制定合理的保姆招聘计划

数学建模课堂讨论题——如何制定合理的保姆招聘计划讨论组成员：2009级数学与应用数学1班高江妮40912156廖宗国梓贵华40912024如何制定合理的保姆招聘计划摘要本文主要讨论如何制定合理的保姆招聘计划以满足公司对市场的需求，同时公司的支出尽量最小化，从而获得最大的利润。针对问题一，在不解雇保姆的前提下，寻求最优的的招聘计划，建立数学优化模型，这样就要求在以满足市场需求为前提下尽量少招聘保姆。设出每个季度开始的保姆数、招聘的保姆数，建立以四个季度保姆总数为变量的目标函数，然后列出满足四个季度需要的约束条件。在满足约束条件的前提下，依次求出每个季度需要招聘的保姆数量，从而制定合理的招聘计划，进一步确定哪些季度招聘人数增加对招聘计划的影响，并计算出增加的数量。针对问题二，在公司允许解雇保姆的情况下，建立数学优化模型，进一步确定要求的优化解。设出每个季度开始的保姆数、招聘的保姆数以及每个季度结束后解雇的保姆数，建立以四个季度保姆总数为变量的目标函数，并列出满足四个季度需要的约束条件。在约束条件下求解最优解，由于在求解的过程中，不能直接求出优化解，只能采用近似简化的方法来求解。首先求出每个季度的平均每日工作人数，并把它作为一个列约束条件的标准，然后根据题目所给的条件，求出每个季度解雇人数的最大值，依次求出每个季度保姆人数的最小值，从而求出保姆总数的最小值。关键词：保姆招聘计划优化模型最优解近似简化。一、问题的重述与分析保姆公司为顾主提供保姆服务，为了既要满足市场的需求，又要达到公司赢利的目的，必须制定合理的保姆招聘计划。不同季度的市场保姆需求量不同，以及不同情况下，公司对保姆的招聘数量需要计划，同时也要优化，从而达到双赢。市场每个季度的需求量是一定的，作为公司的一方，人力资源必须做到充分而又合理的利用，既不要浪费又要满足市场的需求。所以在不允许解雇的情况下，同时又能满足市场需求而尽量少招聘保姆。根据题目所给条件以及所求目标，确定这是一个优化问题，进而需要建立数学优化模型，确定目标函数，在约束条件下求最优解。在公司不允许解雇保姆的情况下，制定合理的招聘计划，不但要公司付出的报酬最少，而且要确定哪些季度需求的增加不会影响招聘计划，进一步求出需求增加的量；在公司允许在每个季度结束时解雇保姆的情况下，制定一个合理的计划，使得公司付出的报酬最少。二、基本假设由于影响公司制定招聘计划的因素很多，在这里忽略那些次要的因素，主要只考虑满足每个季度的需要和公司付出的报酬；假设市场需求不会突然改变，国家的宏观调控政策稳定，公司经营理念不变；假设公司在每个季度开始时招聘保姆，在每个季度结束时解雇保姆。三、符号的约定和名词解释：春季的保姆数量；：夏季的保姆数量；：秋季的保姆数量；：冬季的保姆数量；：春季公司招聘的保姆数量；：夏季公司招聘的保姆数量；：秋季公司招聘的保姆数量；冬季公司招聘的保姆数量；春季结束后公司解雇的保姆数量；：夏季结束后公司解雇的保姆数量；：春季结束后公司解雇的保姆数量；：每个季度初始需求量；每个季度的需求量（i=1，2，3，4）；：季度需求增加量；：四个季度保姆总数的最小值；：一年四个季度公司最终付出的报酬；：每个季度平均每日所需的人数（i=1，2，3，4）。四、模型的建立为公司制定一个合理的保姆招聘计划，不但要考虑到满足各个季度的需求，还要使公司付出的报酬最少，由于每个月保姆的工资是相等的，所以只需要使四个季度保姆的总数最少即可，这样就把问题转化为求保姆总数在约束条件下的最优解。对保姆总数的优化问题，我们可以根据题目要求，分为下面两种情况来讨论。4.1模型一：公司不允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划，哪些季度增加不影响招聘计划，增加多少？建立目标函数：，满足季度需求的约束条件：，，，，，，，，那么，进一步分析出哪些季度的增加不影响公司招聘计划以及增加的量，公司一年付出的最小报酬：.4.2公司允许解雇保姆，请为公司制定合理的招聘计划补充假设假设公司的经营理念稳定，每个季度结束以后，总是先让保姆自愿离职，然后公司再进行对保姆的解雇，而不考虑自动离职和被解雇对象之间形成的重复现象；假设公司在每个季度开始时，开始招聘新保姆，而且这些保姆需要进行5天的培训；假设一个季度以90天计算。建立模型建立目标函数：，满足公司经营方式和季度需求的约束条件：，，，，那么，公司一年付出的最小报酬为.五、模型的求解根据上述所建立的模型，针对题目中的两个问题，进一步对所建立的模型求解，分别求出相应的量和最优解，解答两个问题。5.1求解模型一要使最小，那么只要使取得最小值，下面分别对各个变量进行求解。根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，解出，.，，即，春季的需求量可以增加，可以增加1800.，但是等春季结束后要有的保姆自动离职，所以夏季开始时，公司必须招人。根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，解出，所以取，，.根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，解出，所以取，，取.那么，，，即，秋季的需求量可以增加，增加的量为1000.根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，解出，所以取，，.5.2求解模型二要使最小，那么只要使取得最小值，下面分别对各个变量进行求解。但是，根据所建立的数学模型二，不能直接解出各个量，所以在求解模型的过程中，要对模型进行合理的分析简化，下面首先对模型的进行简化。模型的简化公司在每个季度结束时，都会解雇一部分保姆，但是在每个季度开始的时候，上个季度留下的保姆必须在前5天能够满足该季度市场的需求。那么，我们以每个季度每天需要人数的平均值为标准，进行对解雇人数的近似计算。每个季度平均每日所需的人数：春季：，夏季：，秋季：，冬季：.那么，夏季，秋季，冬季前5天必须满足约束条件：.模型的求解对模型而进行简化以后，现在对模型进行求解。根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，解出，.根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，求得.根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，求得.根据约束条件，由于要最小那么也必须最小，求得.六、模型的结果及分析根据以上模型的建立与求解，分别以表格的形式给出问题一、二的结果，进一步对所建模型的合理性与结果分析。6.1模型的求解结果针对题目要求，要分别对两个问题进行解答，根据模型的求解，给出求解之后两个模型的结果，并针对性的给出两个问题的答案。6.1.1模型一的求解结果表1——问题一的结果季季度春季夏季秋季冬季季度需求量（）6000750055009000季度初人数（）120117100143计划招聘人数（）015058需求量增加是否影响招聘计划（是/否）否是否是最大可增加需求量（）18001000公司一年付出的最小报酬（/元）根据表1给出的数据，可以看出春季和秋季需求的增加不影响招聘计划；春季需求量可以增加1800人日，秋季需求量可以增加1000人日；在公司被允许解雇保姆的情况下，公司一年付出的最小报酬为4608000元。6.1.2模型二的求解结果表2——问题二的结果季季度春季夏季秋季冬季季度需求量（）6000750055009000季度初人数（）12011887144计划招聘人数（）0342670季度末解雇人数（）18390每个季度平均每日所需的人数（）678462100公司一年付出的最小报酬（/元）在公司允许解雇保姆的情况下以及作出的合理假设和制定每个季度每天需要人数的平均值为标准，计算得出表2的结果。根据表2的数据，为公司制定的招聘计划如下：春季、夏季、秋季、冬季招聘的人数分别为0、34、26、70；春季、夏季、秋季季度末解雇的人数分别为18、39、0；公司一年付出的最小报酬为3984000元。6.2模型的分析首先，对模型的可行性分析，建立的模型能够满足市场的需求，同时基本能够保证公司付出的报酬最少，是一个优化的数学模型，所以模型的建立是可行。其次，从经济效益对所建立模型进行分析，基本能够同时满足市场的需求和公司获得最大利润，即能够实现公司与市场的双赢。最后，对所面临的风险进行分析，模型是在假设市场需求不会突然改变，国家的宏观调控政策稳定，公司经营理念不变的情况下进行的，所以所建立的数学模型基本上把风险降到最低。此外，在模型的求解过程中，运用了很多的数学近似取舍思想，但是都是合乎实际，这样使模型进一步得到简化，从而也优化了模型。七、模型的评价和改进所建立的数学模型，是在所给题目的背景下，通过合理的逻辑推理并简化得到的，具有一定的可行性，合理性，也符合实际生活的情景。因此，所建立的数学模型对公司的招聘计划、市场的需求以及公司的利润值具有一定的预见性，合理性和价值。但是，所建立的数学模型也存在很多的不足。在模型的建立过程中，有些地方模型的建立过于简单，在模型的求解中，没有应用任何数学软件，也没有应用程序来解题，而是根据推理运算得到结果，这样是最终的