2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）：二项式定理与随机变量分布（原卷版）

专题17二项式定理与随机变量的分布

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】

。一?)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答).

【母题来源】2022年新高考n卷

【母题题文】

随机变量X服从正态分布Ng<72),若p(2<x<2,5)=0.36,贝UP(X>2.5)=_____

倒题阑回

【命题意图】

1.考察二项式定理及其应用，考察基本计算能力和逻辑推导能力.

2.考察正太分布，考察正态分布特征.

【命题方向】

1.二项展开基本定理，还会涉及到三项展开。考察特定项，特定项的系数，二项式系数，同时会涉及到赋值

法的应用。多为小题.

2.考察正太分布，二项分布，超几何分布等常见的分布.

【得分要点】

一、二项式定理

(a+b)"=Cna"+Cnci"~'b+••,+Cha""rb'+,•"+C"bn(nGN')

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(。+6)"的二项展开式，其中的系数C；；(r=(),1,

2,…，〃)叫做第，+L项的二项式系数.式中的CZ”以叫做二项式展开式的第厂+1项(通项),用T〜i表示,

即展开式的第，+1项;J।=CZ)方.

二、常见随机变量的分布列

(1)两点分布：

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

X01

p1-pp

其中夕=P(X=1)称为成功概率.

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中,任取“件，其中恰有X件次品,则事件{X=解发生的概率为P(X=乃=笔上

k=0,1,2,…，m,其中m=min{M,n},且“WN,MwN,n,M,NGN*,称分布列为超几何分布列.

X01…m

Cl/C允Lc%c弘

p…

c氐c%，C!<

(3)二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X

=k)=Ci,Pkq"-k,其中％=0,1,2,3,…，n,«=1-尸.于是得到随机变量X的概率分布如下：

X01k•.•n

PC?,P°q"CW/T…C炉…CAPnq°

由于心产严*恰好是二项展开式(尸+«)"=€：2)/+(：04"-1+…+C炉卬-*+…+0严旷中的第/+1项(4=0,

1,2,〃)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X~B(〃，P).

三.离散型随机变量的均值与方差

(2)。⑶=£(即_£：(田)2“为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(R的平均偏离程度，其算

术平方根而方为随机变量X的标准差.

2,二项分布的均值、方差

若X~B(〃,p),贝DX=np[\-p).

3.两点分布的均值、方差

若X服从两点分布，则EX=p(p为成功概率)，DX=p(1-p).

4.离散型随机变量均值与方差的性质

E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,6为常数).

1.（2021・湖北•高三开学考试）已知随机变量X~N（0,02）,且P（X<a）="?,a>0,则P（-a<X<a）=

（用加表示）

2.（2020•海南•三亚市第二中学高三阶段练习）某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单位：kg）

服从正态分布'（25,0.04）,任意选取一袋这种大米，质量在24.8~25.4像的概率为.（附：若

Z~N（〃,（J2）,贝IJ尸c）=0.6826,P（|Z-“v2c）=0.9544,P（|Z-〃|<3c）=0.9974）

..1Q

3.（2022・辽宁大连一模）已知随机变量dNl,4,且P（小l）=P（fNa-3）,则上+—_（0<》<0）的

xa-x

最小值为.

4.（2022•江苏•扬中市第二高级中学模拟预测）在（底-盅J（〃N3,2w”9,〃,peN*）展开式中，第2,3,4

项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第项.

5.（2021•广东・珠海市第二中学高三阶段练习）若（2+x）,=旬+%（1+%）+%（1+*）2+-+%（1+切”,则

出+为+/+…+阳+%=.

6.（2022•湖南•长郡中学一模）已知（1-4》产=%+叱+--+%）22》2°22,则

6,〃24“34.।“2022_

万+5+^+…+萍------------

7.（2022・湖北・襄阳五中二模）已知函数/（x）=10x+3cosx在尸0处的切线与直线”x-y=0平行，则二项

式（l+x+x2）（i-x）"展开式中含/项的系数为

8.（2022・重庆八中模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取

%（4eN*）包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量

服从正态分布汉（〃,）.假设生产状态正常，记，表示每天抽取的k包食品中其质量在（〃-3。,〃+3c）之外

的包数，若。的数学期望E⑹>03,则左的最小值为.

附：若随机变量X服从正态分布则尸（"3。<X<〃+3。）=0.9973.

9.（2021•河北•武安市第一中学高三阶段练习）随机变量f的可能值1,2,3,且尸（$=1）=30-1,尸仔=3）=1-。,

则。（f）的最大值为.

10.（2022・山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量CN（4,"）,且P（43）=P（绊。+1）,则

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-+------（0<x<a）的最小值为.

xa-x

11.（2022・河北保定•二模）若（2x+g）（x+£]”展开式中各项的系数之和为96,则展开式中x?的系数为

12.（2022・山东济宁•二模）从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有〃种方法，则

的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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13.（2022・福建•厦门一中模拟预测）已知（;r-ax）（x-