电路分析基础第七章

第二篇动态电路的时域分析第五章电容元件与电感元件第六章一阶电路第七章二阶电路包含一个电容和一个电感、或两个电容、或两个电感的动态电路称为二阶电路。二阶电路一般用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程来描述。二阶电路中可包含任意数目的电阻、独立源和受控源。二阶电路仍然可运用分解方法进行分析。本章只分析含电感和电容的二阶电路。第七章二阶电路§7.1LC电路中的正弦振荡§7.2RLC串联电路的零输入响应§7.3RLC串联电路的全响应§7.4GCL并联电路的分析上一章只涉及到一个储能元件，储能形式为电场能量或磁场能量。本章由于涉及到电感和电容两个储能元件，且它们分别储存磁场能量和电场能量，那么，这样的电路又具有什么特点？为了突出问题的实质，从研究一个只由电容和电感组成的电路的零输入响应开始，且设电容的初始电压为U0，电感的初始电流为零。显然，初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有储能。这时，电路中的电流虽然为零，但电流的变化率不为零。为什么？这是因为电感的电压必须等于电容电压,即U0。根据uL=LdiL/dt,则意味着diL/dt≠0。因此，电感中的电流开始增长，原来存储于电容中的能量就开始发生转移。随着电容放电、电流增长，能量逐渐转移到电感的磁场中。当电容电压下降到零的瞬间，电感电压也为零，因而，diL/dt=0，电流达到最大值I，此时，电容的储能全部转化到电感中。上述变化见下页图(a)和(b)。电容电压为零时，其变化率并不为零，因为电容中的电流必须等于电感中的电流，且电感中的电流不能突变，因而，电容在此电流作用下又被充电，但极性与以前不同。当电感中电流下降到零的瞬间，能量又再度全部储于电容中，电容电压又达到了U0，只是极性相反，如前图(c)所示。以后，电容又开始放电，只是电流方向与第一次相反，重复上述过程。到图(e)循环一个周期，回到初始状态。由此可见，在由电容和电感两种不同储能元件构成的电路中，随着储能在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的振荡。这种由初始储能维持的振荡是一种等幅振荡。如果电路中存在电阻，储能终将被电阻消耗殆尽，振荡不可能是等幅的，且幅度将逐渐衰减而趋于零。这种振荡称为阻尼振荡或衰减振荡。如果电阻较大，储能在初次转移时其大部分就可能被电阻所消耗，因而不可能发生储能在电场与磁场之间的往返转移现象，电流、电压终将衰减为零，但不产生振荡。下面对LC回路中振荡的变化方式作进一步分析。设LC回路如图所示，且设L=1H，C=1F，uC(0)=1V，iL(0)=0。根据元件的VCR可得：

这是描述该二阶电路的两个联立的一阶微分方程。

该两式表明：电流的存在要求有电压的变化；电压的存在也要求有电流的变化。因此，电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。结合初始条件：

因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。第七章二阶电路§7.1LC电路中的正弦振荡§7.2RLC串联电路的零输入响应§7.3RLC串联电路的全响应§7.4GCL并联电路的分析设含有电感和电容的二阶电路如图(a)所示，运用戴维南定理可得图(b)所示的RLC串联电路。写出每一个元件的VCR如下：这是一个线性二阶常系数微分方程，未知量为uC(t)。为求出解答，需要两个初始条件，即uC(0)和duC/dtt=0。uC(0)是其中一个初始状态，另一个初始状态可通过下式得到，即：而i(0)就是iL(0)，即电感的初始状态。因此，根据电路的初始状态uC(0)、iL(0)和t≥0时电路的激励就可完全确定t≥0时的响应uC(t)。对于零输入响应，则有uOC(t)=0，微分方程变成：

特征方程如下：

根据特征根公式：解得特征根为：特征根又称为固有频率。而特征根根据R、L、C数值不同具有四种不同的情况：1、当时，即

时，S1、S2

为两个不相等的负实根，其响应形式为：称为过阻尼2、当时,S1、S2

为两相等的负实根，其响应为：称为临界阻尼称为临界电阻3、当时，即

时，S1、S2

为一对共轭复根：称为欠阻尼。响应形式为：式中：；;4、当R=0时，即＝0时，S1、S2

为一对共轭虚根：称为无阻尼。则响应形式为第七章二阶电路§7.1LC电路中的正弦振荡§7.2RLC串联电路的零输入响应§7.3RLC串联电路的全响应§7.4GCL并联电路的分析如果在下图所示电路中，uOC(t)=US(t≥0)，则可得如下微分方程：该方程右端不为零，数学上称为非齐次方程。非齐次方程的解由两部分组成。其一是对应齐次方程的解，即前面给出的零输入响应，一般称为固有响应或瞬态响应；其二为非齐次方程的特解，又称为强迫响应或稳态解。齐次解的形式随特征根性质而定，而特解的形式一般与方程右端的函数有关。对于满足的特解是uCp=US(t≥0)。因此，若特征根是两个不相等的实数，则电路的全响应可表示为：第七章二阶电路§7.1LC电路中的正弦振荡§7.2RLC串联电路的零输入响应§7.3RLC串联电路的全响应§7.4GCL并联电路的分析把该式与上节的RLC串联电路方程进行对比：可以发现：把串联电路方程中的uC换成iL，L换成C，C换成L，R换成G，uOC换成iSC，就会得到并联电路方程。也就是说，RLC串联电路与G