基本不等式高一上数学人教A版（2019）必修一

2.2基本不等式一二三教学目标掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程理解基本不等式的取最值成立条件（一正二定三相等）利用基本不等式解决简单的最值问题教学目标难点重点易错点复习导入

当且仅当a=b时，等号成立当通常把上式称为基本不等式说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数复习导入

当且仅当a=b时，等号成立说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数算数平均数几何平均数

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？本节就来研究这个问题。新课讲授新课讲授

基本不等式的证明作差比较法）基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？例1

若,求的最小值.积定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果积xy

等于定值P，那么当x=y时，和

x+y有最小值

；

证明：和定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果和

x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.

证明：归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；

在ab为定值时，便可以知道a+b的最值.（二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）【例题】用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？

基本不等式的实际应用【例题】用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

基本不等式的实际应用【例题】某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？

基本不等式的实际应用课堂练习2．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？答：当这两个正数均为6时，它们的和最小。2．（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？答：当这两个正数均为96时，它们的积最大。3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房屋使总造价最低？最低总造价是多少？当3600y=4800x,即x=6,y=8时，z有最小值，最低造价为63400元。6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？所以仓库应建在距离车站5km处，才能使两项费用之和最小，最小费用为8万元．7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？1.两个不等式适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈R