新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标素养要求1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会证明简单函数的单调性逻辑推理2．理解单调性的作用和实际意义，会用函数的单调性解答有关问题直观想象数学运算|自学导引|

增函数与减函数设函数f(x)的定义域为I，区间D

I，

x1，x2∈Df(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函数．在增函数与减函数的定义中，能否把“

”改为“

”？【预习自测】【提示】不能，如图所示的是函数f(x)的图象，虽然－1＜2，且f(－1)＜f(2)，但原函数在[－1，2]上不是单调递增．

函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上______________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__________，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．单调递增或单调递减

单调性【预习自测】(1)函数f(x)＝x2＋2x－3的单调递减区间是________．(2)函数y＝|x|在区间[－2，－1]上 (

)A．单调递减 B．单调递增C．先减后增 D．先增后减【答案】(1)(－∞，－1]

(2)A【解析】(1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，故其单调递减区间是(－∞，－1]．(2)函数y＝|x|的单调减区间是(－∞，0)，又因为[－2，－1]

(－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上单调递减．|课堂互动|题型1求函数的单调区间

(1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，________，在区间________，________上是单调递增的．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．【答案】(1)[－2，1]

[3，5]

[－5，－2]

[1，3]【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1，3]，[3，5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1，3]上单调递增，在区间[－2，1]，[3，5]上单调递减．函数单调区间的求法及表示方法(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．(3)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．【答案】(－∞，1)，(1，＋∞)

利用定义证明函数单调性的步骤题型3用单调性解不等式已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上单调递减，求满足不等式f(1－a)＜f(2a－1)的a的取值范围．利用函数的单调性解不等式的方法当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．题型4根据函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3．(1)若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；(2)若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为_______.【答案】(1){a|a≤－4}

(2)－4【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．(1)由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，即a≤－4．(2)由题意得－a－1＝3，a＝－4．已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．4．若函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间[0，2]上不是单调函数，则a的取值范围是________．【答案】(1，3)

【解析】因为f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的对称轴是直线x＝a－1，且f(x)在[0，2]上不是单调函数，所以0＜a－1＜2，所以1＜a＜3．易错警示研究函数的单调性易忽视定义域

已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为________．|素养达成|1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)＜f(x2)x1＜x2(x1＞x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个定义区间上不存在单调性．2．单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(体现了逻辑推理核心素养)．(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．1．(题型1)下列函数在区间(0，＋∞)上不单调递增的是 (

)A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1【答案】C

【解析】函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减．2．(题型1，2)设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为 (

)A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定【答案】D

【解析】根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．3．(题型3)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)＜f(3)，则x的取值范围是________．【答案】(5，＋∞)

【解析】函数的定义