高一校联考阶段练习）甲、乙两人提起重量为8N的物体，两人用力方向

的夹角为e，用力大小分别为6N、7N,则cos。的值为（）

【答案】A

【分析】由向量的平行四边形法则及力的分解可得.

【详解】如图,设|。4|=6,|。8|=7,合力即为|0C|=8

:.OA+OB=OC>两边平方可得Q+OB）2=OC'

即|。4F+20408+1。8『=|0C『，

/.62+2X6X7XCOS6>+72=8\解得COS<9=-!

5.（2022•高一单元测试）尸是ABC所在平面内一点，满足PB+PC-2PAi=（）,则

/WC的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出A8.AC=0,由此可判断出ABC的

形状.

【详解】由烟=|PB+PC-2M,可得回=世+4。|,gp|AB-AC|=|AC+AB|,

等式,8-AC|=|AC+AB|两边平方，化简得48.AC=0，,AB'AC，

因此，_ABC是直角三角形.

6.（2022・全国•高一专题练习）在ABC中，CB=a，CA=b，且

OP=OC+mn—+尊一,msR,则点P的轨迹一定通过A3C的（）

J《sin8|/?|sin

A.重心B.内心

C.外心D.垂心

【答案】A

【分析】过C作C”,AB,交AB于H,取A8中点D,连接CD,所以|a|sinB=%sinA=\CH\,

根据向量的线性运算法则,化简可得根据三角形的性质，分析即可得答案.

【详解】过C作C//LA8,交AB于H,取AB中点。，连接CQ,如图所示:

根据三角函数定义可得,卜也B=|&|sinA=\cH\f

b

因为OP=OC+优

J《sinB|/?|sin勺

所以°P-℃=Mtn（/"+"\）'即b"囱2mCC,

即点尸的轨迹在中线8上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心,

所以点尸的轨迹一定通过他C的重心.

7.（2022•全国•高一专题练习）如图为一个空间探测器的示意图，＜、6、巴、巴是四台喷

气发动机，6、［的连线与空间一个固定坐标系的x轴平行，每台发动机开动时，都能向探

测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率%向正x方向平动，要

使探测器改为正x偏负了60的方向以原来的速率%平动，则可（）

A.先开动《适当时间，再开动巴适当时间

B.先开动4适当时间，再开动£适当时间

C.开动巴适当时间

D.先开动8适当时间，再开动舄适当时间

【答案】A

【分析】对每个选项中的方案进行讨论，分析探测器所受到的推力方向以及探测器的运动状

态，即可得出结论.

【详解】先开动4适当时间，探测器受到的推力沿负x方向，探测器沿正x方向做减速运动,

再开动巴适当时间，又产生沿负y方向的推力，探测器的合速度可以沿正X偏负y60的方向，

并以原来的速率%平动，故A正确；

先开动6适当时间，探测器受到的推力沿正x方向，将沿正x方向加速运动，

再开动6适当时间，又产生沿正y方向的推力，探测器的合速度在第一象限，故B错误：

先开动巴适当时间，探测器受到沿负y方向的推力，将获得沿负y方向的速度，沿X轴方向

的速率不变，故c错误；

先开动6适当时间，探测器受到的推力沿正工方向，将沿着正x方向加速运动，速率大于%.

再开动B适当时间，探测器又受到沿负y方向的推力，将获得沿负y方向的速度，合速度的

大小大于%,故D错误.

二、多选题

8.（2022春•新疆巴音郭楞•高一校考期末）在保证公平的情况下，两个人共同手提一个行李

包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为《，B，且,卜闾，£

与鸟的夹角为，.下列结论正确的为（）

A.〃越大越费力，"越小越省力B.吊「=—忖----

''2（l+cos。）

C.当0=5时，忻卜忖D.当，=|时，闵=忖

【答案】ABD

【分析】根据向量的定义和性质对选项逐一计算检验即可.

【详解】因为为定值，圜xcos”2|城（1+COS。），解得|尸「=_0_____

\G\=\FI+F2\

I'I2（1+cos0）

由题意知*（。㈤时，y=cos6单调递减，所以忻『单调递增，

即0越大越费力，e越小越省力，故A正确，B正确；

当6="时，闻2=4,所以|用=当忖，故C错误；

当时，园2=忖;所以同=忖，故D正确.

9.（2022春•新疆巴音郭楞•高一校考期末）在保证公平的情况下，两个人共同手提一个行李

包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为尸-B，且,卜闾，耳

与鸟的夹角为，.下列结论正确的为（）

A.9越大越费力，夕越小越省力B.阮「=—U—

I'I2（l+cos，）

C.当9时，忻卜忖D.当"午时，回=忖

【答案】ABD

【分析】根据向量的定义和性质对选项逐一计算检验即可.

【详解】因为©=|耳+月为定值，闿xcos”2同（1+cosd）,解得|甫=_忖_____

I'I2（1+cos（9）

由题意知6e（0,万）时，y=cos。单调递减，所以单调递增，

即0越大越费力，0越小越省力，故A正确，B正确；

当时，同=4,所以向=孝忖，故C错误；

当0~时，忻『=同2,所以同=忖，故D正确.

10.（2022春•全国•高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为2N,水平拉

力耳的大小为W,力思未知，则（）

A.当该物体处于平衡状态时，|巴卜石N

B.当物体所受合力为月时，|向|=石N

C.当园=1N时,（石一1）14忻+月+布（石+2）N

D.当园=IN时，必存在实数几，使得G=丹+犯

【答案】ABD

【分析】根据向量的加法与减法的运算法则，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当该物体处于平衡状态时，如图1,此时不巴的合力大小为2N,

方向与重力方向相反，故国=君，正确；

对于B选项，当物体所受合力为6时，结合向量加法的平行四边形法则，如图2,|丹卜6,

正确；

对于C选项，当归卜1N时，设重力G与水平拉力片的合力为F，大小为,卜百N,如图3,

当心与尸方向相同时，归+工+@取得最大值（石+1）N,当月与5方向相反时，忻+g+G|

取得最小值（百T）N,故（石-1）N4|4+5+G卜（方+1）N,错误；

对于D选项，当同=1N时，若存在实数4,使得G=&+",则

/I2=(G-/^)2=4+l-2x2xlcos^=5-4cos6»e[l,9],其中〃为力G,鸟的夹角，所以存在实

数2,使得G=6+24，故D正确.

三、填空题

11.(2022・高一课时练习)已知q=(1,0),/=(0,1),现有动点尸从弓(-1,2)开始，沿着与

向量q+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒另一动点。从2(-2,-1)开

始，沿着与向量3q+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒氏+2ez|,设P,。

在f=0s时分别在《，Q。处，则当PQ_L4以时所需的时间，为s.

【答案】2

【分析】根据题意，分别得到与q+«2,3q+2e2方向相同的单位向量，再由题中条件，表示

LIL1LUU

出6Q,，PQ的坐标，根据向量垂直列出方程求解，即可得出结果.

(万历、

【详解】由题意得《+02=(1,1),则何+勾=应，与其方向相同的单位向量为拳，彳，

3弓+羽=(3,2),则%+26卜内，与其方向相同的单位向量为

如图,

故《尸=|《日(¥，¥)=(9)，QQ=|aQ|(a，祢)=(%2),

又4(-1,2),0,(-2,-1),

.••PQ-1J+2),0(31—22-1),

UUUIU

^Q,=(-1,-3)，

UULI

P2=(2r-l,r-3).

：PQ，6Q)，

隰PQ=0,

即2r-l+3r-9=0,解得f=2.

故当PQ，P„Q｝时所需的时间，为2s.

12.(2022•高一课时练习)设。为ABC内一点，且满足关系式

6A+2OB+3OC=3AB+2BC+CA'则$血:SMB：SCOA=_.

【答案】3:2:1

【分析】由题意将已知中的向量都用。为起点来表示，从而得到3&+&+2况=1,分别

取AB、AC的中点为。、E,可得应)=2的，利用平面知识可得SAAO8与SAAOC及SA8OC

与S4A8C的关系，可得所求.

/、¥/4▼••一TTfTfffTTTT

-QA+2OB+3OC=3A8+2BC+CA=3(08—04)+2(OC-OB)+(OA-OC)，

-3OA+OB+2OC=0，

OA+OB+2OC+2OA=Z9分别取AB、AC的中点为£>、E,

.T->

,•OD=2EO,

c_lc

0.BOC—20AfiC-

,,SROC•SAO/i-SCOA=二SAAC•TSABC：TSABC=3：2：1

236

故答案为：3:2:1.

13.（2022・高一课时练习）已知ABC内接于一个半径为2的圆，其中。为圆心，G为ABC

的重心，则OG-（OB+OC）的取值范围为

【答案】

【分析】如下图所示，建立平面直角坐标系，设3、C、。、A的坐标，得出点A的轨迹方程,

根据三角形的外心和重心的性质，求得点0、G的坐标，运用向量数量积的坐标运算可求得

范围.

【详解】解：如下图所示，以BC所在的直线为x轴，以BC的中点。为坐标原点，建立平面

直角坐标系，设B（T,0）,C（f,0）（r>0）,0（0,n）,.•.〃2+/=4=一2<〃<2

设A（x,y）,所以=Jx?+（y-"1=2,Bp%2+（y-n）2=4=>n-2<y<n+2,

又,ABC的重心G为与£）,所以OG=（苦-j,08=（T,_〃）,0C=（“〃），

所以匹•（0S+祝）=仁,3-“（。-2/）=-£,（3-3"）=+（3”-力,

又一2v2,n-2<y<n+2f

244

所以一?i（3〃一y）K—M（九+1）v—x2x3=8,

〃（3〃-y）Ngn（n-1）=g［（〃

i7

综上得一：4早z（3〃—y）＜8,

所以0G[OB+OC）的取值范围为「g.8）.

14.（2022•全国•高一假期作业）如图所示，无弹性细绳04,08的一端分别固定在A,B处,

同样的细绳0C下端系着一个秤盘，且使得O8LOC,则。4,OB,0C三根细绳受力最大

【分析】设。4,OB,0c三根细绳对。所施力分别为〃，b，c，可知a+6+c=0,在平

行四边形0BCA中比较向量模的大小即可求解.

【详解】受力最大的是Q4,

理由如下：

设。4,OB,0C三根细绳对。所施力分别为〃，b，c，

贝“+6+c=0，

设a与。的合力为d,则H=kl，

如图：在平行四边形08CA中，因为OBJ.OC'，BC=OA.

所以画＞画，便卜[oc],

即W＞W，忖＞日=FI，

所以绳受力最大.

Ac

15.(2022.高一课时练习)如图，在平面四边形ABC。中，AB1BC,NBCD=60。，

/AQC=150。,8E=3EC,CD=巫,BE=6若点尸为边上的动点，则尸的最小

3

值为___________

【答案】77.

16

【分析】以8为原点建立平面直角坐标系，求得A(0,2),D("l),E(G,0),设尸(x,y),令

AF=A.AD,得出尸(后人2-2),利用数量积的运算得到EF-8尸=4万-72+4，结合二次函

数的性质，即可求解.

【详解】以8为原点，以8C,BA所在的直线为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意得CE=』BE=走,BC=8E+CE=逑,NBCD=60

333

在△BCD中，由余弦定理得BO=,(速］+(毡］-2x述x2叵xcos60=2,

33

所以BL>2+C£)2=BC2,所以NBOC=90,

由BC=2C£>,所以NDBC=30,NOCB=60,

净+苧-2X争竽360=1，

在,CDE中，由余弦定理得£>E=

所以CE'+DE?=C£>2,所以NDEC=90°,

在△回£)中，NABD=NADB=60，所以△M£)为等边三角形,

所以AB=BD=2,所以4(0,2),D(瓜I),E(瓜0),

设F(x,y),由题意令AF=4AD,BP(x,y—1)=A(>/3,—1),

解得x=6/l,y=2-/l,所以尸（右九2-团，

所以£尸-8尸=（&-石,2-2）・（例,2-2）=4/12-7/1+4,

设/（#=4下―72+4（04242）,可得其对称轴为2=（,且开口向上,

8

77715

所以兀==时，/（㈤取得最小值，即EGB尸的最小值为4X（二）2-7X=+4=3.

四、解答题

16.（2022春•山东荷泽•高一统考期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度AC=6km,一

艘船从河边的A点出发到达对岸的8点，船只在河内行驶的路程45=2km,行驶时间为0.2h.

已知船在静水中的速度匕的大小为|M，水流的速度匕的大小为|W=2km/h.求：

⑴闻；

（2）船在静水中速度v,与水流速度匕夹角的余弦值.

【答案】⑴闻=2技⑵叵

【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度为M=10km/h,12，分=60°,利用向量的数量

积运算求出IM；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度匕与水流速度女夹角.

（1）因为船只在河内行驶的路程＞lB=2km,行驶时间为0.2h,所以船只沿A8方向的速度为

H=^=10km/h.由AC=Gkm,AB=2km,根据勾股定理可得：BC=五-3=lkm,所以

ZBAC=30°,即（彩#）=60。由U=M+畛，得：V1=v2-v,所以

|%|二J（彩―了）=h=722-2X2X10COS6004-102=2721.

（2）因为u=匕+匕，所以=（匕+%），即100=（2>/5T）+2x2j^Tx2cos《］#2）+22,解得:

COS1,10=1|L即船在静水中速度匕与水流速度匕夹角的余弦值为粤.

17.（2022・高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，/=500m,一艘船从A

点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|"=10km/h,水流速度的大小为M=4km/h,

设匕和匕的夹角为0（0°180。）.

⑴当cos。多大时，船能垂直到达对岸？

（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？

【答案】⑴-：2

（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.

【分析】（1）由题意，V=K+%且与匕垂直，即（w+匕卜匕=0,根据数量积的定义即可求

解；

（2）设船航行到对岸所需的时间为fh,则‘=际/=丽花，比较6=90。和Sin0=^

两种情况即可求解.

（1）

解：船垂直到达对岸，即丫=匕+岭且与匕垂直，即（匕+匕）•畤=0，

所以匕/+吗2=0，即时同cos0+同2=0,

2

所以40cos0+16=0,解得cos6=-《；

(2)

d0.51

解：设船航行到对岸所需的时间为rh，则'=酝了=扇B=漏万8）,

所以当6=90。时，船的航行时间最短为1h,

而当船垂直到达对岸时，由（1）知sin8=3，

5

d0.5向心百

所需时间'|：|sin6„>/2184，>

|W|sm。lOx-8420

5

故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短.

18.（2022•高一课时练习）如图所示，把一个物体放在倾角为30。的斜面上，物体处于平衡

状态，且受到三个力的作用，即重力G,沿着斜面向上的摩擦力A,垂直斜面向上的弹力心.

已知囚=30N,求G,5的大小.

【答案】重力G为60N,沿着斜面向上的摩擦力”为30bN.

【分析】沿水平方向和垂直方向建立直角坐标系，利用坐标法进行计算即可.

【详解】建立如图的坐标系，

由忻|=30N,可得：。耳=(156,15).

设闾=aN,|G|=bN,则。玛=旨，OG=(0,-b).

因为。耳+O6+OG=0

15x/3--+0=0

2〃=306

所以r-，解得:

[c73ab=60

15+--------b=0

2

所以重力G为60N,沿着斜面向上的摩擦力F,为306N.

19.(2021春•福建•高一校联考期中)如图，设。x、Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，

e“e；分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量。尸=xq，则把有序数对(x,y)

mmuu

叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，设OP=2e,+e2.

⑴计算|OP|的大小；

⑵甲在Ox上距。点3千米的点A处，乙在。)，上距。点1千米的点3处，现在甲沿的方

向，乙沿祷,的方向同时以4千米〃卜时的速度行走；

①若过半小时后甲到达C点，乙到达。点，请用6与e2来表示C。；

②若f时刻，甲到达G点，乙到达“点，求|G“|的最小值.

UUUUU

【答案】(1)近(2)①C3=3e2-q；②2

【分析】(1)利用忖=正，直接求出|。网的大小；

(2)①先表示出OC=e「O£)=3e2,利用向量的减法即可表示出CD;

②表示出两人在r时刻相距G”，求出模长，利用二次函数求最值即可.

(1)

因为e「e2=1x1xcos600=；,

所以|O尸卜J(2/J+电y+4e「e2=J+1+4xg=近.

(2)

①因为OC=3-2=1,00=1+2=3,

所以OC=e「OD=3e2，所以0)=3^—e］；

②两人在f时刻相距G〃=(l+4f)e2-(3-4r)e1,

所以,“『=(1+4。2+(3-4。2-2(1+4。(3-4。币0

=48r2-24/+7

=48,-；)+4

当/=!时，|G“|=2’即!小时后，他们两人相距最短.

4।IminA

20.(2023・高一课时练习)设作用于同一点的三个力耳，F2,用处于平衡状态，若