工程数学概率论与数理统计考试大纲

工程数学概率论与数理统计考试大纲一、课程性质与设置目的、基本要求

（一）课程性质与设置目的

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是工科各专业的一门重要的公共基础课。概率论从数量上研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础。数得统计研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。通过本课程的学习，方便考生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使考生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养考生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

（二）本课程的基本要求

本课程概率论部分包括随机事件与概率、随机变量与概率分布、随机向量、随机变量的数字特征、大数定律与极限定理初步；数理统计总值发包括样本及抽样分布、参数估计、假设检验等内容。通过本课程的学习，对考生有下列基本要求：

1.

理解概率论的基本概念，掌握随机事件与概率的性质与运算，掌握随机变量的概率分布的性质与运算，掌握随机变量的期望与方差的性质与运算，熟记常用概率分布的期望与方差。

2.

理解数理统计的基本概念，掌握参数点估计与区间估计的基本方法，掌握假设检验的基本步骤与方法。

3.

不仅为后继课程中用到的概率论与数量统计知识作好准备，而且通俗庆用一课程介绍的统计方法解决一些简单的实际问题，并为更深入学习概率论与数理统计知识打好基础。

（三）本课程与相关课程的联系

1.

高等数学与线性代数是本课程的先修课程。高等数学课程中,本课程主要要用到导数,不定积分与定积分、偏导数、二重积分与级数等。本课程还用到排列组合的知识。

2.

本课程为工科各专业中与随机性数学有关的后继课程准备必要理论知识。

二、课程内容与考核目标

第一章

随机事件与概率

（一）考核知识点

1.

随机事件

1.1

随机试验与随机事件

1.2

事件的关系与运算

2.

概率

2.1

概率的定义与性质

2.2

古典概型

2.3

利用概率性质计算古典概率

3.

条件概率与事件的独立性

3.1

条件概率与乘法公式

3.2

全概率公式与贝叶斯（Bayes)公式

3.3

事件的独立性

3.4

贝努利（Bernoulli)概型

（二）自学要求

本章总的要求是：了解随机试验与随机事件的概念，理解并掌握事件的关系与运算；理解概率的定义与基本性质；了解古典概型的定义，会计算简单的古典概率；会用概率性质计算古典概率；理解条件概率的定义，掌握概率乘法公式；了解全概率公式与贝叶斯公式并会进行简单计算；理解事件的独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及其有关概率计算；掌握贝努利概型的计算方法。

本章的重点是：事件的关系与运算；概率的基本性质及计算；事件的独立性及有关概率计算。

（三）考核要求

1.

随机事件

1.1

随机试验与随机事件,要求达到领会层次。

了解随机试验、随机事件的概念。

1.2

事件的关系与运算，要求达到简单应用层次。

理解事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念，掌握和事件、积事件、对立事件的基本运算规律。

2.

概率

2.1

概率的定义与性质，要求达到领会层次。

正确理解概率的概念。事件A的概率是事件A发生可能性大小的度量，是进行大量重复试验时事件A发生频率的稳定值。

熟记下列概率的基本性质：

（1）O≤P(A)≤1;P(Ω)=1,P(φ)=0;

（2）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB);

特别当AB=φ时，

P（A∪B）=P（A）+P（B）；

（3）P（A）=1-P（A）.

2.2

古典概型，要求达到领会层次。

了解古典型的定义，会计算简单的古典概型问题。

2.3

利用概率性质计算简单的古典概率问题。

3.

条件概率与事件的独立性

3.1

条件概率与乘法公式，要求达到简单用层次。

理解条件概率的定义，掌握概率乘法公式并进行计算。

3.2

全概率公式与贝叶斯公式，要求达到领会层次

了解全概率公式与贝叶斯公式，会用这两个公式进行计算。

3.3

事件的独立性，要求达到综合应用层次。

理解事件的独立性的概念；熟记相互独立事件的积事件的概率计算公式，即若A，B相互独立，则

P（AB）=P（A）P（B）

3.4

贝努利概型，要求达到简单应用层次。

理解贝努利概型的定义，

第二章

随机变量与概率分布

（一）考核知识点

1.

随机变量的概念

2.

离散随机变量

2.1

离散随机变量分布列

2.2

两点分布

2.3

二项分布

2.4

泊松(Poisson)分布

3.

连续随机变量

3.1

统计直方图

3.2

连续随机变量的概率密度

3.3

均匀分布与指数分布

4.

随机变量的分布函数

4.1

分布函数概念

4.2

离散随机变量的分布函数

4.3

连续随机变量的分布函数

4.4

分布函灵敏的性质

4.5

正态分布及其概率计算

5.

随机变量的函数及其分布

5.1

离散随机变量函数的分布

5.2

连续随机变量函数的分布

(二)自学要求

本章总的要求是：理解随机变量的概念；理解离散随机变量及其分布列的概念，掌握较简单的离散随机变量的分布列的计算；掌握两点分布、二项分布与泊松分布；理解连续随机变量及其概率密芳的概念，掌握概率密芳的性质及有关计算；了解均匀分布与指数分布；熟练掌握正态分布及其概率计算；了解随机变量的函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布。

本章的重点是：离散随机变量及其分布列，连续随机变量及其概率密度，正态分布及其概率计算。

（三）考核要求

1.

随机变量的概念,要求达到领会层次。

理解随机变量的概念及其分类。

2.

离散随机变量

2.1

离散随机量的分布列，要求在到简单应用层次。

理解离散随机变量的分布列的概念与性质，掌握求较简单的离散随机变量的分布列的方法。

2.2

两点分布，要求达到领会层次

熟记两点分布的分布列。

2.3

二项分布，要求达到简单应用层次

熟记二项分布的分布列，

2.4

泊松分布，要求达到简单应用层次。

熟记泊松分布的分布列，了解泊松分布的应用背景，会查泊松分布表并进行有关计算。

3.

连续随机变量

3.1

统计直方图,要求达到识记层次

知道如何从试验数据出发作出统计直方图,了解从此引出的连续随机变量的概率密度的概念。

3.2

连续随机变量的概率密度，要求达到简单应用层次。

理解连续随机变量概率密度的概念，熟记概率密度的性质，并熟练掌握由概率密度计算概率的方法。

3.3

均匀分布与指数分布，要求达到领会层次。

记住均匀分布与指数分布的概率密度，会计算相应的概率。

4.

随机变量的分布函数

4.1

分布函数的概念，要求达到领会层次。

理解分布函数的概念，熟记由分布函数计算概率的公式：

P{

a<X≤b}=F(b)-F(a).

4.2

离散随机变量的分布函数,要求达到领会层次.

了解离散随机变量的分布列与分布函数的关系.

4.3

连续随机变量的分布函数,要求达到简单应用层次.

理解连续随机变量的概率密度与分布函数的在系,并掌握计算有关概率的方法.

4.4

分布函数的性质,要求达到识记层次.

知道分布函数的三条性质.

4.5

正态分布及其概率计算,要求达到综合应用层次

熟记正态分布N(μ,σ2)的定义,理解参数μ及σ2的概率意义.熟练掌握查标准正态分布函数表的方法.当随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)时,记φ(x)为标准正态分布函数,熟练掌握以下列公式计算概率:

b-μ

a-μ

P{a<X≤b}=φ(——）-φ(——）；

σ

σ

b-μ

P{X≤b}=φ(——）；

σ

a-μ

P{X≤a}=1-φ(——）；

σ

理解标准正态分布上侧分位数的定义与向何意义，并会查上侧分位数的值。

5.

随机变量的函数及春分布

5.1

离散随机变量函数的分布，要求达到识记层次。

知道较简单的离散随机变量的函数的分布列的求法。

5.2

连续随机变量函数的分布，要求达到领会层次。

理解并掌握求连续随机变量函数（限于严格单函数）的概率密度的方法。记住关于正态随机变量的线性函数分布的结论。

第三章

随机向量

（一）考核知识点

1.

二维随机向量

1.1

二维离散随机向量

1.2

二维连续随机向量

1.3

均匀分布

1.4

二维正态分布

2.

二维随机向量的分布函数与边缘分布

2.1

分布函数的定义与性质

2.2

二维随机向量的边缘分布

3.

随机变量的独立性

3.1

两个随机变量的独立性

3.2

两个独立随机变量之和的分布

4.

n

维随机向量

4.1

n

维随机向量及

n

个随机变量的独立性

4.2

X2

分布、t

分布与

F

分布

（二）自学要求

本章总的要求是：了解二维离散随机向量及其分布列的概念；了解二维连续随机向量及其概率密度的概念，记住概率密度的性质；了解均匀分布并会进行计算；知道二维正态分布；知道二维随机向量的分布函数的定义与性质；会求二维离散随机向量边缘分布列；掌握二维连续随机向量边缘概率密度计算；了解两个随机变量独立性的概念；会计算较简单的两个独立随机变量之和的概率密度；知道n维随机向量的概念、n个随机变量独立性的概念、n个随机变量独立性的概念、n个相互独立的正态随机变量之和的分布；了解X2分布、t分布和F分布。

本章的重点是：二维连续随机向量及春概率密度；由联合概率密度确定边缘概率密度；两个随机变量的独立性。

（三）考核要求

1.

二维随机向量

1.1

二维离散随机向量,要求达到识记层次.

了解二维随机向量的概念.知道二维离散随机向量及其分布列的概念,记住分布的性质.

1.2

二维连续随机向量,要求达到领会层次.

了解二维连续随机向量及春概率密度的概念,记住概率密度的性质.

1.3

均匀分布,要求达到领会层次.

记住均匀分布的概率密度,会计算较简单的区域上的均匀分布的概率.

1.4

二维正态分布,要求达到识记层次.

知道二维正态分布的概率密度.

2.

二维随机向量的分布函数与边缘分布

2.1

分布函数的定义与性质,要求达到识记层次

知道二维随机向量的分布函数的定义与性质.

2.2

二维随机向量的边缘分布,要求达到简单应用层次.

了解二维离钐随机向量边缘分布列的概念,会由联合分布列求边缘分布列;了解二维连续随机向量的边缘概率密度的概念,掌握由联合概率密度求边缘概率密度的计算.

知道二维正态分布的边缘分布为一维正态分布.

3.

随机变量的独立性

3.1

两个随机变量的独立性,要求达到领会层次.

了解两个随机变量相互独立的概念;了解两个连续随机变量相互独立的充分必要条件;知道二维正态分布中两个随机变量相互独立的充分必要条件是ρ=0.

3.2

两个独立随机变量之和的分布,要求达到领会层次.

记住两个独立随机变量之和的概率密度公式,会计算较简单的两个独立随机变量之和的概率密度.

4.

n

维随机向量

4.1

n

维随机向量及

n

个随机变量的独立性，要求达到识记层次。

知道

n

维随机向量的概念；知道

n

个随机变量相互独立的定义，n

个

4.2

X2分布、t分布F分布，要求达到领会层次。

了解X2分布、t分布F分布的上侧分位数的定义及其几何意义，会熟练地运用三种分布表查出上侧分位数的值。

第四章

随机变量的数字特性

（一）考核知识点

1.

期望

1.1

离散随机变量的期望及常用离散分布的期望

1.2

连续随机变量的期望及常用连续分布的期望

1.3

随机变量函数的期望

1.4

期望的性质

2.

方差

2.1

方差的定义与计算公式、标准差

2.2

常用概率分布的方差

2.3

方差的性质

3.

协方差与相关系数

3.1

协方差及其性质

3.2

相关系数及其性质

4.

矩

(二)

自学要求

本章总的要求是:理解期望的概念;掌握期望的计算;熟记两点分布、二项分布、泊松分布、指数分布与正态分布的期望；掌握随机变量函数的期望的计算；熟练掌握期望的性质及其计算；理解方差的概念；掌握方差的计算；熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布与正态分布的方差；掌握方差的性质及其计算；了解协方差与相关系数的概念及其性质；知道矩的概念。

本章的重点是：期望、方差的性质与计算。

（三）考核要求

1.

期望

1.1

离散随机变量的期望及常用离散分布的期望,要法语达到简单应用层次.

理解和熟记离散随机变量期望的定义,会计算较简单的离散随机变量的期望.

熟记两点分布、二项分布、泊松分布的期望。

1.2

连续随机变量的期望及常用连续分布的期望，要求达到简单应用层次。

理解和熟记连续随机变量期望的定义，掌握较简单的连续随机变量期望的计算。

熟记正态分布、均匀分布与指数分布的期望。

1.3

随机变量函数的期望，要求达到领会层次。

记住计算Y=g（X），Z=g（X，Y）的期望的公式，会运用公式计算较简单的随机变量函数的期望。

1.4

期望的性质，要求达到综合应用层次。

熟记期望的性质，熟练掌握期望的计算。

2.

方差

2.1

方差的定义与计算公式、标准差，要求达到简单应用层次。

熟记方差的定义及计算公式：

D（X）=E（X2）-[E（X）]2

掌握较简单的随机变量方差的计算.

了解标准差定义.

2.2

常用概率分布的方差,要求达到领会层次.

熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布与指数分布的方差。

2.3

方差的性质，要求达到简单应用层次。

熟记方差的性质，掌握方差的计算。

3.

协方差与相关系数

3.1

协方差及其性质,要求达到领会层次.

了解协方差定义及其性质并会计算.

3.2

相关系数及其性质,要求达到领会层次.

了解相关系数定义及春性质并会计算.知道随机变量相互独立与不相关的联系与区别.知道二维正态分布中X,Y的相关系灵敏是参数ρ;当(X,Y)服从二维正态分布时,X,Y相互独立与X,Y不相关等价.

4.

矩,要求达到识记层次.

知道随机变量的原点矩,中心矩的概念.

第五章

大数定律与中心极限定理

（一）考核知识点

1.

大数定律

1.1

切比雪夫(Chebyshev)不等式

1.2

贝努利大数定律

1.3

独立同分布序列的切刀雪夫大数定律

2.

中心极限定理

2.1

独立同分布序列的中心极限定理

2.2

棣莫弗(De

Moivre)

-

拉普拉斯(Laplace)中心极限定理

(二)

自学要求

本章总的要求是:知道切比雪夫不等式:了解贝努里大数定律;了解独立同分布序列的切比雪夫大数定律;了解独立同分布序列的中心极限定理;知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理.

(三)

考核要求

1.

大数定律

1.1

切比雪夫不等式,要求达到识记层次.

知道切比雪夫不等式的含义.

1.2

贝努利大数定律,要求到领会层次

了解贝努利大数定律及其在概率论中的重要意义.

1.3

独立同分布序列的切比雪夫大数定律,要求达到领会层次.

了解独立同分布序列的切比雪夫大数定律及其在概率论中重要意义.

2.

中心极限定理

2.1

独立同分布序列的中心极限定理,要求达到领会层次.

了解独立同分布序列的中心极限定理及春在概率论中的重要意义.

2.2

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,要求达到识记层次.

知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理.

第六章

样本及抽样分布

(一)考核知识点

1.

总体与样本

1.1

总体、个体及总体分布

1.2

样本及样本分布

2.

样本数字特征与经验分布函数

2.1

样本均值

2.2

样本方差与样本标准差

2.3

样本矩

2.4

经验分布函数

3.

统计量与抽样分布

3.1

统计量与抽样分布概念

3.2

正态总体的抽样分布

(二)自学要求

本章总的要求是：理解总体、个体、样本的概念；了解总体分布与样本分布；熟练掌握样本均值与样本方差的计算，并会求其它样本数字特征；理解统计量的概念，了解抽样分布概念；了解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布；了解正态总体的其他抽样分布。

本章的重点是：样本均值与样本方差；正态总体的抽样分布。

（三）考核要求

1.

总体与样本

1.1

总体、个体及总体分布,要求达到领会层次

理解总体一个体的概念,了解总体分布概念.

1.2

样本及样本分布,要求达到领会层次

理解简单随机样本的概念.了解样本分布的概念.知道样本与样本观察值的联系与区别

2.

样本数字特征与经验分布函数

2.1

样本均值,要求达到简单庆用层次

熟练掌握样本均值的计算.

2.2

样本方差与样本标准差,要求达到简单应用层次.

熟练掌握样本方有效期与样本标准差的计算.

2.3

样本矩,要求达到识记层次.

知道样本原点矩、样本中心矩的定义与计算。

2.4

经验分布函数，要求达到识记层次。

知道经验分布函数的定义与计算.

3.

统计量与抽样分布

3.1

统计量与样分布概念，要求达到领会层次

理解统计量的概念，了解抽样分布的概念

3.2

正态总体的抽样分布，要求达到领会层次

了解并熟记正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布，了解并记住正态总体的其它的抽样分布.

第七章

参数估计

（一）考核知识点

1.

点估计

1.1

点估计的概念

1.2

矩估计法

1.3

极大似然估计法

2.

估计量的评选标准

2.1

无偏性

2.2

有效性

2.3

相合性

3.

区间估计

3.1

置信区间概念

3.2

正态总体均值的区间估计

3.3

正态总体方差的区间估计

(二)自学要求

本章总的要求是:理解点估计的概念:

掌握矩估计法;了解极大似然估计法;了解无偏性的概念;知道有效性、相合性的概念；理解置信区间概念；熟练掌握正态总体均值的区间估计；掌握正态总体方差的区间估计。

本章的重点是：点估计的矩估计法和极大似然估计法；正态总体均值和方差的区间估计。

（三）考核要求

1.

点估计

1.1

点估计的概念，要求达到领会层次

理解点估计的概念。

1.2

矩估计法，要求达到简单应用层次。

掌握总体未知参数的矩估计法（一阶、二阶）

1.3

极大似然估计法，要求达到简单应用层次。

了解总体未知能数的极大似然估计法，掌握较简单的极大似然估计法的计算。

2.

估计量的评选标准

2.1

无偏性，要求达到领会层次

了解无偏性的定义，了解样本均值，样本方差分别是总体均值，总体方差的无偏估计。

2.2

有效性，要求达到识记层次。

知道有效性的概念。

2.3

相合性，要求达到领会层次

知道相合性的概念。

3.

区间估计

3.1

置信区间概念，要求达到领会层次。

理解置信区间和置信度的概念。

3.2

正态总体均值的区间估计，要求达到简单应用层次。

熟记单个正态总体在方差已知与方差示知时的均值的置信区间，并熟练掌握计算；熟记两个正态总体方差未知（方差相等）时均值差的置信区间，并掌握计算方法。

3.3

正态总体方差的区间估计，要求达到简单应用层次。

熟记单个正态总体均值未知时方差的置信区间，两个正态总体在均值未知时方差比的置信区间，并掌握计算方法。

第八章

假设检验

（一）考核知识点

1.

假设检验的基本概念

1.1

假设检验的基本原理

1.2

两类错误

1.3

假设检验的基本骤

2.

正态总体均值与方差的假设检验

2.1

正态总体均值的假设检验

2.2

正态总体方有效期的假设检验

3.

总体分布假设的

X2

检验法

3.1

皮尔逊(Pearson)的

X2

检验法

3.2

总体分布假设的

X2

检验法

(二)自学要求

本章总的要求是:理解假设检验的基本概念;掌握假设检验的基本步骤;熟练掌握正态总体均值的假设检验;掌握正态总体方差的假设检验;了解总体分布假设的X2检验法.

本章的重点是:正态总体均值与方差的假设检验.

(三)考核要求

1.

假设检验的基本概念

1.1

假设检验的基本原理,要求达到领会层次.

理解假设检验的基本思想与基本原理.

1.2

两类错误,要求达到识记层次

知道假设检验中两类错误的概念.

1.3

2.

正态总体均值与方差的假设检验

2.1

正态总体均值的假设检验,要求达到简单应用层次

熟记单个正态总体方差已知与方差未知时均值的假设检验,并熟练掌握计算方法;熟记两个正态总体方差未知(方差相等)时两个总体方差相等的假设检验,并掌握计算方法.

2.2

正态总体方差的假设检验,要求达到简单应用层次

熟记单个正态总体均值未知时总体方差的假设检验,并掌握计算方法;熟记两个正态总体均值未知时两个总体方差相等的假设检验,并掌握计算方法.

3.

总体分布假设的

X2

检验法

3.1

皮尔逊定理,要求达到领会层次

了解皮尔逊定量,并能利用定理对取有限值的离散分布进行

X2

检验.

3.2

总体分布假设的

X2

检验法,要求达到领会层次.

了解总体分布已知或总体分布含有未知参数时,总体分布假设的

X2

检验法.

三、有关说明与实施要求

(一)关于“课程内容与考核目标”中有关提法的说明

本大纲提出的“自学要求”中，对概念和理论要求的提法是“知道”、“了解”、“理解”；在知识与公式的记忆方面，提法是“记住”、“熟记”；对技能要求是提法是“会”、“掌握”、“熟练掌握”。其中每一种提法的要求后者较前者为高。为使考生进一步把握“自学要求”，大纲在“考核要求”中，提出了四个能力层次要求：“识记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”。四个能力层次是递进等级关系，后一层次的水平必须包含有一层次的水平。各个层次的含义是：

1.

识记

知道有关的概念与知识的意义,并能正确认知与表述.

2.

领会

在识记的基础上,能全面把握基本概念与基本原理,掌握有关概念与原理的联系与区别.

3.

简单应用

在领会的基础上,能用学过的一、二个知识点，分析和解决较复杂的问题。

4.

综合应用

在简单应用的基础上，能用学过的多个知识点，综合分析和解决复杂的问题。

（二）关于自学教材与主要参考书

自学教材：

《概率率与数理统计》全国高等教育自学考试指导委员会组编，范金城编，辽宁大学出版社，1999年版

主要参考书：

1.《概率论与数理统计教程》沈恒范编,高等教育出版社,1995年第3版.

2.《概率论与数理统计》浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，1989年第2版

（三）自学方法指导

本课程的复盖面为自学考试工科各专业。本课程是高等数学课程的后继课程，在学习本课程时应注意以下几点：

1.

在开始阅读某一章前,先翻阅该章的考核知识点,自学要求、考核要求中每一知识点的能力层次要求和具体要求，以便在自学时做到心中有数，抓住重点，避免平均使用力量，必须遵照循序渐进的原则，对每一章节，要逐段阅读，吃透每一个知识点，对基本概念与理论必须理解，对基本公式必须熟记，对基本方法必须掌握。一般，在未达到上述要求前，不宜学习新的内容，但如果有个别不阻碍学习新内容的细节问题一时党政军不能解决，可将其暂时放下，不要因此而止步不前。在自学过程中，即要思考问题，也要进行演算，把定理、性质与公式的推导、例题计算等再演算一遍，可以加深和巩固所学知识的印象，也有利于了解推理与计算中的关键所在，训练解题能力，从而不断提高自学能力。做作业是帮助理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题以及提高运算能力的重要环节。做题要步骤清楚，运算准确，书写整洁，要算出最后结果。

2.

本课程是研究随机现象统计规律性的数学学科,因为本课程是研究随机现象的,其认识方法,学习方法与其他数学学科有所不同.在学习过程中,会遇到相当多的概念、定义、性质与公式，对这引起知识要做到真正理解，防止死记硬背。而要做到真正理解，必须从实际背景、统计意义的角度去领会，如：概率是频率的稳定值，统计直方图引出概率密度等等。要从概率与统计联系的角度，深入直方图引出概率密度等等。要从概率与统计联系的角度，深入理解概率与数理统计的基本概