自动控制原理课后题答案汇总

1请解释下列名字术语：自动控制系统'受控对象、扰动'给定值、参考输入'反馈。解：自动控制

系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机

器'设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称

为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控

制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考

输入进行比较的过程。

2请说明自动控制系统的基本组成部分。

解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：

①被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；

②执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀'电动

机、液压马达等。

③给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；④比

较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏

差。常用的比较元件有差动放大器'机械差动装置和电桥等。

⑤测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将

其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；

⑥放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，

可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放

大-

⑦校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，

用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们

与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。

3请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即

闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量

值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；

开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂'

设计分析麻烦，制造成本高。

4请说明自动控制系统的基本性能要求。

解：(1)稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到

原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定

的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。

(2)准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出

达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系

统的输出跟随参考输入的精度越高。

(3)快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映

系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，

但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。

2-1设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中f为黏性摩擦系数，k为弹簧系数，系统

。|~F

-xA/V4

//////////J、

的输入量为力p(t)■系统的输出量为质量m的位移x(t)。试列出系统的输入输出微分方程。

图2-1习题2-1质量一弹簧一摩擦系统示意图

解：显然，系统的摩擦力为

fdx(t)＞弹簧力为kx(t)-根据牛顿第二运动定律有dt

p⑴f竽kx(t)dx(tl

dt2

移项整理，得系统的微分方程为

2

dx(t)，dx⑴

2P(t)

dtdt

2-2试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。解：

由牛顿第二运动定律，不计重力时，得

k2M(t)%(t)]Mi今k』fF

dtdt

整理得

图2-2习题2-2机械系统示意图

Mid2yidv、

2

dt曾（k，k〉ydt）Fk2y2(t)

2-3求下列函数的拉氏变换。

(1)f(t)3(1sint)

(2)f(t).atte

(3)f(t)cos(3t

4

解：(l)L[f(t)]L[3(1sint)]

IL[sint])

3(L[1

]

十)

3(1-

s1

s

3ds1)

s(s21)

(2)f(t)tea,

1

L[t]-

s

at[

L[f(t)]L[te]

(Sa)2

(3)f(t)cos(3t—)刍sin(3t)

cos(3t)]

42

L[f⑴]刍sin(3t)cos(3t)]

2

.2

十(3t)]L(cos(3t)])

f(3S

s29s29)

S3

2S29

2-4求下列函数的拉氏反变换

(1)F(s)

(S2)(s5)

s6

(2)F(s)

s2(s3)

2s25s1

(3)F(s)

s(s21)

F(s)

(s2)(s5)

L1[F(s)]

LiIj2L1[

ss

2e5t

e2t

F(s蹙z

⑵3)~2

s

112

L1[F(s)]Ljs

A

3t

2t1e

2s5s1s5

⑶

F(S)22

s(s1)s1

111

L1[F(s)]L1[-s

呼$1

U[晋]

1costs1

5sint

2-5试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程(设电容C上的电压为比⑴，电容Ci上的

电压为Uci(t)-以此类推)

+

+Uci(t)—««R1-

，

o||C.0---------------CjR

卜Uc2s

II.〜uUi+U(t)-+Uo

Uc2⑴土CR2

0-------------------------1-----------------------------o

(b)(C)

图2・3习题2・5无源网络示意图

解：(a)设电容C上电压为Uc(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

Uc(t)Ui(t)Uo(t)

CdUc⑴dtUc(t)Uo(t)

R,R2

整理得输入输出关系的微分方程为

c/八，।icdUi(t)Ui(t)

CdUo(t)(±.)u0(t)

dtRiR21dtRi

(b)设电容C.、C2上电压为uc1(t),uc2(t)•由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系的微分方程为

2

RCQdu呼dUoft]IUo(t)d^(t)dUi(t)Ui(t)

(2CC)rikyiL/r\f-\

dt222-ZUi

dtRdt2Ht

Uci(t)U.(t)Uo(t)

Ui(t)Uc2(t)U。⑴Uc2(t)dUc2(t)

C2

RRdt

Uo(t)Uc2(t)RG晦

dt

9)设电阻R2上电压为uR2(t)•两电容上电压为Uci(t),Uc2⑴，由基尔霍夫定律可写

出回路方程为

U,(t)%(t)Cdl)c2(t)

Ridt

Uci(t)Ui(t)UR2(t)⑴

%2(t)U。⑴UR2(t)(2)

CdUci(t)CdUc2(t)UR2(t)(3)

dtdtR?

⑷

(2)代人(4)并整理得

dUR2(t)dUo(t)Ui(t)Uo(t)

⑸

dtdtRiC

(1)'(2)代入(3)并整理得

Cd〉t)CdU°(t)2Cd%«)1M0

dtdtdtR2

两端取微分，并将(5)代入，整理得输入输出关系的微分方程为

2

RPdfiHtl(4)咄RCdtUomprdUi(t),1dUi(t)Ui(t)RC

dt2dt2dtRC

2-6求图2-4中各无源网络的传递函数。

Ri

WS)UR2(St]Uo(S)

R2

图2-4习题2-6示意图

解：(a)由图得

CsUc⑸皿小

(1)

R2

Uc(s)Ui(s)Uo(s)(2)

(2)代入(1)，整理得传递函数为

Cs

Uo(s)RiRR2csR2

Ui(s)csJ_RR2csRR2

RIR2

(b)由图得

Uci(s)Ui(s)Uo(s)(1)

Ui(S)Uc2(S)Uo(S)Uc2(S),、

-------—-------C2SUC2(S)(2

RGsUd(s)Uo(s)Uc2(s)

整理得传递函数为

RGs22

Uo(s)RC2S2RCiC?s2RCiS1

22

U《s)RGsRC61RCIC2SRS(2C1C2)1

RC2s2

(C)由图得

Uci(S)Ui(s)UR2(S)(1)

Uc2(S)u。⑸UR2(S)(2)

CsUd(s)CsUc2(s)(3)

R2

Cs±

R

Uo(S)2

Ui(s)Cs211

R-!R2RR2cs

整理得传递函数为

R.R2c2s2RCs

RR2c2s之(Ri2R2)Cs1

2-7求图2-5中无源网络的传递函数。

⑴

图2-5习题2-7无源网络示意图

解：由图得

U(s)U2(s)1

US

(CsRTL)2()

整理得

Ulis)RiR2LS

12

Cs---RQLs(R)R2CL)SR-i&

RiR2LS

2-8试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数C⑸/R⑸和C⑸/N(s)。

解：(a)

(1)求传递函数C(S)/R(S)，按下列步骤简化结构图：

图2-6习题2-8系统结构图示意图

①令N(s)0,利用反馈运算简化如图2-8a所示

②串联等效如图2-8b所示

图2-8a

R(S)fG,G?C(S)

1G1H11G2H21t

H3

图2-8b

③根据反馈运算可得传递函数

C(s)iGH「G2tGG

R(s)1GG2H(1G2H2)GG2H3

1G1H11G2H23

G1G2

1G1H1G2H2GHG2H2G1G2H3

⑵求传递函数C(s)/N(s)，按下列步骤简化结构图：

①令R(s)0，重画系统结构图如图2-8c所示

图2-8c

②将H3输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示

图2-9d

③Gi和Hi串联合并，并将单位比

较点前移如图2-8e所示

I—*QVGWJ—।

C(S)

1

♦I-GH1I_►—►

\H3/H1I*

图2-8e

④串并联合并如图2-8f所示

图2-8f

⑤根据反馈和串联运算，得传递函数

G©H

C(s)(1_L)1G2H2

N(s),G1H/1G1G2H1H3

1G2H2Hl

G1H1IG1G2Hl

G1H1G2H2G1G2H3

G2G1G2H1

1G2H2G1G2H3

(b)求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图:

①将H2的引出端前移如图2-8g所示

图2-8g

②合并反馈、串联如图2-8h所示

图2-8h

③将Hi的引出端前移如图2-8i所示

图

④合并反馈及串联如图2-8j所示

⑤根据反馈运算得传递函数

G〔G2G3

C(sl1G2H2G3H3

R(s)[GIG2G1G3H3

G2G3Hi

1G2H2G3H3

图2-8J

G1G2G3

1G1HG2H2G3H3G1H1G3H3

1

2-9试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数C(S)/R(S)。

图2-7习题2-9系统结构图示意图

解：求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图:

①将H,'的引出端前移如图2-9a所示

图2-9a

②合并反馈及串联如图2-9b所示

图2-9b

③合并反馈、串联如图2-9c所示

图2-9c

④根据反馈运算，得传递函数

GiG2G3G4

C(s)1G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4

R(s)G1G2G3G41G2G3HlG3G4H2G1G2G3G4H3

IH3

1G2G3HlG3G4H2

3-1设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述:Tc(t)c(t)tr(t)r(t)»其中

1(T)0。试证明系统的动态性能指标为td[0.693ln(W)]T，tr2.2T，

ts[3ln(W)]T

解：

由系统的微分方程可得其传递函数C(s)S1-在单位阶跃输入作用下，由于

R⑸Ts1

1s111T

Rfs)—所以有C(s)n-

sTs1ssTs1

则1，e'T

T

A

当ttd时，显然有h(td)1，P0.5

解之得tdT[ln2ln(T[0.693ln(

由于tr为h⑴从0.1上升到0.9这个过程所需要得时间，所以有

其中h(L)--e0.1

RT

h®09

rHL4自缶花山tiT[ln()ln0.9]

trt2tl

3-2已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数:

(1)k(t)0.0125e125,;

(2)k(t)5t10sin(4t45。)；

⑶k⑴0.1(1e，。

t2T[ln(—)In0.1]

0.9

Tin2.27，当tts时，显然有0.1

则t.唾5

T

h(ts)T[lnT丁ln0.05]T[3lnT]

解之得ts

0.0125

(1)(S)L[k(t)]

s1.25

L[5t10(sin4tcos4t)]

⑵(S)L[k(t)]

解：

2t)

s4s4

-2314・22

111

⑶⑸L[k(t)]0.1H--^]

s-

3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t)1012.5e上2tsm(1.6t53.1。)，试求系统的超

调量%，峰值时间tp和调节时间ts。

解：

h(t)1012.5e12'sin(1.6t53.1。)

x10[11.25e12tsin(1.6t53.1-)]

由上式可知，此二阶系统的放大系数是10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。

由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h(t)1*emsin(&)

JF

所以有1.121.25

1.2

n.—21.6

0.6

解上述方程组，得

所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下

超调量％二$100%e06125100%9.5%

峰值时间tp-_____活「叫

nJi2

35

调节时间ts——2.92

20.6

04s1

3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为4-

G⑸，试求系统在单位阶跃输入下的

动态性能。

解题过程：

由题意可得系统得闭环传递函数为

G⑸0.4s1

⑸1G(s)ss1as22dns

其中a2,n1,d2Z0AZ25。这是一个比例一微分控制二阶系统。

比例一微分控制二阶系统的单位阶跃响应为

h(t)1redntsin(1—齐)

Jz226n:2

ZyjiI6

arctan(--------------------1.686

故显然有

dnd

darctan1.047

3

峰值时间1P3.155

n

超调量r.1de16.2%

(Z222

32"nn)lnzn(1d)

调节时间ts-2—5.134

此系统得动态性能指标为

3-5已知控制系统的单位阶跃响应为h(t)10.2e60t1.2e3，试确定系统的阻尼比

和自然频率

解:

系统的单位脉冲响应为k(t)h(t)12e60t12e10110t60t\

12(ee)

12(11600

系统的闭环传递函数为亿、L[k(t)]

S601s210s600

s10

自然频率24.5

70

阻尼比—1.429

2.600

432

3-6已知系统特征方程为3s10s5s0,试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判

据确定系统的稳定性。

解:

先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下

4S

3

S10

472

10

s1

153

S°47

显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在S右半平面有两个闭环极

点。因此，该系统不稳定。

再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则

2玄旧2a°d310531470

21022

“4200?

as1

显然，此系统不稳定。

设单位负反馈系统的开环传递函数为G(S)，试应用劳斯

3-7(S2)(S4)(6^25)

稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。

解：

432

由题得,特征方程是s412s369s2198s200K0

列劳斯表

4

s169200+K

s312198

2

s52.5200+K

s7995-12K

s°200+K

1

由题意，令s所在行为零得K666.25

由s2行得52.5s2200666.250

K(0.5s1)

，试确定系统稳

3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)2

s(s1)(0.5ss定

解之赴s4.062i，所以振荡角频率为4.062rad/s

时的K值范围。

解：由题可知系统的特征方程

为

D(s)s43s34s2(2K)s2K0

列劳斯表如下

s

3

s2+K

(10-KM2+K)”

6K

s3___

17O-K

3

2K

由劳斯稳定判据可得

10K

3

1(10K)(2K)/3]6Kc

(10K)/3

解上述方程组可得2K(D.705

K

3-9系统结构如图3-所示，G⑸，定义误差e"）「⑴刚，

1

（1若希望图a中，系统所有的特征根位于S平面上S2的左侧，且阻尼比为0.5,

）求满足条件的K,T的取值范围。

求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。

为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示■试求出

合适的K。值。

Wt）

R(t

-*Q=~*［前

（b）

图3-1习题3-9示意图

K/T

解：（1）闭环传递函数为（S）2

1_1K

TssK

ss

TT

即n2n孑05

2

D(s)TssK,令s's2，代人上式得，

D'(s)T(s'2)2s'2KTs'2(4T1)s'4T1/T20

列出劳斯表，

2

sT4T+1汀2

s11-4T

T0,14T0,4T1/T200T1/4

s04T+1T2

KKfK

⑶G⑸(Ks1)K

TS2SK

a/Ta1\

2

1Ts(1KK0)sTs1KKo

E(S)R⑸C(s)R(s)[1G'⑸]s7Ts2sKs(Ts2sK)

KK

msE(s)

ess'so2

n

或TO,14To,4T1/T20无解

0T1/4,4K

(2)Wt)t，系统为1型系统•••ess1/K

K。并没有改变系统的稳定性"

3-10已知单位反馈系统的开环传递函数:

100

(1)G(s)

(0.1s1)(s5)

50

(2)G(s)

s(0.1s1)(s5)

试求输入分别为r(t)2t和r(t)22tt2时，系统的稳态误差。

解：

10020

(DG(s)

(0.1s1)(s5)(0.1s1)(0.2s1)

由上式可知，该系统是0型系统，且K20。

121

。根据线性叠加原理

0型系统在12信号作用下的稳态误差分别为：

21K

该系统在输入为

有该系统在输入为r(t)2t时的稳态误差为ess22?

2

r(t)22tt时的稳态误差为ess22?±2?

1K

5010

(2)G(s)

s(0.1s1)(s5)

s(0.1s1)(0.2s1)

由上式可知，该系统是型系统，且K忖。

12

根据线性叠加原理有

型系统在2t2信号作用下的稳态误差分别为:

2?±0.2K

'该系统在输入为

该系统在输入为r(t)2t时的稳态误差为ess2

2

r(t)22tt2时的稳态误差为ess220K

3-11已知闭环传递函数的一般形式为

bmS-bmEb,S

b

nn1

samsa(sa

误差定义为e⑴r(t)c(t)-试证，

(1)系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

s3msa[sa

(2)系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

(3)推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件

(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系

(S)----------------------------------------

nn1

san(sa(sa

E(s)R(s)C(s)R(s)[1(S)]

n1

1?_SSn[SaiS

ss

n

s

n

s

满足终值定理的条件，

e(limsE(s)

即证

a〔sao

(2)(s)

n1

as

maia0

s

E⑸R(s)C(s)R(s)[1(s)]

.9

1a

1人s-so

aa

Q?aa

满足终值定理的条件，

3an-d<5

e()smSE(S)

niHQ

即证

(3)对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为

2

a?sa〔sa

(S)------------------------------

S3niSS3°

同理可证

(4)系统型别比闭环函数分子最高次幕大1次。

3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为：

(1)G(s)...........-

(0.1s1)(2s1)

，小K

⑵G(s)—2--------------------

s(s4s200)

1)(4

⑶G(s)J警」1)

s(s2s10)

试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv，加速度误差系数Ka。

解：

(1)此系统是一个0型系统，且K20。故查表可得KpK10.Kv0>Ka0

(2)根据误差系数的定义式可得

K^limG(s)H(s)己12”、

so°IM000)

k"k

Kvlims?G(s)H(s)lims?今

s0S°s(s4s200)20

22K

KalimsG/s)H(s)limso-0

s0S°s(s4s200)

(3)根据误差系数的定义式可得

Ka

KPlimG(s)H(s)

Kvlims?G(s)H(s)殳叫s?粤空」出宣»

2S0

limSG(S)H(S)lims?哼弋WI°s(s2s10)

G(s)K»

3-13设单位反馈系统的开环传递函数

输入信号为r(t)(abt)?1(t)

其中K。，Km,Kf,i,Tf,Tm均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳

态误差ess<o,其中。0,试求系统各参数满足的条件。

解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为

TfTmS3(TfTm)s2sKO

式中，KKKKm/i,为系统的开环增益，各参数满足：

K