电路第十四章上

在含有L,C的电路中，出现随时间变化的电压电流，描述电路的方程是微分方程。在处理正弦电路稳态分析时，我们成功地引入了相量法，变微分方程为复变量代数方程，简化了正弦稳态分析。在暂态分析中处理高阶微分方程是困难的。本章介绍拉普拉斯变换就是一种化微分方程为代数方程的一般性方法，是线性电路分析的一种基本工具，与微分方程的时域分析不同，用拉普拉斯变换的方法进行电路分析称为频域分析，又称运算法。第十四章线性动态电路的复频域分析

——拉普拉斯变换拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。时域微分方程频域代数方程拉氏变换拉氏逆变换求解时域解优点：不需要确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路。重点：1.运算形式的电路定律和元件约束2.用运算法分析线性电路14.1

拉氏变换的定义拉普拉斯变换的简介拉普拉斯变换是由英国工程师哈维赛发展来的，是应用在电路上及控制工程上的相当好的一种方法，我们利用此一方法，可不必先求出微分方程的通解，经由已知的条件再去求出常数，此法远比其它方法简单、迅速，可应用于微分方程式，积分方程式，差分方程式及边界值问题的应用等。1.拉普拉斯变换的定义

一个定义在[0,

)的f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为f(t)的象函数，F(s)其中，

简称拉氏变换

拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换为一个s域内的复变函数F(s)；积分下限取0

可以计及t=0时f(t)包含的冲激，给计算冲激响应带来方便。如果已知F(s)，求它对应的f(t)，则称为拉普拉斯反变换，且有

F(s)的原函数，f(t)简写：

L[f(t)]表示对f(t)作拉氏变换;L1[F(s)]表示对F(s)作拉氏反变换例题：求下列函数的象函数。1.单位阶跃函数；2.单位冲击函数；3.指数函数解：1.单位阶跃函数的象函数：2.单位冲击函数的象函数：3.指数函数的象函数：14.2

拉氏变换基本性质1.线性性质例题：例题：2.微分性质例题：3.积分性质4.延迟性质1Ttf(t)5.

频域平移性质补充：频域导数性质积分小结：微分1Ttf(t)由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对F(S)进行部分分式展开14.3

拉普拉斯反变换的部分分式展开电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理式：式中m和n为正整数，且n≥m。用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，求出D（s）＝0的根。下面分几种情况进行讨论：1.如果D(s)＝0有n个单根，设n个单根分别是p1,p2…,pn。于是F(s)可以展开为：待定系数Ki：也可用求极限的方法来求：例题：解：k1=1，k2=-3，k3=3例解：令D(s)=0，则s1=0，s2=－2，s3=－52.如果D(s)＝0有共轭复根p1=α+jω,

p2=α-jω,则由于F(s)是实系数多项式之比，故K1,K2为共轭复数。例题：解：有共轭复根：p1=-1+j2,p2=-1-j2例：求的原函数3.如果D(s)＝0有重根，则应含(s-p1)n的因式。现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)＝0的三重根，其余为单根，则例题：解：小结：1.)n=m时将F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t)的步骤2.)求真分式分母的根，确定分解单元3.)求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。2.拉氏变换法分析电路正变换反变换元件相量形式电路模型类似地运算阻抗、运算导纳运算形式电路模型复阻抗、复导纳运算形式KCL、KVL元件相量形式KCL、KVL§14.4

运算电路二、R,L(M),C的运算电路1、电阻的运算电路一、基尔霍夫定律的运算形式对任一节点:对任一回路:R+–u(t)i(t)R+–U(s)I(s)电感的约束方程又可写成：式中1/sL是电感的运算导纳；i(0-)/s是附加电流源的电流。2、电感的运算电路其中,sL是电感的运算阻抗；Li(0-)是附加电源电压，反映电感的初始能量。L+–u(t)i(t)+–I(s)sLU(s)+–Li(0

)I(s)+–U(s)i(0

)/s3、电容的运算电路电容的约束方程又可为：+–u(t)i(t)+–C+–I(s)U(s)–+–+sCI(s)+–U(s)Cu(0

)–+4、互感的运算电路+i1i2+––u1u2ML1L2––++I1(s)–U1(s)sMsL1sL2U2(s)++++––I2(s)L1i1(0

)L2i2(0

)Mi2(0

)

Mi1(0

)

–注意：自感压降uL和互感压降uM

都对应象函数中的两项。Mi(0-)是互感引起的附加电源，其极性与电压、电流的参考方向以及同名端有关。sM

为互感运算阻抗。5、受控源的运算电路–++–iR+–u1u2

u1

U1(s)–++–R+–U1(s)I(s)U2(s)u1=Riu2=

u1称为端口的运算阻抗运算形式欧姆定律三、运算电路+–R+iCLuCuL–+u–UC(s)+–R+I(s)sL–+–UL(s)U(s)1.运算阻抗和运算导纳由KVL，得

对该方程取拉氏变换，有称为端口的运算导纳令

则

有

又令

运算阻抗+–R+iCLuCuL–+u–对该方程取拉氏变换，有R+I(s)sL+–U(s)+–Li(0

)–uC(0

)s运算电路ii)如果

L

、C

有初值，初值应考虑为附加电源。i)电压电流用象函数表示，元件用运算形式表示；2.如何画运算电路？例1.i2+i1–LR2CUS

(t)时域电路i2i1US(s)R1+–R2I1(s)CI2(s)US

(t)LsL例5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iL时域电路t=0时打开开关t>0运算电路200.5S-++-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)步骤：1.由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)2.画运算电路图3.应用电路分析方法求响应的象函数4.反变换求原函数§14.5

应用拉普拉斯变换法分析线性电路2)画运算电路

iL

1000

F200V+–+–30

10

0.1HS(t=0)uC例1：已知uC(0

)=100V,t=0时闭合S,求iL、uL。解：1）求初值

iL(0

)=5A，uC(0

)=100VI1(s)

0.5

I2(s)

+–+–30

10

0.1s

IL(s)

+–1000s

100s

200s

I2(s)

3)应用回路法

解方程得

4)反变换求原函数

根据D(s)根，I1(s)可分解为其中求UL(s)0.5

I2(s)

+–+–30

10

0.1s

IL(s)

+–1000s

100s

200s

UL(s)解：例2.

若给定u(t)=12sin5t,uC(0

)=1V,iL(0

)=5A,R=6

,L=1H,

C=0.04F,求i(t)。uCu(t)

+–+R

i(t)

S(t=0)L

–CU(s)=L[u(t)]=L[12sin5t]，由运算电路得I(s)

5

+–+6

s

–+–s25–+U(s)

1s所以：例3.

在图示电路中，uC1(0-)=0,uC2(0-)=0.C1=1F,C2=2F，求冲击响应uC1(t),iC1(t),uC2(t),iC2(t)解：1

iC1(t)

+–+–C1C2iC2(t)

1

+–uC1(t)

(t)

uC2(t)

uC1(t)

IC2(s)

IC1(s)

11+–+–1+–UC1(s)

UC2(s)

UC1(s)

1/s1/2s

作出运算电路如图节点方程：整理：解得：例4.

图示电路中，求开关打开后的电流及两电感元件上的电压。解：3

iL1(t)

10V–2

S(t=0)0.3H0.1H+s101.5+–3

I(s)

–20.3s0.1s+iL1(0-)=10/2=5A，画出运算电路，则可得即电流初值可以使用磁链守恒计算：说明：两个线圈作为一个系统观察，其上并无冲击电压，故系统的总磁链应守恒。3

iL1(t)

10V–2

S(t=0)0.3H0.1H+即1突变的电流的初值还可以这样计算：故有i(0+)=3.75A在t=0+时，由KCL:iL1(0–)

iL1(0+)，iL2(0+)

iL2(0–)，即iL1、

iL2都发生了突变，L1和L2上都有冲激电压；注意到t=0时KVL必须成立，所以回路上的两个冲激电压必须等值反向如图所示：–iL2(t)

+10V+–3

–2

0.3H0.1H+iL1(t)

K

K

i(t)

由iL1(0+)=iL2(0+)L1i1(0-)

I2(s)

+sM

–+–R2

sL1

sL2

R1

–+I1(s)

US2sMi1(0-)

（1）

当本回路电流通过的线圈间存在互感时，自阻抗中增加一项互感自阻抗，若回路电流流过顺向串联的互感线圈则取“﹢”号，反之取“﹣”号。含有互感的电路列写回路电流法小结：（2）任何两个回路电流通过的线圈间存在互感时，互阻抗中增加一项互感互阻抗，若两回路电流的参考方向对同名端一致时取“﹢”号，反之取“﹣”号。解：写回路方程：5.在图示电路中求互感电压uM1和uM2。解方程得出I1(s),I2(s)+M

US1

–+–R2

L1

L2

i2

i1

R1

US2

L1i1(0-)

I2(s)

+sM