新教材2024版高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式课件新人教A版选择性必修第二册

第四章

数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式学习目标素养要求1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用数学运算、逻辑推理2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题数学建模、数学抽象3.掌握等比数列前n项和的性质及其应用数学运算、逻辑推理4.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题数学运算自学导引na1等比数列前n项和公式及基本方法【答案】C【解析】注意对公比a是否为1进行分类讨论，易知选C．2．在等比数列{an}中，a1＝2，a6＝64，则数列{an}前7项的和S7＝

(

)A．253

B．254C．255

D．256【答案】B3．(2021年哈尔滨一模)设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a1a5＝16，则S6的值为 (

)A．63 B．64C．127 D．128【答案】A公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，关于Sn的性质常考的有以下四类：(1)数列Sm，S2m－Sm，__________…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．(2)当n是偶数时，S偶＝________；当n是奇数时，S奇＝a1＋________．S3m－S2m等比数列前n项和的性质qS奇qS偶(3)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0，且A＋B＝0)．【预习自测】1．(2022年清远期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S4＝45，则qa1＝

(

)A．3 B．6C．9 D．12【答案】B2．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．【答案】2课堂互动【答案】C题型1等比数列前n项和的基本运算在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解．1．(2023年湖北期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝4，且S3＝4a2＋a1，则S5＝

(

)A．40

B．120C．121

D．363【答案】C(1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式；(2)在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30.题型2等比数列前n项和的性质等比数列前n项和性质的应用等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．解：由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．

借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061，1.015≈1.051)?题型3等比数列求和公式的实际应用解：方法一：设每个月还贷a元，第1个月欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…，a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推公式的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．3．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，每年年底应支付多少元(1.16≈1.77)?题型4前n项和公式的综合应用等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用．

设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.易错警示忽视等比数列求和公式的特征易错【错因】忽视q＝1这一情况，从而得出错解．素养训练1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．【答案】BD2．(题型2)(2022年安庆模拟)已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为

(

)A．5

B．7C．9

D．11【答案】A【答案】B4．(题型3)(2022年驻马店期中)某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%.从今年起10年内这家超市的总销售额为________万元．【答案】11a(1.110－1)【解析】设今后10年每年的销售额为ai(i＝1，2，3，…，10)，因为超市去年的销售额为a万