函数的零点与方程的解 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解

第四章《函数的应用二》第五节

高一数学必修

第一册人教（A版）问题导入探究新知巩固新知课堂小结布置作业判断下列方程是否有解？复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业

二次函数y=f(x)有零点

次方程f(x)=0有实数解

函数y=f(x)的图像与x轴有交点复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业

对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数解

函数y=f(x)的图像与x轴有交点方程

的解问题函数

的零点问题函数

的图与

轴的交点问题复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业

观察f(x)=x²－2x－3的图象，我们已经知道在区间[2，4]上有零点.这时，①函数图象具有什么特征呢？②在区间[-2，0]上是否也有类似特征？

如果在函数y=f(x)区间在[a,b]上有类似的特征，统一用f(a)f(b)＜0来刻画.f(-2)＞0f(0)<0f(2)<0f(4)>0复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业

函数y=f(x)在某一区间[a,b]上满足f(a)f(b)＜0，在区间(a,b)内一定存在零点吗？复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业

观察

在区间[-1,1]上的函数图象，在区间(-1,1)上是否存在零点？总结:这就说明只满足f(a)f(b)＜0这一条件不一定有零点，还要加一个条件函数图象是连续不断的。

对比f(x)=x²-2x-3在区间[2,4]上有零点的函数图象，你有什么发现？复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业零点存在定理

一般的，如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解。

至少有一个至少一个135[0,2][-3,6][-4,10]复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业当

时，函数

在区间

上的一定没有零点吗？说明零点存在定理的条件是结论的充分不必要条件.复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，

则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，

则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （）(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)

内存在零点，则有f(a)·f(b)<0 （）(4)已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （）函数零点存在定理的三个注意点：

1函数是连续的。

2定理不可逆。

3至少存在一个零点，不排除更多。复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它有且仅有一个零点．利用计算工具，列出x、f(x)的对应值表：例1

求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数.108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.81012.114.2又f(x)在区间[2,3]上连续

∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．问题：如何说明零点的唯一性？解法1：

设函数f(x)=lnx+2x－6，f(x)=lnx+2x－6复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业解法2：例1

求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数.数形结合lnx+2x－6=0的根lnx=-2x+6的根可看成判断y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数y=－2x+6y=lnx6Ox1234y复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业A.0B.1C.2D.3A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)复习旧知探究新知巩固新知课堂小结布置作业