无锡市天一中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（解析版）

江苏省天一中学2021-2022学年秋学期期末考试高二数学命题人审阅人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列满足且，则的值是（）A.1 B.4 C.－3 D.6【答案】A【解析】【详解】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于=，故选A．2.已知直线，，若，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据两条直线的斜率相等可得结果.【详解】因为直线，，且，所以，故选：D.3.已知函数的导数为，则等于（）A.0 B.1C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，然后代值计算即可【详解】因，所以.故选：A4.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3 C.9 D.81【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以的值为1.故选：A5.圆（）上点到直线的最小距离为1，则A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．6.在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】B【解析】【分析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.7.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】【分析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：B8.如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：，设F1F2=2c，∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故选D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设数列的前n项和为，，，则（）A.是等比数列 B.是单调递增数列C. D.的最大值为12【答案】CD【解析】【分析】由题设，结合等差、等比数列的定义和性质判断A、B；进而求出的通项公式，根据的二次函数性质求最值判断C、D.【详解】由题设知：，故是等差数列且递减，又，所以，且，当或，的最大值为12.综上，A、B错误，C、D正确.故选：CD10.已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（）A.椭圆C的焦点在x轴上 B.△的周长为C.的取值范围为 D.椭圆的离心率为【答案】ABD【解析】【分析】由椭圆方程确定椭圆参数值，A根据参数a、b的大小关系判断；B由△的周长为判断；C根据椭圆的有界性判断；D直接求离心率判断.【详解】A：由椭圆方程知：，故椭圆C的焦点在x轴上，正确；B：由，且△的周长为，正确；C：由P为椭圆C上的动点且不在x轴上，则，错误；D：椭圆的离心率为，正确.故选：ABD11.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.时，取得最大值 D.时，取得最小值【答案】AB【解析】【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由图象可知：当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；对于A，，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；对于D，由单调性知，D错误.故选：AB.12.已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点两点，若点满足（为坐标原点），下列说法正确的有（）A.双曲线的虚轴长为4 B.双曲线的离心率为C.直线与双曲线没有交点 D.的面积为8【答案】BD【解析】【分析】由焦点在圆上求得，不妨设，，由得，然后由，得出的关系，给可求得得双曲线方程，然后根据双曲线的性质判断各选项．【详解】由已知，不妨设，，，，所以，，因为，所以，，又，解得或（舍去），，A错；，，B正确；双曲线的渐近线为，因此直线与双曲线有一个交点．C错；由上面讨论知，，所以．D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.等比数列的前项和为，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.故填：.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.14.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.【详解】由题得，所以直线经过定点，圆的圆心为，半径为.圆心到定点的距离为，当时，取得最小值，且最小值为.故答案为：815.已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.【答案】5【解析】【分析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果．【详解】解：抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，，，，的中点为，，则，，两式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，故答案为：5．16.设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.【答案】【解析】【分析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项等差数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数首项为，公差为，由，，列出方程组，求得，，即可求出数列通项公式；（2），利用列项相消求和法即可得出答案【详解】（1）设数首项为，公差为，由题得.解得，，（负值舍去）所以；（2）由（1）得则.18.已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.（1）椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意求出即可求解；（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可【小问1详解】因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，所以椭圆C的焦点，，，又，所以，，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由，，得，，而，所以，所以19.已知为数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义得出的通项公式；（2）由（1）得出，再由错位相减法得出的前项和.【小问1详解】因为，所以当时，，所以.当时，，两式相减，得，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，两边同乘以，得，两式相减，得，所以.20.设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间.【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小问1详解】的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.【小问2详解】由（1）知：.①当时，在上恒成立，所以在单调递减；②当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.21.已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.（1）求抛物线方程和N点坐标；（2）求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.【答案】（1），（2）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.【小问1详解】设抛物线的标准方程为，，其焦点为则，∴所以抛物线的方程为.，所以，所以因为，所以，所以.【小问2详解】由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），联立方程得设两个交点，（，）.所以所以，即整理得，此时恒成立，此时直线l的方程为，可化为，从而直线过定点.22.已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值（2）【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，