数学归纳法证明不等式_第1页
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文档简介

一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.什么是数学归纳法?用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确.在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.

完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.例:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.例1、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例2、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.例3、求证:证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于

故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即

则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例4、已知x>

1，且x

0，n

N，n

2．求证：(1+x)n>1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即

(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>

1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明：（1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x

0，∴1+2x+x2>1+2x=右∴n=1时不等式成立例5、已知求证:.证:(1)当n=2时,,

不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时

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