电路上册(王培峰主编)第六章

6正弦稳态电路及其分析目录正弦稳态电路的功率6-3正弦稳态电路的最大功率传输6-4串联谐振6-5并联谐振6-6正弦稳态电路的一般分析方法6-2阻抗和导纳6-12.正弦稳态电路的分析3.正弦稳态电路的功率分析

重点：1.阻抗和导纳4.正弦稳态电路的串联谐振5.正弦稳态电路的并联谐振6-1

阻抗和导纳1.阻抗正弦稳态情况下Z+-无源线性网络+-阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式当无源网络内为单个元件时有Z

可以是实数，也可以是虚数。C+-R+-表明L+-2.

RLC串联电路KVL：R+-+-+-+-j

LLCRuuLuCi+-+-+-+-uRZ—复阻抗；|Z|—复阻抗的模；

Z

—阻抗角；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。转换关系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ分析R、L、C

串联电路得出（2）wL>1/wC

，X>0，jZ>0，电路为感性，电压超前电流。相量图：一般选电流为参考相量，

Z电压三角形j

Leq等效电路R+-+-+-（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jZ

为复数，称复阻抗。

X（3）wL<1/wC，

X<0，jZ

<0，电路为容性，电压落后电流。

ZUX等效电路R+-+-+-（4）wL=1/wC

，X=0，j

Z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。R+-+-等效电路例1-1

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC。解画出相量模型LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。相量图注意

-3.4°3.导纳正弦稳态情况下导纳模导纳角Y+-无源线性网络+-对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有Y

可以是实数，也可以是虚数。表明C+-R+-L+-4.RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iRR+-

j

LY—复导纳；|Y|—复导纳的模；

Y—导纳角；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；转换关系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y导纳三角形|Y|GB

Y（2）wC>1/wL，B>0，

Y>0，电路为容性，电流超前电压。相量图：选电压为参考向量，

Y分析R、L、C

并联电路得出：RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象。IB注意（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jY

为复数，称复导纳。（3）wC<1/wL，B<0，

Y<0，电路为感性，电流落后电压。

Y等效电路R+-（4）wC=1/wL，B=0，

Y=0，电路为电阻性，电流与电压同相。等效电路等效电路R+-+-j

LeqR+-5.

复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/R，B

1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。ZRjXGjBY注意同样，若由Y变为Z，则有GjBYZRjX例1-2RL串联电路如图，求在

＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为

L'R'0.06mH50

注意一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变。其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部。一端口N0中如不含受控源，则有或但有受控源时，可能会出现或注意一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为6.

阻抗（导纳）的串联和并联分压公式阻抗的串联Z1+Z2Zn－Z+-分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为Y+-Y1+Y2Yn－（1）对于不含受控源的一端口，可以去掉一端口内部的独立源，直接使用阻抗串、并联、Y-△等效变换的方法7.

一端口电路等效阻抗（导纳）的计算（2）对于含有受控源的一端口，可以去掉一端口内部的独立源，使用外加电源法（3）对于含有受控源的一端口，也可以保留一端口内部的独立源，使用开路、短路法例1-3求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为1mH30

100

0.1FR1R26-2

正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较下页上页返回1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。下页上页结论2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f=0)是一个特例。返回应用相量法分析正弦稳态电路的一般步骤画出电路的相量模型必要时采用等效变换的方法简化相量模型选择一种适当的求解方法，列出电路的相量方程解方程，求得所需的电流或电压相量必要时，将求得的电流、电压相量表示为瞬时值表达式例3-1画出电路的相量模型求各支路电流。已知：解R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1列写电路的回路电流方程和结点电压方程。例3-2

解回路方程+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4结点方程+_R1R2R3R4方法1：电源变换解例3-3Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3方法2：戴维南等效变换求开路电压：求等效电阻：ZeqZ+-+-Z2Z1Z3例3-4求图示电路的戴维南等效电路。解求开路电压：j300

+_+_50

50

+_j300

+_+_100

求短路电流：+_100

+_j300

+_+_100

例3-5

解Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3用叠加定理计算电流,Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3+-已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx

得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例3-6解

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

Z1Z2ZxZ3

|Z1|

1

•|Z3|

3

=|Z2|

2

•|Zx|

x

已知：Z=（10+j50）W,Z1=（400+j1000）W。例3-7解ZZ1+_

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：线圈的电阻R2和电感L2

。画相量图分析。例3-8解法1q2qR1R2L2+_+_+_q2q其余步骤同解法1。解法2R1R2L2+_+_+_用相量图分析例3-9移相桥电路。当R2由0∞时，解当R2=0，q=180°；当R2

∞，q=0°。abbabR2R1R1+_+-+-+-+-例3-10图示电路，解R1R2jXL+_+_jXC6-3

正弦稳态电路的功率1.瞬时功率第一种分解方法第二种分解方法无源网络+ui_第一种分解方法：p

有时为正,有时为负。p>0,电路吸收功率。p<0，电路发出功率。

t

iOuUIcos

恒定分量UIcos

(2t－)为正弦分量p

tO第二种分解方法：UIcos

[1-cos

(2t)]为不可逆分量UIsin

sin2t为可逆分量

部分能量在电源和一端口之间来回交换。2.平均功率

P

=

u-

i：功率因数角。对无源网络，为

其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。P

的单位：W（瓦）X>0,j>0,

感性;X<0,j<0,

容性。cosj

1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压、电流有效值有关，而且与cos

有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。结论一般地,有：0<

cos

<14.视在功率S3.无功功率

Q单位：var

(乏)Q>0，表示网络吸收无功功率。Q<0，表示网络发出无功功率。Q

的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是由储能元件L、C的性质决定的电气设备的容量有功，无功，视在功率的关系：有功功率:

P=UIcos

单位：W无功功率:

Q=UIsinj

单位：var视在功率:

S=UI

单位：V·AjSPQ功率三角形5.R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0

=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0

=0PL=UIcos

=UIcos90

=0QL=UIsin

=UIsin90

=UI=I2XLiuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90

)=0QC=UIsin

=UIsin(-90

)=-UI=

I2XCiuL+-6.

任意阻抗的功率计算PZ=UIcos

=I2|Z|cos

=I2RQZ=UIsin

=I2|Z|sin

=I2X

＝I2(XL＋XC)=QL＋QCjSPQjZRX相似三角形(发出无功)uiZ+-电感、电容的无功补偿作用

t

iOuLL发出功率时，C刚好吸收功率，与外电路交换功率为pL+pC。L、C的无功功率具有互相补偿的作用。

t

iOuCpLpCLCRuuLuCi+-+-+-电压、电流的有功分量和无功分量：以感性负载为例

RX+_+_+_GB+_jSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX反映电源和负载之间交换能量的速率。无功功率的物理意义:例3-1三表法测线圈参数。已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。解法1RL+_ZWAV**解法2又解法37.

功率因数的提高设备容量

S

(额定)向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。P=UIcos

=Scos

jcos

j=1,P=S=75kWcos

j=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机

空载cos

j

=0.2~0.3

满载

cos

j=0.7~0.85荧光灯

cos

j=0.45~0.6设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有。功率因数低带来的问题：S75kVA负载当输出相同的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos

)，线路压降损耗大。j1j2解决办法：（1）高压传输。（2）改进自身设备。（3）并联电容，提高功率因数。i+-uZ分析j1j2并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。特点：LRC+_并联电容的确定：补偿容量不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——功率因数又由高变低(性质不同)j1j2并联电容也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ从功率角度看:并联电容后，电源向负载输送的有功功率UILcos

1=UIcos

2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin

2<UILsin

1减少了，减少的这部分无功功率由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功功率不变，而功率因数得到改善。8.复功率负载+_定义：也可表示为结论是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量。注意把P、Q、S

联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率。

复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即

复功率守恒，视在功率不守恒。求电路各支路的复功率。例3-2解1+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解26-4

正弦稳态电路的最大功率传输Zeq

=Req+jXeq，

ZL=RL+jXL负载有源网络等效电路ZLZeq+-正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件。若ZL=RL+jXL可任意改变

(a)先设RL不变，XL改变显然，当Xeq+XL=0，即XL=-Xeq时，P获得最大值。(b)再讨论

RL改变时，P的最大值。讨论当RL=Req

时，P获得最大值RL=Req

XL=-XeqZL=Zeq*最佳匹配条件若ZL=RL+jXL只允许XL改变

获得最大功率的条件是：Xeq+XL=0，即

XL=-Xeq

最大功率为若ZL=RL为纯电阻负载获得的功率为电路中的电流为模匹配电路如图。求：1.RL=5

时其消耗的功率；2.RL=?能获得最大功率，并求最大功率；3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。例4-1

解+_10∠0°

V50HRL5W

=105

rad/s+_10∠0°V50HRL5WC+_10∠0°V50HRL5W6-5

串联谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。

含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。1.谐振的定义发生谐振RLC电路+-2.串联谐振的条件谐振角频率谐振频率谐振条件仅与电路参数有关Rj

L+_串联电路实现谐振的方式：(1)

LC

不变，改变

w(2)电源频率不变，改变

L

或C

(常改变C

)

0由电路参数决定，一个RLC串联电路只有一个对应的

0

,当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。3.RLC串联电路谐振时的特点阻抗的频率特性幅频特性相频特性X(

)|Z(

)|XL(

)XC(

)R

0

Z(

)OZ(j

)频响曲线

(

)

0

O–/2

/2Z(j

)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：容性区感性区电阻性输入阻抗为纯电阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。电流I

和电阻电压UR达到最大值I0=U/R(U一定)。+++___Rj

L+_(2)L、C上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即特性阻抗品质因数当

＝w0L=1/(w0C)>>R

时，Q>>1

UL=UC=QU

>>U(3)谐振时出现过电压例2-1某收音机输入回路

L=0.3mH，R=10

，为收到中央电台560kHz信号，求：(1)调谐电容C值；(2)如输入电压为1.5V,求谐振电流和此时的电容电压。解或+_LCRuI0(4)谐振时的功率

P=UIcos

＝UI＝RI02=U2/R电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源不向电路输送无功功率。电感中的无功功率与电容中的无功功率大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。注意+_PQLCR(5)谐振时的能量关系设则电场能量磁场能量电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等

WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。表明

总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。电感、电容储能的总值与品质因数的关系：Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，Q越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般在要求发生谐振的回路中希望尽可能提高Q值。谐振时电路中电磁场的总储能谐振时一周期内电路消耗的能量例2-2

一接收器的电路参数为：

=5

103

rad/s,U=10V，调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q。解+_LCRuV（6）频率特性为了分析RLC串联电路的谐振性能，需要研究电路中的电流、电压、阻抗和阻抗角等各量随频率变化的情况，称为频率特性。描述明电压、电流与频率变化关系的图形称为谐振曲线。当电压源的电压不变，而频率改变时，电流的频率特性为Q=10Q=1Q=0.51O

在谐振点响应出现峰值，当

偏离

0时，输出下降。即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应，对谐振信号最突出(响应最大)，而对远离谐振频率的信号具有抑制能力。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。谐振电路具有选择性

表明谐振电路的选择性与Q成正比

Q越大，谐振曲线越陡，电路对非谐振频率的信号具有越强的抑制能力，所以选择性越好。因此Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。通频带及其带宽

工程中为了定量地衡量选择性，通常将电流通过曲线上，即的点所对应的两个频率、（或、）之间的范围称为通频带，其宽度称为通频带的带宽，用表示，即

0

2

10.707I0Q=10Q=1Q=0.5O

或可以证明：例3-1

讨论一接收器的输出电压UR，参数为

U1=U2=U3=10mV,当电容调至

C=150pF时谐振。

w0=5.5

106rad/s,f0=820kHzf(kHz)北京台中央台北京经济台

L8206401026X-1290–1660-10340–660577129010001611UR0=10UR1=0.304UR2=0.346UR=UR/|Z|下页上页返回+_+_+LCRu1u2u3_L=250mH,R=20W,解UR0=10UR1=0.304UR2=0.346UR=UR/|Z|(mA)收到北京台820kHz的节目。8206401200UR(f

)f/kHzO下页上页返回例3-2一信号源与R、L、C电路串联，要求

f0=104Hz，△f=100Hz，R=15

，请设计一个线性电路。解下页上页返回+_LCRu10

1.GCL

并联谐振6-6并联谐振谐振角频率|Y|ww0oG谐振特点：输入导纳为纯电导，导纳值|Y|最小，端电压达最大。下页上页返回+_GCL

0

OU(

)Is/G

L、C上的电流大小相等，相位相反，并联总电流为零，也称电流谐振，即IL(w0)

=IC(w0)

=QIs

下页上页返回+_GCL谐振时的功率谐振时的能量品质因数下页上页返回2.电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图所示。（1）谐振条件下页上页返回CLR电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足注意一般线圈电阻R<<

L，则等效导纳为谐振角频率下页上页返回等效电路品质因数线圈的品质因数（