新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何章末素养提升课件新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何章末素养提升|体系构建||核心归纳|1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量—2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．5．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0|素养提升|素养1数学运算角度1基向量的运算(2)在所有棱长均相等的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M是AA1的中点，则异面直线BM与B1C所成角的余弦值为________.解决空间向量线性运算问题的方法及技巧(1)进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．(2)和空间向量的线性运算相关的结论角度2坐标运算如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点．(1)求证：DE⊥C1F；(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值．2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求二面角B－DE－C的余弦值．(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2，则A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，素养2逻辑推理如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，P为侧棱CC1上一点．(1)求证：侧棱CC1上不存在点P使B1P⊥平面ABB1A1．(2)CC1上是否存在点P使得B1P⊥A1B？若存在，确定PC的长；若不存在，说明理由．(1)证明：(反证法)若CC1上存在点P，使B1P⊥平面ABB1A1，则平面BCC1B1⊥平面ABB1A1．又∵BC⊥BB1，∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB，与题意矛盾．∴CC1上不存在点P使B1P⊥平面ABB1A1．巧用空间向量证明空间中的位置关系(1)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②可在平面内找到一个向量，证明其与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(2)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的性质定理转化为线线垂直问题．(3)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(4)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．3．如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．求证：(1)AD∥平面PCB；(2)平面PDE⊥平面PAC．证明：(1)∵∠ADC＝∠DCB＝90°，∴AD∥BC，且AD⊄平面PCB，BC⊂平面PCB．∴AD∥平面PCB．(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，|链接高考|

(2020年浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)求证：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．线面角图1

方法二，由三棱台ABC－DEF，得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ．如图2，以O为原点，分别以射线OC，OD为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．面面角(2)取A1B的中点E，连接AE，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B．又因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC，得AE⊥BC，BB1⊥BC．又因为AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1．所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，【点评】本题考查空间向量的相关计算，平面与平面所成的角的求法，能够根据题意求出点D的坐标是解题的关键．

(2019年新课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)求证：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．距离图1

∴ME綉ND．∴四边形MNDE是平行四边形，故MN∥ED．又∵MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．方法二，∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD