第二章-质点组力学

第二章质点组力学§2.1质点组质点组的定义:二.质点组的研究方法原则上可以采用隔离法，但若质点的数目太多，则未知量太多,使得微分方程的求解十分困难。2.用整体法研究质点组的整体运动规律。

例如：地球与月亮：两个质点太阳系：许多质点桌子：无穷个质点有相互作用的质点的集合。2.外力：质点组外的物体作用于质点组任意质点的力。三.内力与外力3.质点组的整体运动规律确定后，再采用隔离法确定各个质点的运动规律。4.本章将主要讨论几个描述质点组整体运动规律的普遍定理和守恒律。1.内力：质点组中质点间的相互作用力。ij3.内力的性质（1）质点组内力之和为零

（2）内力对某点O的力矩之和为零

ij（3）内力做功之和一般不为零

若,则,质点间距离不变化(刚体)若,则,质点间距离变化(一般质点组)四.质心(Centerofmass)由n个质点组成的质点组，质量分别为,

质点组中恒存在一特殊点,它的运动可反映质点组的整体运动，而且很容易确定，该特殊点就是质心。ji质心速度：质心加速度：质心坐标：§2.2动量定理与动量守恒律一、动量定理1.质点组总动量2.相对运动的动量表述S系中：i其中：3.质心坐标系(

系为为质心系)

质点组对质心坐标系的总动量为零i4、动量定理(惯性系S)

单个质点动量定理：

将上式对质点数目求和：i=0质点组动量定理：

与内力无关

分量形式：

单个质点动量定理：

将上式对质点数目求和：=0质点组动量定理：

5、动量定理(非惯性平动系)

i二、质心运动定理(惯性系S)

质心运动定理由惯性系中的质点组动量定理也可由质心系(非惯性系)中的质点组动量定理推导i例1：剪切金属的剪床是由曲柄连杆机构OAB构成的，活动的刀具装在滑块B上，而固定的刀具则装在基础C上。设曲柄为均质体，其长为，轻连杆长为。曲柄以匀角速度绕轴O转动。试求基础对地面的压力。解：(1)研究对象：物体系—由质量为的曲柄，质量为的滑块和活动刀，质量为的基础和外壳组成。(2)参考系：地面；坐标系：oxy(3)受力分析：(4)运用质心运动定理静压力动压力三、质点组动量守恒定律出发点：质点组动量定理例1：一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于M。炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成角度，炮弹对炮身的相对速度为，试求炮弹离炮身时对地面的速度炮车的反冲速度。解:(1)研究对象:炮车和炮弹组成的质点组

(2)参考系:地面，坐标系:oxy(3)受力分析:例2：水面上有一质量为M，长为L的小船(船最初静止),船上有一质量为m的人，由船头走到船尾，问船移动的距离为多少？(水的阻力不计，人运动的速度不为常量)。解：分析：人沿走的方向动量守恒1.对象：系统（人和船）2.参考系：地面xo3.建立坐标系:(固定在船上),4.用动量守恒定律列方程代入（1）式:5.结果人相对地面的速度方法二：用质心运动定理求解xo§2.3动量矩定理与动量矩守恒定律

一、质点组对惯性系固定点O的动量矩定理1.对惯性系固定点O的动量矩2.相对运动的动量矩描述i系（平动系）系（固定系）3.在质心系中分析以上四项第一项：质心对O点的动量矩第二项：第三项：第四项：质点组对惯性系固定点O的动量矩等于质心对该固定点的动量矩与质点组对质心的动量矩之矢量和。4.质点组对惯性系固定点O的动量矩定理隔离第i个质点：yzOixi将上式对质点数目求和：0质点组对惯性系固定点O的动量矩定理二、质点组对惯性系固定点O的动量矩守恒定律

动量矩分量守恒定律''质点组对质心的动量矩定理：三、质点组对非惯性系某点

的动量矩定理

0惯性力矩四、质点组对质心的动量矩守恒定律

动量矩分量守恒定律例1：在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为与，两个质量分别为与的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时到达滑轮轴所在的水平面，假设滑轮的质量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多长时间，两人可以同时到达？解:(1)研究对象：以两人作为质点组(2)参考系：地面(3)计算质点组对固定点O的力矩和动量矩选逆时针为力矩和动量矩正方向绳对两人的拉力为一对内力解法二：隔离二人并分别用牛顿第二定律选地面为参照系隔离质量为

的人，(1)隔离质量为的人，(2)由方程(1)和(2)得二人均以匀加速向上爬对地面的加速度注：若两人质量相等，且，至少有一个人努力就可以同时到达顶端，爬绳所需时间则与两人的努力程度有关。质量不相等的两人能同时到达顶端的前提条件两人能否同时到达顶端与他们共同努力的程度有关，但谁较努力些则无关紧要。解：可先确定质心的运动规律，再确定m1,m2对质心的运动规律。1.对象：质点组（m1,m2)2.参照系：地面；坐标系：o-xyz例2:质量分别为m1,m2的两个质点，用一长为a+b的无重刚性杆连接，c为质心（如图所示）。最初处于水平位置，突然给m2以的速度，试求两质点此后的运动规律？m2m1abcO(m1初始位置)xyz3.受力分析4.质心运动定理（不考虑内力）分量式：解得：其中：质心作竖直上抛运动5.求m1，m2对质心的运动计算对质心的合外力矩：m2gm1gabc即任意时刻动量矩等于初始时刻动量矩。设t时刻杆的角速度为ω质点m1，m2相对质心作匀角速转动则：abc§2.4动能定理与机械能守恒定律一、质点组的动能1.质点组中第i个质点的动能。质点组的动能2.动能的相对运动描述iS系（固定系）系（平动系）3.柯尼希定理引入质心参照系,分析上式第一项：第二项：第三项：柯尼希定理叙述：质点组的动能等于质心的动能与各质点相对质心的动能之和。相对固定参照系例题:一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水平面上向前滚动而不滑动，若圆心的速度为，求圆盘的动能解：由柯尼希定理圆盘相对于其质心轴作定轴转动cP圆盘作纯滚动的条件：二、质点组的动能定理(在惯性系S中)由第i个质点的动能定理：

对质点数目求和得，

叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内力的元功之和。

注意：①内力所作的功不能互相抵消。

②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。

质点组合内力做功三、机械能守恒定律(在惯性系S中)内力与外力均为保守力或只有保守力做功，则质点组的机械能守恒由质点组动能定理:四、质点组对质心的动能定理引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能对质点数目求和：叙述:质点组对质心系的动能的微分等于外力与内力对质心系的元功之和。

说明:(1)质心系一般为非惯性系，但在质心系中质点组的动能定理仍保持与惯性系中相同的形式。

(2)惯性力对质点组做功为零。五、质点组相对质心系的机械能守恒定律若内力与外力均为保守力或只有保守力做功，则质点组相对质心系的机械能守恒由质点组对质心的动能定理:解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力，相对某惯性系质点组动量守恒、机械能守恒。（1）选的动量方向为正方向（2）联立方程（1）、（2）解得方程（2）也可用质点组的动能定理代替（3）例1.质量为m1和m2的两质点以万有引力吸引，开始时两质点静止且距离为。求两质点相距为时两质点的速度。解法二：在质心系中求解质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力，所以质心作惯性运动，质点组相对质心系的机械能守恒。（1）选的动量方向为正方向（2）方程（2）也可用质点组对质心的动能定理代替（3）解法三：通过两质点间的相对运动(视m2静止)求解选的动量方向为正方向再用惯性系质点组的动量守恒返回例2:质量为m1的质点，沿倾角为θ的光滑直角劈滑下，劈的质量为m2，可在光滑水平面上自由滑动，试求：质点从静止开始下滑距离时的速度？m1m2θ分析:①②重力为保守力，地面支持力不做功，m1,m2之间的相互作用内力做功之和为零，质点组机械能守恒。解:(1)研究对象：质点组（m1,m2)(2)参照系：水平面；建立oxy坐标系(3)受力分析（4）设m1的速度为，m2的速度为，则(1)m1m2θoxy(2)(3)(5)机械能守恒(4)选小球滑下时所在处为零势能位置联立方程(1)(2)(3)(4)解得§2.5两体问题一.什么是两体问题(2)问题的提出（地球绕太阳运动，月球绕地球运动，双星运动，电子绕原子核运动）(1)两体问题的定义选择惯性系o-xyzxyzoS(M)P(m)c任何两个相互作用的质点（无外力作用）在

惯性系中的运动。二.先确定质心的运动，再确定行星、太阳对质心的运动日心系不是惯性系第一章讨论行星绕太阳运动时，太阳静止，行星运动为单体问题1.确定系统(S,P)质心的运动在惯性系o-xyz中，由质心运动定理质心作惯性运动且系统的动量守恒，即2.确定行星和太阳相对质心的运动在质心系(惯性系)中，行星的动力学方程为P(m)S(M)xyzoc行星和太阳绕(S,P)系统的质心作圆锥曲线运动，在惯性系o-xyz中，行星的动力学方程为：太阳的动力学方程为：三.直接确定行星相对太阳的运动,并考虑太阳的运动P(m)xyzoS(M)（3）的形式和太阳固定不动时行星的动力学方程完全一样。说明：(1)若M>>m，由上式引起的误差极小，仍可以将太阳视为静止，可视为单体问题处理;表明：考虑太阳的运动后，行星对太阳做圆锥曲线运动，但质量不为m，而是折合质量。(4)可看作质量为的行星绕太阳的运动

(2)如果M>>m不成立，两质量差别不大，则必须视为两体问题处理(如双星运动);(4)太阳为非惯性系，在对行星应用牛顿第二定律时须考虑惯性力，应该可以得到方程(4)；方程(4)也说明了另一种修正的方式，即只要把行星的质量用约化质量代替，在质点所受的力上就无需修正，这种方式带来很大的方便；(3)若考虑其他行星的吸引，则为多体问题，一般只能用微扰法(摄动法)近似求解；P96例题(4)(5)应用:如当求一个质点m1相对另一个质点m2的运动时，可认为m2不动，但动力学方程中必须把m1

换成折合质量。即：四.对开普勒第三定律的修正例如：木星,地球当考虑太阳的运动时说明:当m<<M时，对开普勒定律的修正很小，但对质量相近的双星系统，必须考虑修正，双星系统中可能有一颗星是暗星，可以根据两体理论，由亮星的运动导致暗星的发现。§2.6实验室坐标系与质心坐标系

一、实验室坐标系

即以大地为参照系(静系)研究力学问题。

实验室中观察一个粒子对另外一个粒子的散射特点：由质心运动定理，质心作匀速直线运动，碰撞过程中动量守恒，质点系的动量为若为完全弹性碰撞：总动能守恒二、质心坐标系

在质心坐标系中观察碰撞问题

结论：质心静止，开始两个质点向质心运动，散射后逐渐远离质心。分析：碰撞前后质点组对质心系的相对总动量守恒且恒为零。若为完全弹性碰撞：总动能守恒确定和的关系由速度合成关系标量方程为两式相除得xyoc对弹性碰撞，碰撞前后系统的总动能不变得再根据最后得一、变质量物体的动力学方程(惯性系)tmΔm

t+Δt

对合并前后(即在Δt时间内)，对系统运用质点组动量定理：§2.7变质量物体的运动

展开取极限，并舍去二阶小量即

或者

变质量物体的动力学方程二、讨论

1、若dm>0，说明主体的质量在增大（合并）

2、若dm<0，说明主体的质量在减小（分离）

3、若方程为（如雨滴粘附问题）注：m不是恒量即：

4、若方程为：即：形式和定质量物体的动力学方程一样，差别在于此处m为t的函数。

例：一车厢在光滑的水平面上匀加速向右行驶，车厢上方有一漏斗，装有沙子，如图：

注：m不是恒量欲保持原加速度前进，F要增大。

5、反推力(火箭)由：欲保持推力不变，

m增大,减小。（1）若漏斗固定,则：（2）若漏斗和车厢同速度，则：可写成：令：下面分析一维情况：例：从后面向小船上投沙袋。例1:雨点开始自由下落时的质量为M，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为。略去空气阻力，试求雨点在t秒钟后下落的距离。解：1.研究对象：雨点2.参照系：地面；建立坐标系：以雨点初始位置为o点，竖直向下为x轴4.用变质量物体的动力学方程：3.受力分析:解法一：用变质量物体的动力学方程求解

1.研究对象：空中部分链条。2.参照系：地面；建立坐标系：桌子边缘为

o点，竖直向下为x轴，如右图所示。ox4.用变质量物体的动力学方程：3.受力分析例2:长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌面边缘垂直，开始时链条静止，一半从桌上下垂，如下图所示。求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度？设线质量密度为λ，对桌面上一段用变质量物体的动力学方程(2)将(2)代入(1)得注意：(1)化简得两边积分：得：即：拉力做功之和为零(链条不可伸长)，只有空中部分链条的重力做功，故系统的机械能守恒选桌面为零势能位置解法二：用整个链条对地面的机械能守恒定律求解(1)受力分析：空中部分链的重力，桌面上链条的重力，桌面对其上链条的支撑力以及链条内部的拉力(内力)。初状态：末状态：代入方程(1)得化简，得即：解法三：用整个链条对地面的动能定理求解分析：

(链条不可伸长),只有空中部分链条的重力做功解法四：用整个链条对地面的质心运动定理求解(2)参照系：地面；建立oy坐标系。(3)受力分析解：(1)研究对象：火箭例3:火箭在t时刻质量为m0(1-αt)，从t=0时静止铅直上升，喷射气体相对火箭的速率为4g/α。设大气阻力为2m0αv(v为火箭速度)。试证火箭到达高度g/(3α2)时，火箭只有原来质量的一半。(设g恒定，α为常数)。y

o

直线律(4)列出火箭的运动微分方程即：即：得：积分：小结一.基本要求1.概念质点组；质心；内力、外力及其性质；惯性系；质心系。2.掌握质点组的动量定理，动量矩定理，动能定理。(惯性系，质心系)3.运用三个基本定理及守恒律和质心运动定理求解质点组动力学问题。4.两体问题。5.变质量物体的动力学问题。二.补充例题解：(1)研究对象:人船系统。１.一人从船上向岸上跳，是大船上跳容易，还是小船上跳容易？（不计水的阻力）设人，船最初静止，跳起瞬时，人的绝对速度为

,船的绝对速度为V。(2)参照系:河岸(4)由质点组对惯性系的动能定理要保持一定的速度向岸上跳，M越大，W越小，M越小，W越大。(3)水平方向动量守恒２.一电机质量为m放在光滑水平面上，有长为2l质量为m1的均质杆，一端与电机轴垂直固定连接，另一端焊一质量为m2的小球，如电机轴以ω转动，求(1)电机的水平运动规律。(2)若用镙栓将电机固定于地面，求镙栓所受的力？解：(1).研究对象：质点组（电机，杆，小球）xyxx1x2ωωtxyxx1x2ωωt(2)参照系：地面坐标系:o-xy(4)质点组在水平方向动量守恒设电机最初静止，则(3)受力分析积分：(4)在ox方向运用质心运动定理(电机被固定在地面上)解之得：电机在水平方向作简谐振动取为零代入质心运动定理：由牛顿第三定律(5)在oy方向运用质心运动定理代入质心运动定理：xyxx1x2ωωt解:(1)参考系：地面；建立坐标系o-xy(3)列方程

3.长为的轻绳两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三个小球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，今给小球M一水平初速度