【一题三变系列】数学九年级下册重要考点精练（人教版）06 相似三角形（热考题型）-解析版

专题05相似三角形判定、性质及其模型

【思维导图】

◎考点题型1相似三角形的判定-定义法

三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似.

例.（2022.全国.九年级课时练习）在二AfiC与中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一

组，那么能判断一A8C口的共有（）组.

①k记；②记=府；③ZA=ZA、④"=NC.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可.

【详解】解：能判断△A8CSZ^4,8，C的有①②或②④或③④，共3组，

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①两角分别

相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相

似.

变式1.（2022•全国•九年级课时练习）如图，点尸在二的边AC上，若要判定,则下列

添加的条件不正确的是（）

A.ZABP=NCB.ZAPB=ZABC

C.AP:AB=AB:ACD.AB:BP=ACiAB

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断即可求解.

【详解】解：根据题意得：ZA=ZA,

A、若NABP=NC,可利用AA证得故本选项不符合题意；

B、若ZAPB=ZABC,可利用AA证得,ABPs,4CB,故本选项不符合题意；

C、若":43=48:47,可利用$人$证得_他/38_4。5,故本选项不符合题意；

D、若=无法证得“ABPSoACB,故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

变式2.（2022•河北石家庄•九年级期末）将两个完全相同的等腰直角AA8C与AAFG按图所示的方式放

置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（）

A.aAEC与△ADBB.AABE与4DAEC.AABC与AADED.AAEC-^AADC

【答案】B

【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.

【详解】解：A.根据已知条件无法证明AAEC与AADB,故选项不符合题意；

B.「△Me与都为等腰直角三角形，

:.ZDAE=ZB=45°,

'：NAEB=NDEA,

：./\ABE^/\DAE；

故选项符合题意；

C.根据已知条件无法证明AABC与AA/）E,故选项不符合题意；

D.根据已知条件无法证明AAEC与△AOC,故选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是

解题的关键.

变式3.（2023•河北•九年级专题练习）如图，在“ABC中，P、Q分别为AB、4c边上的点，且满足

4^=4?-根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：

ACAB

嘉嘉说：连接P。，则PQ//8C.

淇淇说：&AQPsA3C.

对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）

A

A.嘉嘉正确，淇淇错误B.嘉嘉错误，淇淇正确C.两人都正确D.两人都错

误

【答案】B

【分析】根据鉴=黑，/出。=/。48可以判定34。尸6,4欣7,空与笑不一定相等，不能判定

ACABABAC

PQIIBC.

【详解】解：*：倏=哭，NPAQ=NCA3,

ACAB

：.^AQP^ABC,即淇淇的结论正确；

ZAQP=ZABC,ZAPQ=AACB,

不能得出NAQP=NACB或AAPQ=ZABC,

.••不能得出PQ//2C,即嘉嘉的结论不正确.

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键.

◎考点题型2相似三角形的判定-平行法

平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角

形与原三角形相似.

例.（2021•河北保定•九年级期末）如图，点F是矩形ABC。的边CQ上一点，射线BF交AO的延长线于点

E,则下列结论错误的是（）

【答案】C

r）pEF

【分析】先根据矩形的性质得A3//BCCW/AB,由OE//8C得到△£>£1/从而得到^，

DCJTD

些=竺，则可对8、C进行判断；由DF//AB得△EDFE4氏从而得到空=勺，则可对A进行判

DEDFAEAB

断；由于处=生，利用8C=A。，则可对。进行判断.

BEAE

【详解】解：:四边形A8CO为矩形,

AD//BC,CD//AB

■:DE//BC

:.ZDEF=ZCBF

又：4DFE=/CFB

：・&DEF~..CBF

,段=铝，空=建，所以8选项结论正确，C选项错误;

BCBFEDDF

■:DF//AB

:・ZDFE=ZABE

又•：ZDEF=ZAEB

:,/\EDFAE4B

.DE_DFADBF

*-AEAB*AEBE

所以A选项的结论正确；

、：BC=AD

.BFBC

*'BE-

所以。选项的结论正确.

故选：C

【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点.

变式1.（2021•上海市奉贤区实验中学九年级期中）在AABC中，点力、E分别在边AB、AC上，联结

DE,那么下列条件中不能判断AADE和AA8C相似的是（)

ArAn-AEAC

A.DE//BCB./AED=NBC.-D.-----=-----

ADACDEBC

【答案】D

【分析】画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可；

【详解】解：由题意得，NA=NA,

A、当。石〃8C时，AADE^^ABC；故本选项不符合题意；

B、当时，MADEsX\BC,,故本选项不符合题意；

C、当F=F时，△ADES/V1C8；故本选项不符合题意；

ADAC

ApAT

D、当；U=三时，不能推断与5c相似；故本选项符合题意；

DEBC

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明.

变式2.（2021.四川宜宾•九年级期中）如图，AB//CD,AE//FD,AE.FD分别交3c于点G、H,则

图中的相似三角形共有（）

B.4对C.5对D.6对

【答案】D

【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△8FH、XBAG、

△CEG.△C。，任意两个三角形都相似.

【详解】解：VAB//CD,AE//FD,

△BAGsACEG,

△BFHs^CEG,

△BFHsMDH,

△CEGs/\CDH,

△CDH^/XBAG.

.♦•相似三角形共有6对.

故选C.

【点睛】本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，以及〃个图形任

意两个都相似，共有几对相似的计算方法.

变式3.（2021.北京大兴•九年级期中）下列条件中，不能判断△ABC与ADE尸相似的是（）

B•筝=2且小”

A.ZA=Z£),NB=NF

、ABBCACcABAC口/c

-=---=---D.—=——且

DEEFDFDEDF

【答案】B

【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案.

【详解】解：A、ZA=ZD,NB=NF,根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出

△ABCS&DFE,故此选项不合题意;

B、—且NB=ND，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；

EFDF

ARnrAr

C、笑=2=篝，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出△ABCSZX3EF,故此选项

DEEFDF

不合题意；

。、受=芸且/4="，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出

DEDF

AABCs^DEF,故此选项不合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于

三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相

等的两个三角形相似：（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

◎考点题型3判定定理1

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应

相等，两三角形相似.

例.（2019.安徽•安庆市第四中学九年级阶段练习）下列条件中能判断△ABCSAA，B，C的是（）

A.ZA-ZB,NA，=NB

B.ZA=ZA',NB=NC

八人，，，ABBC

C.NA=NA，--~~-=—■~~-

A'B'B'C

D.NA=NA-AB=AC,A'B'=A'C'

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A、从NA=/B,只有一个角对应相等，找不出第二组对应相等的角，所以不能

判断△ABCs故本选项错误；

B、VZA=ZA',NB=NC,

只能找到一组对应角所以不能判断△ABCs/waC,故本选项错误；

AD

C、有多=会7两边对应成比例，相等的角不是边AB、BC,A'B\的夹角，所以不能

判断△ABC^^A'B'C,故本选项错误；

。、AB=AC,NA=N4,A'B'=A'C,可以利用两边对应成比例当7=,夹角=相等，根据

两三角形相似判定定理可判断448cs△40C,故本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查三角形相似判定，掌握三角形相似判定定理是解题关键.

变式L（2022・广西・靖西市教学研究室九年级期中）如图，在43c中，点。、E分别在A3、AC边上，

OE与3C不平行，那么下列条件中，不能判断一ADESND的是（）.

AEDEADAE

A.ZADE=ZCB.ZAED=ZB~AC~~AB

【答案】c

【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案.

【详解】解：是公共角，

若NAZ）E=NC,可根据两个角对应相等证明故A选项不符合题意；

若"ED=ZB,可根据两个角对应相等证明一ADEs“CB,故8选项不符合题意；

Arnp

若M芸，则不能判定.ADESA4C8,故C选项符号题意；

ABBC

AnAp

着F=则可依据两边成比例夹用相等判定故。选项不符合题总：

ACAB

故选：c.

【点睛】此题考查相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题的关键.

变式2.（2022•河北・石家庄市栾城区教育局教研室九年级期末）如图，AABC中，CE1AB,垂足为E,

BDVAC,垂足为点。，CE与8。交于点F,则图中相似三角形有几对（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可.

【详解】解：'：BDLAC,CEYAB,

二/AEC=/4OB=90°,NBEF=NCDF=90°,

VZ4=ZA,NEFB=NDFC,

：.△AECsAADB,△BEFsACDF,

■:NEBF=NABD,ZBEF=ZADB=90°,

：./\BEFsABDAsACEAs4CDF,

，共有6对相似三角形，

故选：A.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题

型.

变式3.（2021•全国•九年级课时练习）如图，在"CB中，ZAC8=90。,AF是㈤C的平分线，过点尸作

FE±AF,交A3于点E,交AC的延长线于点£）,则下列说法正确的是（）

A.CDFs.EBFB.ADF^.ABFC.ADF^,.CFDD.ACF^,AFE

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定方法AA解题.

【详解】解：EFLAF

:.ZAFE=90°

ZACB=ZAFE=90°

AF是NR4c的平分线，

:.ACAF=^FAE

ACFAFE（AA）

故选项D符合题意，选项A、B、C均不符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关

键.

◎考点题型4判定定理2

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

例.（2022•河北保定•九年级期末）如图,ZDAB=ZCAE,请你再添加一个条件，使得AADEsA43c.则

下列选项不成立的是（)

一ADDE

B.NE=NCC必=空D.———

•ABACABBC

【答案】D

【分析1先根据ND4B=NC4E,可得NDAE=/R4C,然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可.

【详解】NDAB=NCAE,

:.^DAB+ZBAE=ZCAE+ABAE,

"DAE=/LBAC,

A、当添加条件NO=ZB时，则AADESA/WC,故选项A不符合题意；

B、当添加条件NE=NC时，则AADESAABC,故选项B不符合题意；

C、当添加条件M=x时，则AADESAABC,故选项C不符合题意；

ABAC

nr

D、当添加条件A写D=能时，则AADE和AABC不一定相似，故选项。符合题意：

AEBC

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理.

变式1.（2021•江苏•九年级专题练习）如图，四边形ABCO的两条不等长对角线AC,8。相交于点0,且

将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若。4:OC=Q5:8=1:2,则（）

A.甲、丙相似，乙、丁相似B.甲、丙相似，乙、丁不相似

C.甲、丙不相似，乙、丁相似D.甲、丙不相似，乙、丁不相似

【答案】B

【分析】根据已知及相似三角形判定定理，对四个三角形的关系进行分析，从而得到最后答案.

【详解】在_。钻和&OCD中，OA:OC=OB:OD,又ZAOB=NCOD,：./\OAB^>/\OCD,即甲丙相

似：无法证明AQ4DSOBC,即乙丁不相似.

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

变式2.（2021•河北承德•九年级期末）如图，在“ABC中，。为A3上一点，^AC2=ADAB,贝U

()

A.ADC〜CBDB.BDC〜VBCAC.ADC〜2ACBD.无法判断

【答案】C

【分析】首先根据AC2=ADAB得出等=笠，然后根据Z4=Z4即可判定二ADC〜△ACB,从而可得

ABAC

出答案.

【详解】,AC2=ADAB,

.ACAD

"AB"AC'

,ZA=ZA,

二一ADC〜/\ACB,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

变式3.（2020・广西贺州・九年级阶段练习）如图，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,CDVAB,垂足为。，

A£>=8,DB=2,则C8的长为（）

A.26B.4C.12D.16

【答案】A

【分析】先证明：MCDsMAC,再利用相似三角形的性质可得：器隼,再计算即可得到答案.

ABBC

【详解】解：NAC8=90。，CD1AB,

/.ZACB=NCDB=90。,

ZB=ZB,

1BCDS_BAC,

.BCBD

'~AB~~BCy

:.BC2=AB.BD=(AD+DB).BD,

AD=8,DB=2,

BC2=10x2=20,

BC=2小或BC=-245，

经检验：BC=-2后不符合题意，舍去，

.­.BC=2亚.

故选：A

【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，利用平方根的含义解方程，掌握相似三角形的判定与性

质是解题的关键.

◎考点题型5判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似

例.（2020•安徽・九年级阶段练习）如图，已知与BZ犯都是等边三角形，点。在边AC上（不与点

A、C重合），DE与A8相交于点F,下列结论中不一定成立的是（）

A.八RFFS/\DAFB./XBCD^/XDAFC.^ADF^ABDD.Z^BDF^ABAD

【答案】C

【分析】结合题意，运用相似三角形的判定定理逐项分析即可

【详解】••­ABC与A都是等边三角形，

二ZA=ZE=60°,

又•:ZEFB=ZAFD,

，NFBE=/FDA,

ABEFs^DAF,A选项正确;

VZEBD=ZABC=60°,

/.ZEBD-ZFBD=ZABC-ZFBD,

ZDBC=ZFBE,

二ZDBC=ZFDA,

又;ZA=ZC=60°,

；.ABCDs^DAF,B选项正确；

对于c选项，条件不明确，无法证明一定相似，故错误;

VZDBF=ZABD,ZFDB=ZA=60°,

:.ABDFs八BAD,D选项正确.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

变式1.（2020•浙江•滨兰实验学校九年级阶段练习）如图，四边形ABG”，四边形3CFG,四边形8E尸

都是正方形，图中与ADFG相似的三角形为（)

C./XDEGD./XDEH

【答案】A

【分析】设正方形A8G4的边长为1,先运用勾股定理分别求出FD、10G的长，将其三边按照从大到小的

顺序求出比值，再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值，根据三组对应边的比相等的两个三角形

相似求解即可.

（详解］解：设正方形ABGH的边长为1,

.,.0F=^/i7717=^/2,OG=7?7F3

：.GF：DF,DG=l：&：#>,

A、DF=y/2-DH=M,HF=2,DF：HF：DH=GF：DF：DG,

则△。FGS/XHFZ）,符合题意;

B、HG=1,DG=y/5,DH=M,HG：DG-.DH^GF：DF：DG,

则^。尸6和4OG”不相似，不符合题意;

C、ADEG是直角三角形，△/）尸G是钝角三角形，故不相似，不符合题意;

D、是直角三角形，△QfG是钝角三角形，故不相似，不符合题意;

故选A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的一般方法有：（1）平行线法；（2）三边

法；（3）两边及其夹角法；（4）两角法；本题还可以利用方法（3）进行判定.

变式2.（2021•江苏•九年级专题练习）在AABC中，点。、E分别为边AB、AC的中点，则AAOE与

△ABC的周长之比为（）

A1cD

-2B-i-1-i

【答案】A

【分析】由点。、E分别为边A8、AC的中点，可得出OE为AA8c的中位线，进而可得出。E〃8c及

△ACEs△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的周长之比.

【详解】如图，

•点。，E分别为△ABC的边43,AC上的中点，

：.AD=BD,AE-EC,

...OE是△ABC的中位线，

J.DE//BC,SLDE=^BC,

：./\ADE^/\ABC,

,:DE：BC=1：2,

与△A8C的周长比为1：2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

变式3.（2021•浙江杭州•九年级阶段练习）如图，在正三角形ABC中，点。、E分别在AC、ABt,且

AHi

罢=；,AE=BE,则有（）

AC3

A.AAEDS/\BEDB.AAEDS/\CBD

C.xAEDsXABDD.ABADS/\BCD

【答案】B

【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB±,倏=巳

AE=BE,我们可以分别得到：ZAED、△BCD为锐角三角形，&BED、△48。为钝角三角形，然后根据锐角

三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案.

【详解】解：由己知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、A8上，黑，AE=BE,

/iCJ

易判断出：△AED为一个锐角三角形，ABE。为一个钝角三角形，故A错误；

△ABQ也是一个钝角三角形，故C也错误；

但ABC。为一个锐角三角形，故。也错误；

故选:B.

【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相

同，排除错误答案，得到正确结论.

◎考点题型6相似三角形基本图形一8字型

有一组隐含的等角（对顶角），此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等

C

（AB、5不平行，N4=N0{AB//CD)

例.（2021•江苏•九年级专题练习）如图，E为平行四边形A8CO的边C£＞延长线上的一点，连接BE.交

AC于。，交AO于尸.

求证：BO'=OE.OF.

【答案】见解析.

【分析】根据AO〃8C,AOF^^COB,由48〃DC,MAAOB^/XCOE,再根据相似三角形对应变

成比例即可.

【详解】证明：:ABaOC,

.../XAOB^^COE

.OE_OC

'~OB~~OA

,JAD//BC,

：.AAOFsMOB

.OBPC

*OF-OA

.OEOB,

WanBO-=OE.OF.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应边的比

例相等是解决本题的关键.

变式1.（2021・重庆♦九年级期末）如图40与CE交于B,且黑=笑.

BDBE

（1）求证：一ABCs.QBE.

（2）若AC=8,BC=6,CE=9,求DE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（D根据相似三角形的判定解答即可；

DFRF

（2）因为根据相似三角形的性质可知会=会，代入数据解答即可.

ACoC

【详解】证明：（1）NDBE=ZABC,—,

BDBE

・.一ABCs,QBE：

（2）ABCSJDBE,

.DEBE

••=，

ACBC

AC=8,BC=6,CE=9,

BE=CE—BC=3,

•DE3

••=—，

86

•••DE=4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

变式2.（2021•全国•九年级专题练习）已知：如图，在4ABC中，点D、E分别在边AB、AC上,

DE〃BC,点F在边AB上，BC2=BF«BA,CF与DE相交于点G.

（1）求证：DF・AB=BC・DG；

（2）当点E为AC中点时，求证：2DF・EG=AF・DG.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由BC2=BF・BA,/ABC=NCBF可判断ABACSABCF,再由DE〃BC可判断

BCFs_DGF,所以_ZX/S_84C,然后利用相似三角形的性质即可得到结论；

(2)作AH〃BC交CF的延长线于H,如图，易得AH〃DE,由点E为AC的中点得AH=2EG,再利用

Al-Idp

AH〃DG可判定.A//Fs时，则根据相似涌形的性质得寸==，然后利用等线段代换即叽

DCJDr

【详解】证明：(1)VBC2=BF-BA,

ABC：BF=BA：BC,

而NABC=NCBF,

工&BACS..BCF,

VDE//BC,

：・，BCFS^DGF,

：・QDGFs、BAC,

ADF：BC=DG：BA,

・・.DF・AB=BC・DG；

(2)作AH〃BC交CF的延长线于H,如图,

*/DE〃BC,

・・・AH〃DE,

・・•点E为AC的中点，

「.EG为..C4H的中位线，

AAH=2EG,

VAH/7DG,

A:...AHF^DGF,

.AHAF

'a~DG~~DFJ

.2EGAF

…DG一币'

即2DF・EG=AF・DG.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系.

变式3.（2013.云南德宏•中考真题）如图，是一个照相机成像的示意图.

（1）如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远？

（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m,像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

【答案】（l）7m

（2）70mm

【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解.

（2）和（1）一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可.

（1）

解：•..像高A/N是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度A8是4.9m,

..MN_CL

,万一IB，

.3550

••=，

4.9LD

解得：LD=1.

.•.拍摄点距离景物7m.

⑵

解：；拍摄高度48是2m的景物，拍摄点离景物£C=4m,像高MN不变，是35mm,

.35LC

••=>

24

解得：£C=70.

，相机的焦距应调整为70mm.

MNCI

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用,正确理解题意得到方=而是解题的关键.

◎考点题型7相似三角形基本图形一A字型

有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，NDAF+ZBAD=NDAF+NEAP),此时需要找另一对角

相等或相等角的两边对应成比例

DE//BCDE、BC不平行旋转型:由A字

型旋转得到

图①图②图③

例.(2021•辽宁丹东•九年级期中)如图，△ABZ)中，ZA=90°,AB=6cm,AQ=12cm.某一时刻，动点

〃从点A出发沿A8方向以lcm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点。出发沿D4方向以2cm/s

的速度向点A匀速运动，运动的时间为fs.

(1)求，为何值时，△AMN的面积是△ABO面积的］；

(2)当以点A,M,N为顶点的三角形与△A3。相似时，求f值.

【答案】(1)4=4,J2；(2)，=3或彳

【分析】(D由题意得。N=2f(cm),AN=(12-2r)cm,AM=fcm,根据三角形的面积公式列出方程可

求出答案；

(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出,的值.

【详解】解：(1)由题意得3N=2r(cm),AN—(12-2/)cm,AM=tcm,

△AMN的面积=gx(12-2t)xr=67-t2,

ZA—90°,AB=6cm,AD—12cm

/\ABD的面积为:；x6x12=36,

,2

*'/\AMN的面积是^ABD面积的g,

2

/.6t-t2——x36,

9

・"-6f+8=0,

解得勿=4,,2=2,

2

答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△A3。面积的§；

(2)由题意得ON=2f(cm),AN=(12-2，)cm,AM=tcm,

若^AMN^/\ABDt

则有些="即J22

ABAD612

解得1=3,

若^AMNs^ADB,

_AMAN„tl2-2t

则nil有——=—，即n一=-----,

ADAB126

24

解得r=y,

24

答：当f=3或彳时，以4、M、N为顶点的三角形与△A3。相似.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是

解题的关键.

变式1.(2021•江苏•九年级)在ABC中，AB=m(m>0),。为AB上一点，过。作。E〃8c交AC于点

E,连接CO.设SAEC=S|，求2的取值范围.

S1

【答案】0<^-<-

【分析】作AGLBCT尸点，交。E于G点，设4O=x,首先结合相似三角形的判定与性质推出D会E和

DC

其的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取

AF

值范围进行判断即可.

【详解】解：如图所示，作AG,8c于F点，交OE于G点，设

VDE/7BC,

:,dADEs〉ABC,

.DEADAGAEx

^~BC~~AB~~AF~~AC~~iny

.GFm-x

•.---=-----,

AFm

./DE'GF£>E：：G尸一X：：m_x

5.1ABCAFtntnm2

'ZjC»/Rlr

2

整理得：^=-A^+-=-4p-^y+i

S[m~mm~\2)4

・・•点。在A3上，帆>0,

•*.0<x<n?,--^7<0，

nr

.••抛物线率的开口向下，且当X=：时，率取得最大值为!，

，2sl4

当x=0和x=，〃时，均有1=0,

综上分析，今的取值范围是。<当4.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出

相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键.

变式2.(2021・山东・嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习)

RJABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动

点。从点C出发，沿线段CB也向点8方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点。的速度是2cm/s,它们

同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为f秒.

(1)求运动时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为10cm?

(2)若二CPQ的面积为S,求S关于/的函数关系式.

(3)当「为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与_45C相似？

Q

A--------------------B

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20r-4r)cm2；(3)f=3或f=#

【分析】(1)根据题意得至llAP=4心m,C0=2fcm,AC=20cm,CP-(20-4/)cm,根据三角形的面积公式列

方程即可得答案：

(2)若运动的时间为fs,贝UCP=(204)cm,CQ=2fcm,利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20h

4户，再结合各线段长度非负，即可得出I的取值范围；

(3)分①R2CPQsRtaCAB和②Rt^CPQsRf^CBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，

即可得出结论.

【详解】(1)解:由运动知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

,.,4C=20cm,

/.CP-(20-4/)cm,

在放△CP。中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20-4"+(2。2=1()2：

f=3秒或f=5秒

(2)由题意得AP=4f,CQ=2t,则CP=20-4f,

因此Rt.CPQ的面积为5=^x(20-4z)x2/=(20r-4r)cm2；

(3)分两种情况：

①当以△CPQSR△CAB时，会=穿，即空/=§，解得工=3；

sto2015

②当放△CPQsR"8A时，苗CP=詈CO，即20徐-4r"喘2r，解得”4予0

40

因此f=3或■时，以点C、尸、。为顶点的三角形与二ABC相似.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

变式3.(2021•上海市金山初级中学九年级期中)如图，在△ABC中，点。在边AB上，点E、点尸在边

ApAP

AC上，且DE〃BC,=.

(1)求证：DF//BE；

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6后.求证

【答案】（D见详解；（2）见详解

ADATAJ7AF）

【分析】（1）由题意易得黑=芸，则有警=黑，进而问题可求证；

BDECFEBD

（2）由（1）及题意可知当=空=!，然后可得AD=2G，进而可证丝=殁=立，最后问题可求

BDEF2ABAE3

证.

【详解】解：（1）,:DE〃BC,

.ADAE

BD-EC，

..AFAE

•~FE~~EC'

.AFAD

^~FE~~BD'

：.DF//BE；

（2）VAF=2,EF=4,

二由（1）可知，丝=丝」，AE=6,

'：AB=6+,

：.AD=-AB=2j3,

3

•AE-6AD_2上

■'布一南一丁'瓦一丁一号’

上

•.«-A-E=-A-D-=---,

ABAE3

<•*ZA=ZAf

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

◎考点题型8相似三角形基本图形一母子型

有一个公共角及一个直角（图①为母子型的特殊形式4/=初•四仍成立，另切=四•曲

图②

AHAC

例.（2022•江苏南京•九年级期末）如图，在RQABC中，NACB=90。，点。在A8上，且下

ACAF

(1)求证△ACOS/VIBC；

(2)若AO=3,30=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）限

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个：.角形相似，即可.得出..ACQ〜..A5C

（2）由々AC。〜43c得NM）C=/4C3=90。，ZACD=ZB,推出/CDCBD,山相似三角形的性质得

*=券，即可求出CD的长.

U（,xX-Z

【详解】⑴・嘿奇,

ZA=ZA,

A^ACD^ABC；

(2)9：^ACD-ABC,

：.ZADC=ZACB=90。，ZACD=NB,

・・・ZCDB=180o-90°=90°=ZACD，

:.^ACD_CBD，

.CDBD口？

.即CD?=AO3Z)=3x2=6,

i\LJCU

・・・CD=y[6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.

变式1.（2022•广东・江门市第二中学九年级开学考试）如图，AB是。0的直径，点C在。0上，过点C的

直线与AB的延长线交于点P,NC0B=2/PCB.

（1）求证：CP是。。的切线；

（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点、N,若AB=6,求MGMN的值.

【答案】（1）见解析；（2）18

【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明。C与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得

ZPCB+ZOCB=90°,即OC_LCP即可；

（2）连接MA,MB,由圆周角定理可得NA8M=/8CM,进而可得故BM?=MN*MC,

根据锐角三角函数求出8例，代入数据可得MN・MC=8M2=18.

【详解】（1）证明：•••04=0C,

...NCAO=/ACO.

又'：NC0B=2NCA0,NC0B=2/PCB,

：.ZCAO=ZACO=ZPCB.

又YAB是。。的直径，

二ZACO+ZOCB=90°.

ZPCB+ZOCB=90°.

即OC_LCP,

,；0C是。。的半径.

；.PC是。。的切线；

（2）解：连接MA,MB,

♦.•点M是弧A8的中点，

••,

,ZACM^ZBCM.

,：ZACM^ZABM,

：.ZBCM^ZABM.

,:NBMN=NBMC,

：.AMBNsAMCB.

.BMMN

••近一丽’

:.BM2=MN・MC.

〈AB是。。的直径，的二麻/,

AZAMB=90°fAM=BM.

：.ZABM=ZBAM=45°,

VAB=6,

BM=ABsin45°=6x=3^/2,

：.MN>MC=BM2=\S.

【点睛】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角

三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问

题.

变式2.（2021.安徽合肥•九年级期中）ABC中，ZABC=9Q°,3O_LAC,点E为BO的中点，连接AE

并延长交8c于点F,且有AF=CF,过/点作F"_LAC于点从

(1)求证：ADEs.CDB；

(2)求证：AE=2EF；

(3)若FH=6,求8c的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.

【分析】（1）先根据垂直的定义可得N4OE=NCOB=90。，再根据等腰：.角形的性质可得

NDAE=/DCB,然后根据相似三角形的判定即可得证;

AnDF1

（2）先根据相似三角形的性质可得尝=株=再根据等腰三角形的三线合•可得AW=CH,从而可

CDDD2

An

得令7=2,然后根据平行线分线段成比例定理即可得证;

Dri

r）rAr

（3）先根据相似三角形的判定与性质可得由=而,从而可得OE,80的长,再根据相似三角形的判定

可得ABOBCD、然后利用相似三角形的性质可求出CO的长，最后在RJ8C0中，利用勾股定理即可

得.

【详解】证明：（1）BDLAQFH

/ADE=NCDB=90。,BDFH,

,AF=CF,

:"AE=ZDCB,

4ADE=/CDB

在4ADE和△CD8中,

4DAE=4DCB

ADE..CDB；

（2）.•点E为BO的中点，

；.DE=BE=LBD,

2

由（1）已证：ADE..CDB,

ADDE1

..-——，

CDDB2

设AZ）=a（a>0）,则C£）=2a,AC=AD+CD=3a,

FH±ACyAF=CF,

13

AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三线合一）,

：.DH=AH-AD=-a,

2

又,BDFH,

AEADac

--=---=--=2

，

EFDH一1CI